自然数集的定义、运算与序

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1.1 加法的定义
加法的定义、性质
给定一个由 N → N 的映射所组成的集合 F = {f |f : N → N }. 该集与 自然数集间存在一个一对一映射 Ψ : N → F . 在集 F 中，自然数 k 在 Ψ 下 的象记为 f k ，即：Ψ(k ) = f k . ∀n ∈ N ，令 f k 满足下列条件： f 1 (n) = n+ f k (n) = [f k (n)]+ (k ̸= 1) 由有限归纳原理易知，∀k ∈ N , 对应关系 f k : N → N 是确定的. 下面在自然数集上定义代数运算“加法” ：
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加法的定义、性质
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定义 1 (加法) 在自然数集上定义一种代数运算“加法” ，对于任意有序数 对 (n, m) ∈ N , 加法运算的结果记作 n + m, 且 n + m = f m (n)
1.2
加法的性质
下面证明加法运算的交换律、结合律，证明的关键在于有限归纳原理的
应用. 在此之前要先给出一些命题. 命题 1 ∀n ∈ N, f 1 (n) = f n (1) 证明 对 n 运用限归纳原理. 显然 f 1 (1) = f 1 (1)，即命题对 n = 1 成立. 假定 ∃n ∈ N, f 1 (n) = f n (1), 那么 f 1 (n+ ) = (n+ )+ , f n (1) = (f n (1))+ = (f 1 (n))+ = (n+ )+ , 即 f 1 (n+ ) = f n (1). 故命题对 n 成立可以推出命题对 n + 1 成立, 命题对所有自然数成立. 命题 2 ∀m, n ∈ N, f n (m+ ) = [f n (m)]+ 证明 对 n 运用有限归纳原理. 显然 ∀m ∈ N, f 1 (m+ ) = (m+ )+ = [f 1 (m)]+ ，即命题对 n = 1 成立. 假定 ∃n ∈ N, ∀m ∈ N, f n (m+ ) = [f n (m)]+ . 那么,f n (m+ ) = [f n (m+ )]+ = {[f n (m)]+ }+ , [f n (m)]+ = {[f n (m)]+ }+ 即,f n (m+ ) = [f n (m)]+ . 故命题对 n 成立可以推出命题对 n + 1 成立, 命题对所有自然数成立. 命题 3 若 ∃m, n ∈ N, f m (n) = f n (m), 则 f m (n) = f n (m+ ). 证明 显然，f m (n) = [f m (n)]+ . 又由命题 2 知，f n (m+ ) = [f n (m)]+ . 带入前提条件 f m (n) = f n (m) 得，f n (m+ ) = [f m (n)]+ , 故 f m (n) = f n (m+ ). 定理 1.1 (加法交换律) ∀m, n ∈ N, n + m = m + n, 即f m (n) = f n (m) 证明 对 m 运用有限归纳原理. 由命题 1 知道，定理对 m=1 成立. 由命题 3 知道，若 ∃m, n ∈ N, f m (n) = f n (m), 则 f m (n) = f n (m+ ) 故定理对 m 成立可以推出定理对 m + 1 成立, 定理对所有自然数成立.
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乘法的定义、性质
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定理 1.2 (加法结合律) ∀n, m, k ∈ N, n + m + k = n + (m + k ) 证明 对 k 运用有限归纳原理. 由命题 2， ∀m, n ∈ N, f n (m+ ) = [f n (m)]+ , 即 (m +1)+ n = (m + n)+1. 进而由加法交换律得到:n + m + 1 = n + (m + 1), 即定理对 k=1 成立. 假定 ∀n, m, ∃k ∈ N, n + m + k = n + (m + k ). 由命题 2 和加法交换 律:n + m +(k +1) = (n + m + k )+1, 同理， n +[m +(k +1)] = n +[(m + k +1] = [n +(m + k )]+1. 由假定知， n + m + k = n +(m + k ). 进而由 Peano 公理第二 条， (n + m + k ) + 1 = [n + (m + k )] + 1, 故 n + m + (k + 1) = n + [m + (k + 1)]. 故定理对 k 成立可以推出定理对 k + 1 成立, 定理对所有自然数成立. 定理 1.3 (加法消去律) ∀n, m, k ∈ N , 若 n + k = m + k , 则 n = m. 证明 对 k 运用有限归纳原理. 由 Peano 公理第三条知定理对 k=1 成立. 设 ∃k ∈ N , 使得对 ∀n, m ∈ N , 由 n + k = m + k 可推出 n = m. 若 n + (k + 1) = m + (k + 1), 则由加法交换律和加法结合律知 (n + 1) + k = (m + 1) + k . 注意到 n + 1 ∈ N, m + 1 ∈ N , 由假设可知 n + 1 = m + 1, 进 而由 Peano 公理第三条知 n = m. 故定理对 k 成立推出定理对 k + 1 成立，定理对所有自然数成立.
