简单的三角恒等变换

α π 1 解析：∵cosα＝ ，α∈(π，2π)，∴ ∈( ， 3 2 2 α
1＋cosα ＝－ 2 1 1＋ 3 6 ＝－ . 2 3
π)，∴cos 2 ＝－
5 2. 已知θ是第三象限的角，且sin θ ＋cos θ ＝ ，那 9
4 4
么sin2θ 的值为( 2 2 A. 3 2 C. 3
答案：A
[规律总结] 1. 证明恒等式的方法： ①从左到右；②从右到左；③从两边化到同一式子. 原则上是化繁为简，必要时也可用分析法． 2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手： (1)看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角 转化； (2)看函数：统一函数，向结果中的函数转化．
[变式探究3] 若tan α ＝2tan β ＋1.
π
π
三角函数式的证明
例3
[2012·武邑中学月考]已知sin(2α＋β)＝2sin
β ， 求证：tan(α＋β)＝3tanα . [思路点拨] 2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α.
[证明] ∵sin(2α＋β)＝2sinβ， ∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]， ∴sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα ＝2sin(α＋β)cosα－2cos(α＋β)sinα， ∴3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα， ∴tan(α＋β)＝3tanα.
三角函数式的求值
例 1 [教材改编题]求值： (1)sin210°＋cos240°＋sin10° cos40°； (2)sin10°²sin50°²sin70°. [思路点拨] 通过三角变换最终归结为特殊角的
三角函数值或造成同式相消， 同式约分以及其他的定值 形式．
[解] (1)解法一：因为40° ＝30° ＋10° ，于是 原式＝sin210°＋cos2(30° ＋10° )＋sin10°cos(30° ＋ 10° )＝sin
2x
x x x x 2cos （cos －sin ） cos 2 2 2 2 ＝ ＝－ ， x x x x －2sin （cos －sin ） sin 2 2 2 2 x sin 1－cosx－sinx 2 同理得 ＝－ x 1－sinx＋cosx cos 2
x x cos sin 2 2 ∴f(x)＝－ － x x sin cos 2 2 cos ＋sin 2 2 2 ＝－ ＝－ ， x x sinx sin ·cos 2 2 且x≠2kπ＋
2α 2α
2
，cos ，tan .(降幂公式) 2 2
2α
2α
1－cosα 1－cosα sin ＝ ； 2 2
1＋cosα cos ＝ ； 2 2
1－cosα tan ＝ ． 2 1＋cosα
2α
2α
α α α (2)用cosα 表示sin ，cos ，tan .(半角公式不要 2 2 2 求记忆) α ± sin ＝± 2 α cos ＝± 2 ± α tan ＝± 2
2sin（10° －60° ） ＝ cos50° cos10° sin50°cos50° ＝－2 cos10° sin100° ＝－ ＝－1. cos10°
三角函数式的化简
1＋cosx－sinx 1－cosx－sinx 例 2[ 原 创 ] 已 知 f(x) ＝ ＋ 且 1－sinx－cosx 1－sinx＋cosx π x≠2kπ＋ ，k∈Z.且 x≠kπ＋π，k∈Z. 2 (1)化简 f(x)； 1＋tan 2 x (2)是否存在 x，使得 tan ²f(x)与 相等？若存在，求 2 sinx x 的值；若不存在，请说明理由．
2x
sin2x)．
π sinx 2x 解：lg(cosx· ＋1－2sin )＋lg[ 2 cos(x－ )]－ cosx 2 4
lg(1＋sin2x)
＝lg(sinx＋cosx)＋lg( 2cosx·cos ＋ 2sinx·sin ) 4 4 －lg(sin2x＋cos2x＋2sinxcosx) ＝lg(sinx＋cosx)＋lg(cosx＋sinx)－lg(sinx＋cosx)2 ＝2lg(sinx＋cosx)－lg(sinx＋cosx)2 ＝lg(sinx＋cosx)2－lg(sinx＋cosx)2 ＝0.
) 2 2 B. － 3 2 D. － 3
Hale Waihona Puke Baidu
解析：∵sin4θ＋cos4θ 5 ＝(sin θ＋cos θ) －2sin θcos θ＝ ， 9
2 2 2 2 2
8 8 2 ∴4sin θcos θ＝ ，即sin 2θ＝ . 9 9
2 2
3 ∵π＋2kπ<θ< π＋2kπ(k∈Z)， 2 ∴2π＋4kπ<2θ<3π＋4kπ(k∈Z)，∴sin2θ＝ 2 2 . 3
简单的三角恒等变换
请注意！ 1. 灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等 变换，进而考查三角函数的图象和性质是高考的热点内 容． 2．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能 力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形 的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题．
高考考点预览
■ ²考点梳理² ■ 1. 半角公式 (1)用cosα 表示sin
三角函数式的化简原则：一是统一
角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦， 更易通分、约分． 2.
3.
三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同
名，异角化同角，降幂或升幂．
π [变式探究2] [2010²上海]已知0<x< ，化简： 2 π lg(cosx²tanx＋1－2sin )＋lg[ 2cos(x－ )]－lg(1＋ 2 4
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 3. 三角函数式的证明 (1)着眼于“统一”：角的形式、函数名称、次数 等． (2)着眼于“转化”：化繁为简.
