数理方程与特殊函数(钟尔杰)7非齐次方程求解
(完整版)数理方程第二章 非齐次方程的解法-4
（1） （2） （3）
深圳大学电子科学与技术学院
强迫弦振动
由于相应的齐次问题 1.齐次方程；2. u x0 0
函数集为
sin
n
L
x
n 1, 2, 3,
u 0 xL
的本征
故将现在的非齐次定解问题的解按该本征函数集
展开,而展开系数是时间 t 的函数:
代入(1):
v(x, t)
p11
1( p)
1 p2
, 2 ( p)
1 p 1
1 (t) t, 2 (t) et
t
(t) 1(t) 2 (t) 1( )2 (t ) d
0
t
et d 1 t et
0
初值问题
Tn(t
)
na
L
2
Tn (t)
fn (t)
0
Tn (0) 0, Tn '(0) 0
（7） （8）
对(7)式两边作拉氏变 换，给出代数方程：
p2Tn ( p)
na
L
2
Tn
(
p)
fn ( p)
0
Tn ( p)
fn ( p)
求解初值问题：
Tn(t)
na
L
2
Tn
(t
)
fn (t)
0
Tn (0) 0, Tn '(0) 0
（7） （8）
这个初值问题可用 拉普拉斯变换方法
求解
深圳大学电子科学与技术学院
非齐次方程求解题技巧
非齐次方程求解题技巧非齐次方程通常由齐次方程和特解两部分组成，解这类方程的一般思路是先解齐次方程得到通解，再找到一个特解，最后将齐次方程和特解合并得到非齐次方程的通解。
以下将介绍求解非齐次方程的常见方法和技巧。
一、待定系数法待定系数法是解非齐次线性常微分方程的常用方法。
假设非齐次方程为\\[y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y^{(1)}+a_ny=g(x) \\]其中$g(x)$为已知函数，$y^{(k)}$表示$y$的$k$阶导数。
用$y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$表示齐次方程的$n$个线性无关的解，则非齐次方程的通解可设为\\[y=C_1y_1+C_2y_2+...+C_ny_n+y_p \\]其中$C_1,C_2,...,C_n$为待定常数，$y_p$为特解。
先求齐次方程的通解：对于$n$阶齐次方程$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y^{(1)}+a_ny=0 $，假设它的特征方程的根为$r_1,r_2,...,r_n$，则齐次方程的通解为\\[ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+...+C_ne^{r_nx} \\] 其中$C_1,C_2,...,C_n$为常数。
再求特解：将待定系数法所设的非齐次方程代入原方程，化简并比较系数，得到待定系数的值。
常用的待定系数的选取方法有：（1）如果$g(x)$是多项式，则$y_p$也选为多项式，且$y_p$的次数不高于$g(x)$的次数。
（2）如果$g(x)$是三角函数的线性组合或指数函数$e^{ax}$与三角函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。
（3）如果$g(x)$是多项式与指数函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。
（4）如果$g(x)$是多项式与三角函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。
二阶常系数非齐次线性方程解法
就是微分方程的解
22
下面分三种情况讨论常系数齐次线性方程的通解.
1). 特征方程有两个不相等的实根
p2 4q 0
特征根为
1 p
p2 4q ,
2
2 p
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e1x ,
y2 e2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e1x C2e2x ;
14
定理 5.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程解的叠加原理)
例1
求方程
y x y 1 y 0,(x 1) x 1 x 1
23
2） 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解
若 p2 4q 0，则
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
e1 x [(u 21u 12u ) p(u 1u ) q u 0
u ( 2 1 p ) u ( 12 p 1 q ) u 0
数) 是该方程的通解.
