关于分段函数定积分的计算

厂（ｚ）
１
’
≥ ０，
１
雨 ’
ｚ ＜ ０．
解 根 据 ，（ ）的 表 达 式 ，有
ｆ（ｚ一 １）一
ｚ ≥ １， ， Ｘ ＜ １．
根 据定 积分 的性 质 ，有
又 因 为
ｄｚ—ｔｎ号，
于 是 有
ｆ１ ２ｆ（ｘ一一 １）ｄｘ—一 ｉｎ［ ｝Ｌ÷‘士 （ｅ＋１）］ 一Ｉ ．
因此 ，要使题 中的条 件成立 ，必 须取
ｋ 一 ０， ｋ ＝ １．
可 以验 证 矗不 能 大 于 ２．
例 ３ 设 ｚ≥一１，试求 Ｉ ｒ （１一Ｉ ｔ Ｉ）ｄｔ．
Ｊ 一 １
解 被积 函数 ，（≠）为 分段 函数 ，即
收 稿 日期 ：２０１０一 Ｏ１— １６；修 改 日期 ；２０１０— ０９— ０５． 作 者 简 介 ：屈 俊 （１９５９－），女 ，四川 陴 县 人 ，副 教 授 ，主 要 从 事 数 学 教
ｆ＾ （ ）， ａ≤ Ｘ＜ Ｘ１， ｆ （ｚ）， ｚｌ≤ Ｘ＜ ２，
（ｚ）一 ｛ ……………………
Ｉ
ｆ （ｚ）， Ｘｎ－１≤ ｚ≤ ｂ，
那 么 ，
ｆｌ 厂（ｚ） ｄｘ 一 ｌ‘厂。 ·（ ：ｐ ｄｘ十
ｒ＾（ｚ）ｄｚ＋…＋ｒ 厂月（ｚ）ｄｚ．
ｘ １
一 ｌ
例 １ 求 Ｉ ｆ（ｘ一１）ｄｘ；其中
也 即
ｌｉ ｍ～－￣ －＋Ｃ·）＝ ‘ｚ＋ｃｚ），
一
ｘ ￣
＋ ｃｚ）： ｌｉｍ（
、
＋ Ｃ。 ）·
Ｊ
一 １ ’
一 ÷十ｃ 一一１十ｃ２，
１＋ Ｃ２一 １ ＋ ｃ
，
而 对 于 分 段 连 续 函 数 厂（ｚ）来 讲 ，当 Ｆ（ ）也 表 为 分 段 连 续 函数 时 有 以 下 定 理 ．
Ｊ １
例 １的关 键 在 于写 出 函数 表 达 式 ，然 后 用 定 积 分 的性 质 分 段 计 算 ．
例 ２ 已知
，：＝＝ 奠 ’４．
求 ｋ的值 ，使
） 一 Ｏ４ ３ ．
解 因 为
Ｊ＇：，（ｚ） 一 （ ＋１）如＋ （１＋ ）如一
（ （ ＋专 ） ｏ４３＿（ｋ￣－ｋ）．
中闺 分 类 号 ０１７２
文 献标 识 码 Ａ
文 章 编 号 １００８—１３９９（２０１１）０１ ００６３—０３
关 于 分 段 函 数 的 定 积 分 ，一 般 书 中 涉 及 很 少 ，但 它在 高等 数 学 中却 占有 一 定 的地 位．利 用 它 可 以充 分 阐述定 积分 的概 念 与理论 ，同时 ，它 的计算题 具 有 典 型 的技能 与技 巧 ，是各 类考 试 的一个 热点 内容 ．本 文着 重讨 论 它 的计算 ，目的在 于进 一 步 丰 富高 等 数 学 的 内容 ，并 有 助于 提高 学生 的计 算能 力．
，
摘 要 通 过 例 题 分 别 讨 论 分段 连 续 函 数 定 积 分 的 计 算 及 分 段 有 界 非 连 续 函 数 定 积 分 的 计 算 ：旨在 于 进 一 步
丰 富 高 等 数 学 的教 学 内 容 ，提 高学 生 的计 算 能 力 ． 关 键 词 定 积 分 ；分段 连 续 函数 ；分 段有 界非 连 续 函 数