■ ²考点自测² ■ α 1 1. 已知cosα ＝ ，α ∈(π，2π )，则cos 等于( 3 2 6 A. 3 3 C. 3
答案：B
)
6 B. － 3 3 D. － 3
2 2
求证：sin2β ＝2sin2α －1.
sin α sin β 证明：由已知得 2 ＝2· 2 ＋1， cos α cos β
2 2 2 sin2α sin β 即 ＝2· ＋1， 2 2 1－sin α 1－sin β
sin2α sin2β＋1 即 ＝ ， 2 2 1－sin α 1－sin β 即sin2α－sin2αsin2β＝sin2β＋1－sin2α－sin2α sin2β. ∴sin β＝2sin α－1，即等式成立.
2 2
课堂小结
1.三角函数式的化简 (1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函 数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约 分． (2)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最 少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(3)三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同 名，异角化同角，降幂或升幂． 2．三角函数式的求值 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一 般思路为： (1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数 名及角入手)；
(2)原式＝cos20°cos40°cos80° 2sin20°cos20°cos40°cos80° ＝ 2sin20° 2sin40°cos40°cos80° 2sin80°cos80° ＝ ＝ 4sin20° 8sin20° sin160° sin20° 1 ＝ ＝ ＝ . 8sin20° 8sin20° 8
1－cos2α (2)sin α ＝ ， 2
2
1＋cos2α cos α ＝ . 2
2
(3)1＋sin2α ＝(sinα ＋cosα )2，1－sin2α ＝(sinα － cosα )2， 1＋cos2α ＝2cos2α ， 1－cos2α ＝2sin2α .
(4)asinα ＋bcosα ＝
2x
[思路点拨] 分式的化简，关键是将分子、分母分解 因式，然后约分，运用二倍角的变形公式，可将一些多项 式化为完全平方式便于分解因式．
1＋cosx－sinx [解] (1)∵ 1－sinx－cosx x x 2cos －2sin cos 2 2 2 ＝ x x 2x 2sin －2sin cos 2 2 2
sinα cosα 2 3. 已知 ＝1，tan(α－β)＝－ ，则tan(β－ 3 1－cos2α 2α)＝________．
1 答案： 8
sinαcosα sinαcosα 解析：由已知 ＝1，得 1－cos2α 1－（1－2sin2α） cosα ＝ ＝1， 2sinα 1 2 ∴tanα＝ ，又tan(α－β)＝－ ， 2 3
·
2
10°＋
3 1 2 cos10°－ sin10° ＋sin10° 2 2
3 3 3 1 2 2 cos10°－ sin10°＝4(sin 10°＋cos 10°)＝4. 2 2
解法二：设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°， y＝cos210° ＋sin240°＋cos10°sin40°.则 x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋ sin50°＝2＋cos40°， 1 1 x－y＝cos80°－cos20°－ ＝－sin50°－ 2 2 1 3 3 ＝－cos40°－ ，因此，2x＝ ，x＝ . 2 2 4
解：(1)原式＝sin6°cos48°cos24°cos12° 24sin6°cos6°cos12°cos24°cos48° ＝ 24cos6° 23sin12°cos12°cos24°cos48° ＝ 4 2 cos6° 22sin24°cos24°cos48° ＝ 24cos6°
2sin48°cos48° ＝ 4 2 cos6° cos6° sin96° 1 ＝ 4 ＝ 4 ＝ . 2 cos6° 2 cos6° 16 sin10° (2)原式＝( － 3)sin40° cos10° sin10°－ 3cos10° ＝ sin40° cos10°
[规律总结] 对于给角求值问题，一般所给出的角都 是非特殊角，从表面来看是很难的，应仔细观察非特殊角 与特殊角的关系，利用观察得到的关系，结合三角公式转 化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．有时还 可逆用、变形运用公式．
[变式探究1] (1)sin6°sin42°sin66°sin78°； (2)(tan10°－ 3)sin40°.
2x 2x
π
2
，k∈Z.
1＋tan 2 x (2)若tan ·f(x)＝ ， 2 sinx x 2x 2tan 1＋tan 2 2 则－ ＝ ， sinx sinx x 2tan 2
2x
∴
＝－1，即sinx＝－1. 2x 1＋tan 2
3π ∴x＝2kπ＋ (k∈Z)，即存在的x值． 2
[规律总结] 1.
∴tan(β－2α)＝－tan[(α－β)＋α] tan（α－β）＋tanα ＝－ 1－tan（α－β）tanα 2 1 － ＋ 3 2 1 ＝－ ＝ . 2 1 8 1－（－ ）³ 3 2
1－cosα ； 2
1＋cosα ； 2 1－cosα . 1＋cosα
α (3)用sinα ，cosα 表示tan .(半角化单角) 2 α sinα 1－cosα tan ＝ ＝ . 2 1＋cosα sinα 2. 公式的常见变式 (1)tanα ＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanα tanβ )， tanα －tanβ ＝tan(α－β)(1＋tanα tanβ )．
a2＋b2 sin(α＋φ)(其中cosφ ＝
a b b 2 2，sinφ ＝ 2 2即tanφ ＝a)． a ＋b a ＋b 3．简单的三角恒等变换 在三角函数的化简、求值、证明中，常常要对条件 和结论进行合理的变换，“式”的变换和“角”的变换 是难点，其次名称的转化，切化弦，常数的代换是常用
的技巧．对于三角函数的图象与性质问题，很大程度上可 通过三角恒等变换，将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式，进而解决函数的最值、周期、奇偶性、单调性以 及作函数图象等问题．