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
11
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
数理方程与特殊函数(钟尔杰)7非齐次方程求解
将 f(x, t )也展开为固有函数Xn(x) 的级数
n f ( x , t ) f n ( t ) sin x L n 1 n W ( x , t ) Tn ( t ) sin x L n 1
代入方程: Wtt – a2Wxx = f(x,t)
na 2 n n [Tn ( ) Tn ] sin x f n ( t ) sin x L L L n 1 n 1
utt = a2uxx + A Vtt =a2[Vxx + W”] + A 取 Vtt =a2Vxx 得常微分方程: a2W”+ A = 0
2/13
求常微分方程问题
2 a W A 0 W x 0 0,W x L B
得
A 2a 2 B W 2 x[( L ) x] 2a AL
《数学物理方程》第三章§5
非齐次方程求解方法
特解齐次化方法 固有函数展开方法
1/13
P.51例6
4 8 utt u xx ( 0 x , t 0) 9 9 u x 0 0, u x 2
u t 0 si n3 x x 2 , ut
t 0
设问题II的解可以按固有函数展开
W ( x, t ) Tn ( t ) X n ( x )
其中, Xn(x)是满足齐次边界条件的固有函数
nx X n ( x ) sin L
n 0
X n 0, 0 x L Xn X (0) 0, X ( L) 0
0
utt a 2 u xx A 例1. 求定解问题 u x 0 0, u x L B u t 0 0, u t t 0 0
《数理方程与特殊数函数》课程教学大纲
《数理方程与特殊数函数》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：数理方程与特殊函数英文名称：Equations of Mathematical Physics and Special Functions二、课程代码及性质课程代码：0700081课程性质：必修三、学时与学分总学时：40（理论学时：40学时；实践学时：0学时）学分：2.5四、先修课程先修课程：微积分，线性代数，复变函数与积分变换五、授课对象本课程面向电子科学与技术，集成电路设计与集成系统（包括卓越计划实验班），光电信息科学和与工程（包括中法班），微电子科学与工程，自动化（包括理工交叉创新实验班），物流管理，电子信息工程，通信工程，电磁场与无线技术，信息类数理提高班，基于项目信息类专业教育实验班，电信卓越计划实验班，工程科学，电气工程及其自动化（包括电气卓越计划实验班），水利水电工程，工程力学，生物医学工程，软件工程，数字媒体技术等专业学生开设六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）通过本课程教学，提升学生利用数学知识分析和解决实际问题的能力；使学生了解数学物理方程的实际背景，并使学生意识到掌握本课程基本理论和方法对专业知识学习以及今后的科学实践的重要性。
正确掌握数学物理方程与特殊函数的基本概念、基本理论和基本方法，熟练掌握几类经典方程的求解方法（包括分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法、试探法等），掌握特殊函数的性质并能熟练应用特殊函数求解常见数学物理问题。
七、教学重点与难点：课程重点：三类方程的导出及物理背景、各类定解条件及定解问题、分离变量法、行波法、积分变换法、贝塞尔函数。
课程难点：格林函数法的理解和应用；贝塞尔函数性质的理解及在分离变量法中的应用；积分变换法在求解不同类型定解问题时的应用等。
八、教学方法与手段：教学方法：1、启发式讲授法：最常用的方法；2、互动式教学：组织课堂讨论，引导学生发现问题、分析问题、解决问题，倡导讨论和争论，对于每一章节的重点内容，设计学生必做的论述题；3、研究性学习：学生自由结合组合成学习小组，指导他们结合专业方向学习设计能够用数理方程与特殊函数课程中三类典型偏微分方程进行数学建模的实际物理或者专业实验，然后进行相关物理量的测量、分析，同时进行数学模型的理论计算和计算机软件仿真等工作，并将其实验报告作为平时成绩的重要参考。
数理方程教案08
教师教案( 2008—2009学年第一学期 )课程名称：数学物理方程与特殊函数授课学时：32学时授课班级：微固学院、光电学院2007级任课教师：钟尔杰教师职称：副教授教师所在学院：应用数学学院电子科技大学第一章 绪论授课时数：共2学时 1次课完成本章教学内容 一．教学内容及要求 1. 教学内容1.1常微分方程基础(1学时)； 1.2常用算符与函数(1学时)；2. 教学要求(1)复习二阶常微分方程通解概念；(2)学会求解二阶常微分方程的常数变易法； (3)了解格林公式和高斯公式。