自然数集的性质
摘要 本文从 Peano 公理出发，定义了自然数集的加法和乘法运算；证明了 加法和乘法运算的交换律、结合律、分配律和消去律；在自然数集上定义了 一个顺序关系，并证明该顺序关系在加法和乘法下保持不变.
公理 (Peano 公理) 自然数集 N 是满足下述一组公理的集合 1）1 ∈ N ; 2）∀n ∈ N ，n+ ∈ N 与之对应, 称 n+ 为 n 的后继数； 3) ∀n ∈ N ,n+ ̸= 1； 4）∀m, n ∈ N , 若 m+ = n+ , 则 m = n; 5) N 的任一子集 S 若满足性质：a) 1 ∈ S ,b) 由 n ∈ S 可以推出 n ∈ S , 则 S = N .（有限归纳原理）
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在自然数集上定义顺序
定义 3 ∀m, n ∈ N, m ̸= n, 若 ∃k ∈ N , 使得 m + k = n, 那么称 m < n; 若 ∃k ∈ N , 使得 n + k = m, 那么称 m < n. 下面将证明以上定义在自然数集上定义了一种序，在加法和乘法下保持不 变. 在此之前将先给出一些命题. 命题 7 ∀n ∈ N, n + 1 ̸= n 证明 对 n 运用有限归纳原理. 由 Peano 公理第三条知命题对 n=1 成立. 设 ∃n ∈ N , 使得 n + 1 ̸= n. 由 Peano 公理第四条知,(n + 1) + 1 ̸= n + 1. 故命题对 n 成立可推出命题对 n + 1 成立. 命题对所有自然数成立.
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2.1 乘法的定义
乘法的定义、性质
给定一个由 N → N 的映射所组成的集合 G = {g |g : N → N }. 该集与 自然数集间存在一个一对一映射 Φ : N → G. 在集 F 中，自然数 k 在 Φ 下 的象记为 g k ，即：Φ(k ) = g k . ∀n ∈ N ，令 f k 满足下列条件： g 1 (n) = n g k+1 (n) = g k (n) + n(k ̸= 1) 由有限归纳原理易知，∀k ∈ N , 对应关系 g k : N → N 是确定的. 下面在自然数集上定义代数运算“乘法” ：
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在自然数集上定义顺序
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命题 8 ∀n, r ∈ N, n + r ̸= n 证明 对 n 运用有限归纳原理. 由命题 7 知命题对 n = 1 成立. 设 ∃n ∈ N , 使得对 ∀r ∈ N, n + r ̸= n. 由 Peano 公理第四条知,(n + r) + 1 ̸= n + 1. 进而由加法交换律和加法结合律得到 (n + 1) + r ̸= n + 1. 故命题对 n 成立可推出命题对 n + 1 成立，命题对所有自然数成立. 命题 9 ∀n ∈ N, n ̸= 1, ∃r ∈ N , 使得 1 + r = n. 证明 用反证法. 假定 ∀r ∈ N, 1 + r ̸= n, 即 n 不是任何其他自然数的后继. 由有限归纳 原理, 可以构造出一个自然数的子集 S , 使得 S 满足有限归纳原理的条件且 n∈ / S . 由于 S = N , 所以 n ∈ / N ，这与条件 n ∈ N 矛盾, 故命题成立. 命题 10 ∀n, m ∈ N , 若 n ̸= m, 则 ∃r ∈ N , 使得 n = m + r 或 n + r = m. 证明 对 m 运用有限归纳原理. 由命题 9 知，命题对 m = 1 成立. 设 ∃m ∈ N , 对 ∀n ∈ N , 其中 n ̸= m, ∃r ∈ N , 使得 n = m + r 或 n + r = m. 考虑 ∀n ∈ N , 其中 n ̸= m + 1 且 n ̸= m. 显然 r ̸= 1. 若 n = m + r, 则由命题 9 知 ∃s ∈ N , 使得 1 + s = r, 故 n = m + 1 + s; 若 m = n + r, 则 m + 1 = n + r + 1, 即 m + 1 = n + (r + 1). 再考虑 n = m 的情形，此时显然有 n + 1 = m + 1. 所以命题对 m 成立可以推出命题对 m + 1 成立，命题对所有自然数成 立. 命题 11 ∀n, m ∈ N , 若 n ̸= m,m < n 和 n < m 有且只有一个成立. 证明 由命题 10 知，∀n, m ∈ N , 若 n ̸= m, 则 m < n 和 n < m 必有一个 成立. 用反证法证明 m < n 和 n < m 和不能同时成立. 假定既有 m < n，又有 n < m. 则 ∃r, s ∈ N , 使得 n = m + r 且 m = n + s. 故 n = m + r = n + s + r = n + (s + r). 然而由命题 8 得到 n ̸= n + (s + r)，矛盾，故命题成立.