工程数学作业4答案

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工程数学作业（第四次）

第6章 统计推断

（一）单项选择题

⒈设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2

（μσ,2

均未知）的样本，则（A ）是统计量．

A. x 1

B. x 1+μ

C.

x 12

2

σ D. μx 1

⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2

均未知）的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计．

A. max{,,}x x x 123

B. 1

2

12()x x +

C. 212x x -

D. x x x 123--

（二）填空题

1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．

2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法．

3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．

4．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2

（σ2

已知）的样本值，按给定的显著性

水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠，需选取统计量n

x U /0

σμ-=

．

5．假设检验中的显著性水平α为事件u x >-||0μ（u 为临界值）发生的概率．

（三）解答题

1．设对总体X 得到一个容量为10的样本值

4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,

5.0, 3.5, 4.0

试分别计算样本均值x 和样本方差s 2

．

解： 6.336101

101101

=⨯==∑=i i x x

878.29.259

1)(11012

1012

=⨯=--=∑=i i

x x s

2．设总体X 的概率密度函数为

f x x x (;)(),,

θθθ=+<<⎧⎨⎩101

0其它

试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数θ．

解：提示教材第214页例3

2

矩估计：,121)1()(11

0∑⎰===++=

+=n

i i x n x dx x x X E θθθθ

x

x --=112ˆθ 最大似然估计：

θθθθθ)()1()1();,,,(21121n n i n

i n x x x x x x x L +=+==

0ln 1ln ,ln )1ln(ln 11

=++=++=∑∑==n

i i n

i i x n

d L d x n L θθθθ，1ln ˆ1

--

=∑=n

i i

x

n

θ

3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m ）：

108.5 109.0 110.0 110.5 112.0

测量值可以认为是服从正态分布N (,)μσ2的，求μ与σ2的估计值．并在⑴σ225=.；⑵σ2

未知的情况下，分别求μ的置信度为0.95的置信区间．

解： 11051ˆ51===∑=i i x x μ 875.1)(151ˆ51

2

2=--==∑=i i x x s σ （1）当σ

2

25=.时，由1－α＝0.95，975.02

1)(=-

=Φα

λ 查表得：96.1=λ

故所求置信区间为：]4.111,6.108[],[=+-n x n x σ

λ

σ

λ

（2）当2

σ未知时，用2

s 替代2

σ，查t (4, 0.05 ) ，得 776.2=λ

故所求置信区间为：]7.111,3.108[],[=+-n

s

x n s

x λ

λ

4．设某产品的性能指标服从正态分布N (,)μσ2

，从历史资料已知σ=4，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平α=005.，问原假设H 020:μ=是否成立．

解：237.0162.343

|10

/42017||/|

||0=⨯=-=-=n x U σμ， 由975.02

1)(=-

=Φα

λ ，查表得：96.1=λ

因为 237.0||=U > 1.96 ，所以拒绝0H

5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm ）：

20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5

问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（α=005.）

． 解：由已知条件可求得：0125.20=x 0671.02

=s

1365.0259.0035

.0|8

/259.020

0125.20|

|/|

||0

==

-=-=n s x T μ 62.2)05.0,9()05.0,1(==-=t n t λ

∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H 0

即用新材料做的零件平均长度没有变化。

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