微分中值定理的证明题
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微分中值定理的证明题
1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ∀∈，
(,)a b ξ∃∈使得：()()0f f ξλξ'+=。
证：构造函数()()x F x f x e λ=，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()0F a F b ==，由罗尔中值定理知：,)a b ξ∃∈（，使()0F ξ'=
即：[()()]0f f e λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=。
2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ∃∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。
证：将上等式变形得：1111
111111
(1)()b a
e e e b a b a
ξξ-=--
作辅助函数1
()x
f x xe =，则()f x 在11[,]b a
上连续，在11
(,)b a 内可导，
由拉格朗日定理得：
11
()()1()11f f b a f b a
ξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即 11111(1)11b a
e e
b
a e
b a ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即：ae (1)(,)b e be e a b ξξ-=- (,)a b ξ∈。
3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)
内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。
证：显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0F F ==，故由罗尔定理知：0(0,1)x ∃∈，使得0()0F x '=
又2()2()()F x xf x x f x ''=+，故(0)0F '=， 于是()F x '在0[0]x ，上满足罗尔
定理条件，故存在0(0,)x ξ∈， 使得：()0F ξ''=，而0(0,)x ξ∈⊂(0,1)，即证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ．
(2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得
【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.
【证明】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .
（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--=
'ξξηf f f ，ξ
ξζ--='1)
()1()(f f f
于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=
''ξ
ξ
ξξξξξξζηf f f f 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.
【分析】)(x f 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到
0)()(0)()()()(=-+→=-+→=+x f x a f f a f f a f ξξξξ
【证明】令)()()(x f x a f x G -+=，],0[a x ∈．)(x G 在[0,a]上连续，且 )()0()()2()(a f f a f a f a G -=-=
)0()()0(f a f G -=
当)0()(f a f =时，取0=ξ，即有)()(ξξf a f =+；