信息光学基础复习

若对于任意两个输入函数f1和f2 g1 x, y L f1 x, y g2 x, y L f2 x, y
对于任意复数常数a1和a2，均有如下关系成立：
La1 f1 x, y a2 f2 x, y La1 f1 x, y La2 f2 x, y a1L f1 x, y a2L f2 x, y a1g1 x, y a2g2 x, y
定义

Circ

x2 r0
y2


1 0
x2 y2 r0 others
应用：常用来表示圆孔的透过率。
9）脉冲函数 (Delta function) 太重要了
10）梳状函数( Comb function)
1）卷 积
• 应用： 2、相干成像：
复振幅 Ut=U0＊h 3、非相干成像：
U(P0) 是输入， U(P) 是输出， h(P,P0) 是该线
性系统的脉冲响应(点扩散函数)。
h(P,P0) 可以看作是：衍射屏上P0点的一个单位脉冲 在场点P产生的复振幅分布。它描述了衍射系统的特性。
它具有点源球面波的特性，它就是惠更斯-费涅耳原 理中的次波源发出的次级波球面波。若把衍射过程看成 一个线性系统，惠更斯-费涅耳原理中的次级球面波就是 这个系统的脉冲响应(点扩散函数)。
jk
x2
y2 2z

菲涅耳衍射等效于线性空不变系统，系统的传递函数
exp(jkz)exp -
jz(
f
2 x

f
2 y
)
3、衍射的角谱理论
A

cos
,
cos




A0

cos
光 强 It=I0＊hI
( h为脉冲响应 ) ( hI为点扩散函数 )
卷积运算的两个效应
(1)展宽效应假如函数只在一个有限区间内不为零，这 个区间可称为函数的宽度．一般说来，卷积函数的宽 度等于被卷函数宽度之和．
(2)平滑效应被卷函数经过卷积运算，其细微结构在一 定程度上被消除，函数本身起伏振荡变得平缓圆滑.
信息光学基础
复习
说明： 1、复习讲义无系统性； 2、所有抢答和填空； 3、复习和平时的ppt中的所有例题； 4、使用方法：结合平时的ppt。
一维矩形函数
rect

x a


1 0
x

a 2
others
二维矩形函数
可表示一个矩孔的透过率
4）三角形函数 (Triangle function)
F
g

x,
y

h

x,
y


G

fx
,
f
y


H

f
x
,
f
y

(8) 相关定理(Correlation Theorem)

F
g
x,
y ★g

x,
y

G
fx,
fy

2

F
g

x,
y

g

x,
y


G

f
x
,
f
y
★G

fx
,
f
y

2）线性系统的定义
严格讲，光学系统是非线性的，但大多数光学系统, 可近 似作为线性系统来处理，可得到与实际相符的结果。 ������ 线性系统可用FT、卷积运算来描述。
空间域分析方法 f x, yhx, y 才有卷积
区别：
线性系统的脉冲响应 hx, y;, L x , y
线性平移不变系统的脉冲响应
L x , y hx, y;, hx , y
பைடு நூலகம்
3）线性不变系统的传递函数
上式称为惠特克-香农抽样定理。
抽样定理例题（1）
若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” f(x,y)= (x) ，系统对线脉冲的输出响应称为线 响应L(x) 。如果系统的传递函数为H(fx, fy)，求 证：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函 数沿 fx轴的截面分布H(fx , fy)。
• 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” f(x,y)= (x) ，系统对线脉冲的输出响应称 为 线 响 应 L(x) 。 如 果 系 统 的 传 递 函 数 为 H(fx, fy)，求证：线响应的一维傅里叶变换 等于系统传递函数沿 fx轴的截面分布H(fx , fy)。
x
tri

x a


1 0
x a
others

a
tri( x ) a
1
作用 常用来表示光瞳为矩 形的非相干成像系统 的光学传递函数。
表示矩形光瞳OTF
a 0 a
函数图形
二维三角形函数
x
tri x ，y tri x tri y b d b d
C U(P0) K(0 , )=K( )
U P
1
j


U

P0

K


exp

r
jkr

dS
令
h P, P0
1 K e jkr
j
r
红线部分取决 于P、P0位置。

则有 U P U P0 hP, P0 dS

U P U P0 hP, P0 dS
数）在输出面(x,y)点上的输出响应，称为系统的 脉冲响应。
若 L x , y hx, y;, hx , y
一个空间脉冲在输入平面位移，线性系统的响应函 数形式不变，只是产生了相应位移，这样的系统称 为空间不变系统或位移不变系统。
对光学成像系统，若是空间平移不变的，也称 之为等晕的。
在徬轴近似下，忽略倾斜因子的变化后，就可以 把光波在衍射孔径后的传播过程看成是光波通过 一个线性不变系统。
在徬轴近似下，忽略倾斜因子的变化后，就可 以把光波在衍射孔径后的传播过程看成是光波 通过一个线性不变系统。
将菲涅耳衍射等效于线性空不变系统，系 统的脉冲响应是：
exp(jkz) jkz
exp
以平面波传播方向的角度(方向余弦)为宗量， 复振幅分布的空间频谱(角谱)表示为
基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射， 故又称标量衍射理论
菲涅耳—基尔霍夫衍射公式
U P
A
j
exp jkr cosn, r -cosn, r exp jkr