二．教学重点与难点 1. 教学重点二阶常系数常微分方程求解方法。
2. 教学难点二阶常微分方程的常数变易法。
三．教学方式1． 提问方式：常系数齐次二阶常微分方程求解方法；2． 类比方式：一阶常微分方程与二阶常微分方程常数变易法对比3． 绘图方式：绘制多边形图形说明格林公式应用，绘制三维立体说明高斯公式应用。
四、作业 思考题：1.微分方程和代数方程的最大区别是什么?2.常系数齐次二阶常微分方程的系数满足什么条件时,通解中含有正弦函数？3.给定两个函数y1和y2,如何构造朗斯基行列式？4.谐振动中的参数 ω有何意义？5.不定积分dx x ⎰cos 与⎰dx y x ),cos(的结果有何区别？五、本章参考资料蔡日增，俞华英, 数学物理方法学习与解题指导, 长沙：湖南科学技术出版社，1988 六、教学后记本章主要介绍数理方程与特殊函数课的主要内容，回顾与数理方程相关的微积分内容，并介绍数理方程的历史背景和工程背景以及课程中的常用数学思想方法。
重点是常微数方程的求解方法，二阶常微分方程常数变易法，按计划完成了教学内容，效果较好。
第二章定解问题与偏微分方程理论授课时数：共6学时分为3次课完成本章教学内容一．教学内容及要求1. 教学内容2.1波动方程及定解条件(2学时)；2.2热传导方程及定解条件(1学时)；2.3方程的化简与分类(3学时)。
数学物理方程和特殊函数
常见类型
Pn ( x ),
Pn ( x )e x ,
e x ( A1 cos x A2 sin x )
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
1.
y py qy Pn ( x )
设非齐方程特解为 y* 为多项式 Q( x )， 代入方程
Q( x ) pQ( x ) qQ( x ) Pn ( x )
q 0 , p 0 时， 方程通解可由 y Pn ( x ) 直接积分得到.
2.
py qy Pn ( x )e x y
代入原方程
Q( x ) (2 p )Q( x ) ( 2 p q )Q( x ) Pn ( x )
设非齐方程特解为 y* Q( x )e x
例 求解下列定解问题 ( x at ) 1 x at ( x at ) U ( x, t ) xat ( )d 2 2a u u t sin x ( x , t 0) tt 1 xxx t u t 02 0 t sin x d x x 0 cos( ut t 1 sinxx ) 1 cos( x t) t 2 2 u( x , t ) U ( x , t ) V ( x , t ) 利用叠加原理
其中 f ( x , t ) F ( x , t ) /
齐次化原理
设 v( x, t; )是齐次cauchy问题
vtt a 2v xx 0 ( x , t ) (II) v 0 x t v t t f ( x , ) x
对应齐次方程 y py qy 0,
数理方程解法
令 u( x, t ) X ( x)T (t )
代入方程： X ( x)T ''(t ) a2 X ''( x)T (t ) 令 X ''( x) T ''(t ) X ( x) a 2T (t ) X ''( x) X ( x) 0 T ''(t ) a2T (t ) 0 代入边界条件 X (0)T (t ) 0,
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
T a 2T 0 n 2 x ▪求特征值和特征函数 n n / l X n ( x) Bn sin l na na cos sin t Dn t ▪求另一个函数 Tn Cn l l na na n t Dn sin t ) sin x ▪求通解 u un X nTn (Cn cos l l l n 1 n 1 n 1
2 2u u 4 0 x 10, t 0 t 2 10 x 2 , t 0 u (0, t ) u (10, t ) 0, x(10 x) u ( x,0) u ( x,0) 1000 , t 0, 0 x 10
数学物理方程与特殊函数
l
l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
n X n ( x) Bn sin x (n 1, 2,3,) l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 2u 2 u X ''( x) X ( x) 0 0 x l, t 0 t 2 a x 2 , T ''(t ) a 2T (t ) 0 t 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, 2 2 n u ( x, 0) n 2 (n 1, 2,3,) u ( x, 0) ( x), ( x), 0 x l l n t X n ( x) Bn sin x (n 1, 2,3,) l a 2 n 2 2
