信息光学基础复习

二次位相因子
1.3 平面波

U (x, y, z) a exp( jk r )
a exp[ jk(x cos y cos z cos )]
2、平面波振幅为A，传播方向在xy平面内，波矢与z
轴夹角为，则在xy平面内的复振幅分布为
Aexp jk(x cos y sin ) exp j2 fxx fy y
F
g

x,
y

h

x,
y


G

fx
,
f
y


H

f
x
,
f
y

(8) 相关定理(Correlation Theorem)

F
g
x,
y ★g

x,
y

G
fx,
fy

2

F
g

x,
y

g

x,
y


G

f
x
,
f
y
★G

fx
,
f
y

2）线性系统的定义
严格讲，光学系统是非线性的，但大多数光学系统, 可近 似作为线性系统来处理，可得到与实际相符的结果。 ������ 线性系统可用FT、卷积运算来描述。
若对于任意两个输入函数f1和f2 g1 x, y L f1 x, y g2 x, y L f2 x, y
对于任意复数常数a1和a2，均有如下关系成立：
La1 f1 x, y a2 f2 x, y La1 f1 x, y La2 f2 x, y a1L f1 x, y a2L f2 x, y a1g1 x, y a2g2 x, y
输出频谱
传递函数
输入频谱
从空间域入手计算 系统的输出
线性不变系统作为滤波器
从频率域入手计算 系统的输出
传递函数 = 滤波函数
G fx, fy H fx, fy F fx, fy
传递函数 H fx, fy = F h x, y
* 传递函数定义为系统脉冲响应的傅里叶变换.
光 强 It=I0＊hI
( h为脉冲响应 ) ( hI为点扩散函数 )
卷积运算的两个效应
(1)展宽效应假如函数只在一个有限区间内不为零，这 个区间可称为函数的宽度．一般说来，卷积函数的宽 度等于被卷函数宽度之和．
(2)平滑效应被卷函数经过卷积运算，其细微结构在一 定程度上被消除，函数本身起伏振荡变得平缓圆滑.
信息光学基础
复习
说明： 1、复习讲义无系统性； 2、所有抢答和填空； 3、复习和平时的ppt中的所有例题； 4、使用方法：结合平时的ppt。
一维矩形函数
rect

x a


1 0
x

a 2
others
二维矩形函数
可表示一个矩孔的透过率
4）三角形函数 (Triangle function)
以平面波传播方向的角度(方向余弦)为宗量， 复振幅分布的空间频谱(角谱)表示为
基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射， 故又称标量衍射理论
菲涅耳—基尔霍夫衍射公式
U P
A
j
exp jkr cosn, r -cosn, r exp jkr


r

2

r
dS
������ 在信息光学中, 常用的基元函数一般有两种： (1)一种是点基元函数, 也叫脉冲函数, 即δ函数， (在空域中); (2)另一种是复指数基元函数, 即平面波波函数, (在频域中)。二者构成FT 对。
系统的脉冲响应 hx, y;, L x , y
它表示系统输入面上位于(,)的单位脉冲（函

G

fx
,
fy





g
x,
y exp

j2

fxx

fy
y dxdy

F
g
x,
y
（7）卷积定理 **(Convolution Theorem)
F g x, y h x, y G fx, fy H fx, fy

对于线性不变系统，系统的作用可以用统一的一 个脉冲响应函数来表征，系统的分析得到简化！

叠加积分： g x, y f , h x, y;, dd 系统具有平移不变性 hx, y;, hx , y

卷积积分： g x, y f , h x , y dd
才有传递函数
线性平移不变系统的空域描述:（对输入函数的变换公式）
g x, y f x, yhx, y
FT的卷积定理
G fx, fy H fx, fy F fx, fy
G fx, fy = F g x, y H fx, fy = F h x, y F fx, fy F f x, y
被卷函数的细微结构被消除，圆滑化，信息高频分 量丢失，有模糊效应。
2）相 关 相关运算包括互相关和自相关运算两种
函数 f (x) = rect(x-1)★rect(x-1)的峰值出现在 。
3、空间频率及空间频谱
5、傅里叶变换
F
g x, y G fx , f y exp j2 fx x f y y dfxdf y -1 G fx , f y
jk
x2
y2 2z

菲涅耳衍射等效于线性空不变系统，系统的传递函数
exp(jkz)exp -
jz(
f
2 x

f
2 y
)
3、衍射的角谱理论
A

cos
,
cos




A0

cos
空间域分析方法 f x, yhx, y 才有卷积
区别：
线性系统的脉冲响应 hx, y;, L x , y
线性平移不变系统的脉冲响应
L x , y hx, y;, hx , y
3）线性不变系统的传递函数
x
tri