定理 ３ 如果 厂（ｚ）是 区问 ，６］上 的分段连续 函数 ，五（ 一 １，２，… ，ｎ一 １）为 分 段 点 ，且
ｆ厂ｌ（ｚ）， “一 ｚｏ≤ ｚ＜ ｚｌ， Ｊ ７２（ｚ）， ｚ】≤ ３２＜ ２， 厂（ｚ）＝
Ｉ ｆｎ（ｚ），
１≤ ≤ Ｘ 一 ｂ，
而 Ｆ（ｚ）是 ＿厂（ｚ）任 一 原 函数 ，Ｆ（ 为 连 续 函 数 ，且 ｆＦｌ（ ）， ａ— ｏ≤ ＜ ｊ， Ｉ Ｆ２（ ）， ｌ≤ －ｚ＜ ｚ２，
Ｆ ｚ’一｛ ……………………………
不 妨 取 Ｃ 一 ０，则 可 得
ｆｌ 冬一 ，’ ｚ＜‘、一１，’ Ｆ（ｚ）一ｌ ｚ， 一ｌ≤ｚ＜１，
【 ｘ３十 ２，ｚ≥１．
由定 理 ３有
… （１， 。 ＝
［等十号］＿［ 一号］一
例 ４与 例 ３的 计 算 方 法 不 同 ，须 先 求 出 被 积 函 数 的 不定 积 分 ，然 后 应 用 定 理 ３．
定理 ２［。 设 厂（－ｚ）在 ［口，厶］一ｈ连 续 ，Ｆ（ ）是 ，（ ）的 任 一 原 函 数 ，则
Ｉ厂（ｚ）ｄｘ— Ｆ（６）一 Ｆ（ａ）．
ｆ萼十ｃ ， ｚ＜一 ，
卜ａｘ｛１， ）ｄ 一｛ｌｚ＋ｃ２， 一１≤ ＜１，
等＋ ｚ≥１．
因 为 要 求 ｍａｘ（１，ｚ。）的 原 函 数 Ｆ（ ）连 续 ，所 以 ，
第 １４卷 第 １期 ２０ｌ１年 １ 月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ（）ＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩＣＳ
Ｖ Ｏ１．１４，ＮＯ．１ Ｊａｌ１．，Байду номын сангаас０１１
关 于 分 段 函数 定 积 分 的 计 算
屈 俊
（太 原 师 范 学 院 数 学 系 ，山 西 太原 ０３００１２）
育 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｑｕｊｕｎｌ９５９＠ １２６．ｃｏｍ．
… ·：＝＝ ：
分 两 种 情 况 考 虑 ．当 一 １≤ ｚ ＜ ０ 时 ，
。’
６４
高 等 数 学 研 究
２Ｏｌ１年 １月
√ｆ （１～１￡１）出：ｒ（１＋ｔ）ｄｔ一 （１＋ｚ）ｚ．
一 ｌ
Ｊ —ｌ
当 ｚ≥ ０时 ，
－ １）ｄｘ＝： 出十Ｊ． １
不 妨 令 一 ｅｘ－ ，那 么 ，
』： 如一Ｌ
ｌｎ
： １ｎ １ ＋ ｌｎ（ｅ＋ １）．
１ 分 段 连 续 函数 定 积 分 的计 算
１．１ 利 用 定 积 分 的 性 质 进 行 计 算
定 理 １ Ｃ ］、如果 （ ）是 ［ｎ，６］上 的分 段连 续 函 数 ， （ 一 １，２，… ，ｎ＿ １）为分段点 ，且
Ｊ’ （１一ｌ￡Ｉ）出一Ｊ’ （１＋ 出＋ （１－ｔ）ｄｔ＝
专（１ 。卜 吉（１ １－１（１－ ．
例 ３是 求 分 段 函 数 变 上 限 的 定 积 分 ，题 目 中需 要 对 ｚ的 取 值 范 围进 行 讨 论 ，这 种 方 法 有 代 表 性 ． １．２ 应 用 牛 顿 一菜 布 尼 茨 公 式 进 行 计 算