r

2

r
dS
对于线性不变系统，系统的作用可以用统一的一 个脉冲响应函数来表征，系统的分析得到简化！

叠加积分： g x, y f , h x, y;, dd 系统具有平移不变性 hx, y;, hx , y

卷积积分： g x, y f , h x , y dd
则表明该系统是线性系统！
线性系统：若一个系统同时具有叠加性和均匀性， 则称该系统是线性系统。
FT存在及应用条件
(Existence Conditions and Requirements)
System Requirements
To use FT the system must be Linear
5）sinc函数 (Sinc function)
定义
sin
c

x a


sin


x
a x

a
零点位置：
作用：常用来描述狭缝或矩 形孔的夫琅和费衍射图样。
x nan 1, 2,3,
函数图形
6）高斯函数 (Gauss function) 经常见到
7）圆域函数 (Circle function)
系统的性质，在频域中对输入函数进行分解时，选 用的基元函数是复指函数基元函数exp[j2(fxx+fyy)]。
抽样定理
对于一个给定的函数，选择多大的抽样间隔 （或抽样点数、或抽样频率）合适呢？
这就是抽样定理所要回答的问题。
因此，能由抽样值还原原函数的条件就是：
1) g(x,y)是限带函数 (2Bx，2By) ；
二次位相因子
1.3 平面波

U (x, y, z) a exp( jk r )
a exp[ jk(x cos y cos z cos )]
2、平面波振幅为A，传播方向在xy平面内，波矢与z
轴夹角为，则在xy平面内的复振幅分布为
Aexp jk(x cos y sin ) exp j2 fxx fy y
2) 在 x,y方向抽样点最大允许间隔分别是 1/2Bx 和 1/2By，其中2Bx和2By是包围 G( fx , fy )的最小矩形在 fx 和 fy 上的宽度。
奈魁斯特抽样间隔
奈奎斯特
即只要满足抽样的条件，在每个抽样点上放置一 个抽样值为权重的 sinc 函数作为内插函数，由这 些sinc函数的线性组合就可复原原函数。
代表一个传播方向余弦为(cos =x、cos= y)的 单色平面波。
三个方向上平面波的空间频率分别定义为
1 cos
f
xX

1 cos
f
yY

1 cos
f
zZ
平面波的空间频率
频率
传播方向
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可 看作是沿不同方向传播的平面波，因此称空间频谱 为xy平面上复振幅分布的角谱。
输出频谱
传递函数
输入频谱
从空间域入手计算 系统的输出
线性不变系统作为滤波器
从频率域入手计算 系统的输出
传递函数 = 滤波函数
G fx, fy H fx, fy F fx, fy
传递函数 H fx, fy = F h x, y
* 传递函数定义为系统脉冲响应的傅里叶变换.
证明：线脉冲实质上也是二维的函数，只是 沿 y方向函数值不变，是常数1。
1.2 球面波 单色发散球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为
U P a0 e jkr
r
U x, y
a z
exp

jkzexp

j
k z
x x
y
y

常量位相因子
传递函数表征了线性平移不变系统的频率响应特征， 即系统对输入函数中不同频率基元成分的传递能力。
线性平移不变系统的脉冲响应h(x,y)与传递函数 H(u,v)构成一对FT对：
其根源在于：脉冲响应(信号)是在空域中描述系统 的性质，在空域中对输入函数进行分解，选用的基
元函数是δ(x- , y- ); 而传递函数是在频域中描述

G

fx
,
fy





g
x,
y exp

j2

fxx

fy
y dxdy

F
g
x,
y
（7）卷积定理 **(Convolution Theorem)
F g x, y h x, y G fx, fy H fx, fy

被卷函数的细微结构被消除，圆滑化，信息高频分 量丢失，有模糊效应。
2）相 关 相关运算包括互相关和自相关运算两种
函数 f (x) = rect(x-1)★rect(x-1)的峰值出现在 。
3、空间频率及空间频谱
5、傅里叶变换
F
g x, y G fx , f y exp j2 fx x f y y dfxdf y -1 G fx , f y
Nonlinear systems often use specialized methods unique to each system. No general theory exists for nonlinear systems.
Time or space invariant. Memoryless .
才有传递函数
线性平移不变系统的空域描述:（对输入函数的变换公式）
g x, y f x, yhx, y
FT的卷积定理
G fx, fy H fx, fy F fx, fy
G fx, fy = F g x, y H fx, fy = F h x, y F fx, fy F f x, y
������ 在信息光学中, 常用的基元函数一般有两种： (1)一种是点基元函数, 也叫脉冲函数, 即δ函数， (在空域中); (2)另一种是复指数基元函数, 即平面波波函数, (在频域中)。二者构成FT 对。
系统的脉冲响应 hx, y;, L x , y
它表示系统输入面上位于(,)的单位脉冲（函