高等代数选讲
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一、单项选择题
1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ D ）
() ()k k k A AB A B =； - ()B A A -=-；
22()
()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。
2．设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则（ B ）。
()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； ()
C 若m n >，则0AB ≠； ()
D 若m n <，则0AB ≠；
3．
n
中下列子集不是n
的子空间的为（ A ）．
()
{}
3
111[,0,
,0,],n n A W a a a a =∈
()3
2121[,,
,],1,2,
,,1n
n i i i B W a a a a i n a =⎧
⎫
=∈
==⎨⎬⎩⎭∑；
()3
3121[,,
,],1,2,
,,1n n i i i C W a a a a i n a =⎧
⎫
=∈==⎨⎬⎩⎭∏；
， ()
{}3
42[1,,
,],2,3,
,n i D W a a a i n =∈
=
二、填空题
1．计算行列式22
2
1
11
2
34234= 2 ；3200120002321
2
4
4
= 16 。
2．设44411
32145
333222354245613
D =，则212223A A A ++= 20 ；
2425A A +
= 0 。
三．
计算n 阶行列式：530002530002500000530
2
5
n D =
解： 2156355
000002000052000
35200
0350*******
20000520003520003520
0035000035
--⨯-⨯=-=n n D
四．已知矩阵X 满足111221022402110066X -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，求X 解：由于060
1122
011
1
≠=-- 故
五．利用综合除法将5()f x x =表示成1x -的方幂和的形式。 解：令f(x)=(x-1)5+a(x-1)4+b(x-1)3+c(x-1)2+d(x-1)+e ，则
问题变为把多项式f(x)表成x-1的方幂和,由综合除法：
1 | 1 0 0 0 0 0 +) 1 1 1 1 1 1
------------------------------------------------------- 1 | 1 1 1 1 1 | 1 +) 1 2 3 4
------------------------------------------------------ 1 | 1 2 3 4 | 5 +) 1 3 6
----------------------------------------------- 1 | 1 3 6 | 10 +) 1 4
---------------------------------- 1| 1 4 | 10 +) 1
---------------------------------- 1| 1 | 5
所以1)1(5)1(10)1(10)1(5)1()(2345+-+-+-+-+-=x x x x x x f