数理方程与特殊函数(钟尔杰)例题与习题1
其中, f 和 g 是任意函数
1/16
例1.分离变量法求解 波动方程定解问题
解:利用公式
utt
a2uxx , 0
x
,t
0
u x0 0, u x 0
u t0 sin(3 x),ut t0 0
u( x, t) [Cn cos(ant ) Dn sin(ant )]sin(nx )
n1
Cn Dn
2
0
2
na
sin(3 )sin(n
1
0sin(n )d
0
)d
0
0, 1,
n3 n3
u( x, t) cos(3at)sin(3x)
2/16
f
(x)
4
k 1
1 sin(2k 2k 1
1)x
1 0
， ,
x [0 , 1] x [0 , 1]
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
X
(0)
0,
[X
hX ]xL
0
通解: X ( x) Acos x B sin x
X(0)=0
A=0 X B sin x
[ X hX ]xL 0
cos L hsin L 0
习题2.4,2题(求方程通解)
(1) uxx +10 uxy +9 uyy = 0
解:特征方程 2 10 9 0 ( 1)( 9) 0
dy 1
dx dy 9
dx
原方程化简为
y x C1
x y
y 9x C2 9x y
u 0 u f ( ) g()
u f (x y) g(9x y)
数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解
通过比较系数得：
B0
0
b
A0 B0 Lna 1
A2a 2 B2a 2 a 4
u2
(t) u1 L
(t)
x
1( x)
(x)
u1 (0)
u2 (0)
L
u1 (0)
x
1
(
x
)
( x) u1
(0)
u2
(0) u1 L
(0)
x
(**)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可用齐次化原理或级 数法进一步求解！
注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它情形，只需恰当设 置待定多项式的形式，也可以求出需要的W(x,t),具体过程如下：
可将其分解为：
2V Vtx20
a2 V
2V x2 , (0 xL 0
x
L, t
0)
V
t0
W (x), V t
t0 0
a2W (x) A 0 W x0 0,W xL B
于是得：
W (x)
A 2a 2
x2
AL 2a 2
B x L
19
由分离变量得一般解为：
V (x,t)
n1
u2
(t) u1(t) 2L
x2
10
(4)、若边界条件为：
u 1ux x0 u1(t),u 2ux xL u2 (t)
作代换： u(x, t) V (x, t) W (x, t)
得W(x,t)需要满足的条件为：
W 1Wx x0 u1(t),W 2Wx xL u2 (t)
可令： W (x,t) A(t)x2 B(t)x
V
x t0 W (x) 3(1 l ),Vt
非齐次方程组怎么求特值
非齐次方程组怎么求特值
常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。
非齐次线性方程组的表达式为：ax=b非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a, b)（否则为无解）。
含n-r个参数的通解。
求解的存有性
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。
非齐次线性方程组存有无穷多求解的充要条件就是rank(a)\ucn。
（rank(a)则表示a
的秩）
解法
非齐次线性方程组ax=b的解步骤：
（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。
若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。
（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。
（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余
n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于c1，c2，..-r，即可写出。