x a


1 0
x a
others

a
tri( x ) a
1
作用 常用来表示光瞳为矩 形的非相干成像系统 的光学传递函数。
表示矩形光瞳OTF
a 0 a
函数图形
二维三角形函数
x
tri x ，y tri x tri y b d b d
2) 在 x,y方向抽样点最大允许间隔分别是 1/2Bx 和 1/2By，其中2Bx和2By是包围 G( fx , fy )的最小矩形在 fx 和 fy 上的宽度。
奈魁斯特抽样间隔
奈奎斯特
即只要满足抽样的条件，在每个抽样点上放置一 个抽样值为权重的 sinc 函数作为内插函数，由这 些sinc函数的线性组合就可复原原函数。
在徬轴近似下，忽略倾斜因子的变化后，就可以 把光波在衍射孔径后的传播过程看成是光波通过 一个线性不变系统。
在徬轴近似下，忽略倾斜因子的变化后，就可 以把光波在衍射孔径后的传播过程看成是光波 通过一个线性不变系统。
将菲涅耳衍射等效于线性空不变系统，系 统的脉冲响应是：
exp(jkz) jkz
exp
则表明该系统是线性系统！
线性系统：若一个系统同时具有叠加性和均匀性， 则称该系统是线性系统。
FT存在及应用条件
(Existence Conditions and Requirements)
System Requirements
To use FT the system must be Linear
Nonlinear systems often use specialized methods unique to each system. No general theory exists for nonlinear systems.
Time or space invariant. Memoryless .
证明：线脉冲实质上也是二维的函数，只是 沿 y方向函数值不变，是常数1。
1.2 球面波 单色发散球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为
U P a0 e jkr
r
U x, y
a z
exp

jkzexp

j
k z
x x
y
y

常量位相因子
5）sinc函数 (Sinc function)
定义
sin
c

x a


sin


x
a x

a
零点位置：
作用：常用来描述狭缝或矩 形孔的夫琅和费衍射图样。
x nan 1, 2,3,
函数图形
6）高斯函数 (Gauss function) 经常见到
7）圆域函数 (Circle function)
C U(P0) K(0 , )=K( )
U P
1
j


U

P0

K


exp

r
jkr

dS
令
h P, P0
1 K e jkr
j
r
红线部分取决 于P、P0位置。

则有 U P U P0 hP, P0 dS

U P U P0 hP, P0 dS
定义

Circ

x2 r0
y2


1 0
x2 y2 r0 others
应用：常用来表示圆孔的透过率。
9）脉冲函数 (Delta function) 太重要了
10）梳状函数( Comb function)
1）卷 积
• 应用： 2、相干成像：
复振幅 Ut=U0＊h 3、非相干成像：
数）在输出面(x,y)点上的输出响应，称为系统的 脉冲响应。
若 L x , y hx, y;, hx , y
一个空间脉冲在输入平面位移，线性系统的响应函 数形式不变，只是产生了相应位移，这样的系统称 为空间不变系统或位移不变系统。
对光学成像系统，若是空间平移不变的，也称 之为等晕的。
传递函数表征了线性平移不变系统的频率响应特征， 即系统对输入函数中不同频率基元成分的传递能力。
线性平移不变系统的脉冲响应h(x,y)与传递函数 H(u,v)构成一对FT对：
其根源在于：脉冲响应(信号)是在空域中描述系统 的性质，在空域中对输入函数进行分解，选用的基
元函数是δ(x- , y- ); 而传递函数是在频域中描述
上式称为惠特克-香农抽样定理。
抽样定理例题（1）
若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” f(x,y)= (x) ，系统对线脉冲的输出响应称为线 响应L(x) 。如果系统的传递函数为H(fx, fy)，求 证：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函 数沿 fx轴的截面分布H(fx , fy)。
• 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” f(x,y)= (x) ，系统对线脉冲的输出响应称 为 线 响 应 L(x) 。 如 果 系 统 的 传 递 函 数 为 H(fx, fy)，求证：线响应的一维傅里叶变换 等于系统传递函数沿 fx轴的截面分布H(fx , fy)。
U(P0) 是输入， U(P) 是输出， h(P,P0) 是该线
性系统的脉冲响应(点扩散函数)。
h(P,P0) 可以看作是：衍射屏上P0点的一个单位脉冲 在场点P产生的复振幅分布。它描述了衍射系统的特性。
它具有点源球面波的特性，它就是惠更斯-费涅耳原 理中的次波源发出的次级波球面波。若把衍射过程看成 一个线性系统，惠更斯-费涅耳原理中的次级球面波就是 这个系统的脉冲响应(点扩散函数)。
代表一个传播方向余弦为(cos =x、cos= y)的 单色平面波。
三个方向上平面波的空间频率分别定义为
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1 cos
f
xX

1 cos
f
yY

1 cos
f
zZ
平面波的空间频率
频率
传播方向
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可 看作是沿不同方向传播的平面波，因此称空间频谱 为xy平面上复振幅分布的角谱。
系统的性质，在频域中对输入函数进行分解时，选 用的基元函数是复指函数基元函数exp[j2(fxx+fyy)]。
抽样定理
对于一个给定的函数，选择多大的抽样间隔 （或抽样点数、或抽样频率）合适呢？
这就是抽样定理所要回答的问题。
因此，能由抽样值还原原函数的条件就是：
1) g(x,y)是限带函数 (2Bx，2By) ；