非齐次是阶跃函数求特解
非齐次是阶跃函数求特解
非齐次是阶跃函数求特解是常微分方程中的一种解法。
所谓非齐次，是指方程右侧不为零；而阶跃函数是一种特殊的函数，其值在0时为0，在1时为1。
因此，非齐次是阶跃函数
求特解就是要求解一个非齐次方程，其中右侧为阶跃函数。
求解步骤如下：将非齐次方程转化为齐次方程，即令右侧为0。
然后，求出齐次方程的通解。
接着，考虑非齐次方程的特解形式，由于右侧为阶跃函数，因此特解应该是一个分段函数，即在x=0处发生跃变。
将通解和特解相加，即可得到非齐次方程的完整解。
在实际应用中，非齐次是阶跃函数求特解常用于描述物理过程中的突变现象，如电路中的开关、机械系统中的撞击等。
通过该方法求解方程，可以更加准确地描述这些现象，为实际应用提供了有力支持。
非齐次是阶跃函数求特解是一种重要的解法，可以用于描述物理过程中的突变现象。
通过该方法求解方程，可以得到更加准确的解，为实际应用提供了有力支持。
数理方程与特殊函数(钟尔杰)总复习pa
2π
性质12
F [(x )] （ x ） e j x d x e j xx 0 1
四、n维Fourier变换
F (1 , 2 , , n ) F [f( x 1 ,x 2 , ,x n ) ]
f( x 1 , x 2 ,
,x n ) e j( 1 x 1 2 x 2 n x n ) d x 1 d x 2 d x n
uS (x, y, z)
称这两个定解问题分别为Laplace方程Dirichlet问题与Poisson方程Dirichlet问题。
Neumann问题（第二类边值问题）：在空间中 某光滑的闭曲面S上给出连续函数 ，要求找 出一个函数 u(x, y, z) ，在V内满足
u 0, (x, y, z)V
二、正（余）弦变换的定义
定义2 Fourier余弦变换是指
fˆc()
f(x)cosxdx
0
定义3 Fourier逆余弦变换是指
f(x)2 π
fˆc()cosxd
0
定义4 Fourier正弦变换是指
fˆs()
f(x)sinxdx
0
定义5 Fourier逆正弦变换是指
f(x)2 π
fˆs()sinxd
L
L
n0, 1 , 2,
定义1 fˆ ( ) 称为f(x)的Fourier变换，f(x)称为 fˆ ( ) 的Fourier逆变换。
Fourier变换有多种形式。这些形式的差异主 要体现在积分号前的系数以及被积函数中指 数函数的指数符号。本书采用工程应用中典 型的定义形式，这样的Fourier变换许多性质 也可以从物理上得到解释。
2πj j
作 L1[f(s)]f(x)
二、Laplace变换的存在定理
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ut0 0, ut t0 0
令 u(x，t) = v(x，t) + W(x)
utt – a2uxx= –g vtt – a2[vxx + W”] = – g 边界: v(0, t)+W(0)=0, v(L, t)+W(L)=0
初始: v(x，0) +W(x)=0, vt(x，0) = 0
取W(x), 满足
问题I
vtt a2uxx, 0 x L,t 0
v x0 0,v xL 0
v t0 x,vt t0 x
nat natnx
v (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
7/13
问题II
Wtt a2Wxxf(x,t),0xL,t0
Wx0 0,WxL0 Wt0 0,Wt t0 0
a2Wxx g W(0) 0,W(L) 0
W(x)2ag2 x(Lx)
5/13
得齐次方程
vvtxt 0a2v0x,xvx0L,
(0 0
x
L,
t
0)
v t0
g x(L x)/ 2a2,
vt
t0
0
v(x,t)n 1CnconL sast in n L x
C nL 20 L2a g2x(Lx)sin n L xdx n2g3L23[cons()1]
g
2 g2 L ( 1 )n 1 n atn x
u (x ,t) 2 a 2x (x L )3n 1
n 3
cos sin LL
6/13
非齐次方程
utt a2uxxf(x,t),0xL,t0
ux0 0,uxL0
ut0 x,ut t0 x
令 u(x,t)= v + W ,问题分解为问题I和问题II
utt = a2uxx – C Vtt =a2[Vxx + W”] – C
取 Vtt =a2Vxx
W
C a2
得常微分方程: a2W” = C
Vtt a2Vxx
V x0 0,V xL 0
ux0A,uxLB V t 0 ( x ) W ( x )
ut t0 ( x) 4/13
例2
uutxt 0 a20u,xux xLg,0(0 xL, t 0)
的形式解.其中, A 和 B 均为常数.
解:令u(x, t )=V(x, t )+W(x) utt = Vtt , uxx = Vxx+ W”
utt = a2uxx + A Vtt =a2[Vxx + W”] + A
取 Vtt =a2Vxx 得常微分方程: a2W”+ A = 0
2/13
求常微分方程问题
《数学物理方程》第三章§5 非齐次方程求解方法
特解齐次化方法 固有函数展开方法
1/13
P.51例6
u tt9 4uxx 9 8 (0x,t0)
ux0 0,ux 2
ut0 sin3xx2,ut t0 0
例1. 求定解问题
u u
tt x
0
a 2 u xx 0, u
A
xL
B
u t 0 0, u t t 0 0
T 1(t)L a0 tA si nsiL n a(t )d
1t{c o a ) s [ a t] ( co s a )[ ( a t]d }
2 0
LL
LL
(sia n t a s itn )/ [ (a ) ( a )]
LLLLΒιβλιοθήκη u(x,t)L aA(sinLaat)(Lasian )tcoL sx
Tn(0)0
Tn(0) 0
Tn(0)0 Tn(0)0
其中
2L
nx
fn(t)L0
f(x,t)si
n dx L
齐次常微分方程通解 非齐次方程特解( P.4—P.5 )
10/13
T n(t)n L a0 tfn()sin L n a(t )d
nx
Wn(x,t)Tn(t)sinL
W(x,t)n 1Tn(t)sinnL x
LL
13/13
思考题
1. 非齐次波动方程的特解齐次化方法的求解方法与 求非齐次线性方程组的解方法有何不同？
2. 特解齐次化方法中微分方程与原问题有何不同？ 3. 固有函数展开法所针对的微分方程有何特点？ 4. 二阶线性常系数非齐次常微分方法的解是如何求
习题3.5
u tt a 2 u x xA co L x ssit,n 0 x L ,t 0
ux x0 0,ux xL 0
第3题 ut0 0,ut t0 0
固有值问题:
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
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固有值 固有函数
n
n2
L2
2
n
Xn(x)Anc
o
s L
x
将右端函数按固有函数展开
设问题II的解可以按固有函数展开 W(x,t) Tn(t)Xn(x) n0 其中, Xn(x)是满足齐次边界条件的固有函数
nx
Xn(x)sin L
X Xn (0)X0n, X (0L,)00xL
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将 f(x, t )也展开为固有函数Xn(x) 的级数
n
f(x,t)
n1
fn(t)sinLx
nx
n1CnsinL W(x)
2 L
nx
CnL
W(x)s
0
in dx L
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思考题:
u tt a 2 u x x C(0 x L ,t 0 ) ux0 A,uxLB
ut0 (x),ut t0 (x)
分析:令u(x, t )=V(x, t )+W(x) utt = Vtt , uxx = Vxx+ W”
a2W A0
Wx0
0,W xL
B
得
A
2a2B
W2a2
x[(L
)x] AL
令 u=V+W
u 0,u B
x0
xL
V 0,V 0
x0
xL
ut00,ut t0B Vt0W ,Vt t00
VVtt
x0
a2Vxx 0,V
xL
0
V t0 W ( x),Vt t0 0
nat nx
V(x,t)n1CncoL s sin L
A coL xssi n tn 1fn(t)con L sx
对比两端固有函数系数, 得 f1(t)Asi nt
fn(t) = 0, n = 2,3,·····
nx
u(x,t)n1Tn(t)cosL
x
T1(t)cos L
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T1(La)2T1Asi nt
T1(0)0 T1(0)0
积化和差
n
W(x,t)n1Tn(t)sinLx
代入方程: Wtt – a2Wxx = f(x,t)
n 1 [T n (n L a )2 T n ]sin L n x n 1fn (t)sin L n x
Tn(nL a)2Tnfn(t)
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由初始条件： W(x,0) Tn(0)Xn(x)0 n1 W(x,0) Tn(0)Xn(x)0 n1 Tn(nL a)2Tnfn(t)