现代控制理论最优控制(1)

1）泛函自变量的变分
δ x x(t ) x (t )
*
2）泛函的变分 泛函的增量：由自变量函数x(t)的变分δx(t)的泛函J[x(t)]
增量为
Δ J [x] J [x(t) δ x(t)] J [x(t)] L[x(t ), δ x(t)] o[x(t), δ x(t)]
泛函的变分：泛函J[x(t)]的增量ΔJ[x(t)]的线性主部称为 泛函的一阶变分，简称泛函变分记为δJ,即
J J [ x(t ) x(t )] 0 L[ x(t ), x(t )]
类比于函数y=f(x)，其增量为 Δy= f(x+Δx)-f(x)=f’(x)dx+o(Δx) y=f(x)的微分 dy=f’(x)dx
2. 确定容许控制域
对于r维控制向量u（t），要满足客观约束条件
i ( x, u ) 0 j 1, 2,, m mr 把u {u (t ) i ( x, u ) 0}称为控制域
满足u (t ) u的u (t )称为容许控制
3.确定始端与终端条件 若系统的初始时刻t0确定，则：
3） 泛函的极值
若泛函J[x(t)]在曲线x(t)= x*(t)上达到极值，则有
J J [ x(t ) x(t )] 0 0
若
ΔJ=J[x(t)]-J[x*(t)] ≥0
则称泛函J[x(t)]在曲线x*(t)上达到极小值；若
ΔJ=J[x(t)]-J[x*(t)] ≤0
3）综合型性能指标（ 波尔扎型）
J x t , u t , t dt x(t f ), t f t 0 L 或J x(k f ), k f L[ x (k ), u ( k ), k ]
k k0 k f 1 tf
解得通解：
x*=C1t+C2
对于第（1）种端点情况，将x(0)=1, x(1)=2代入，求得极值曲线 x*（t）=t+1; 相应的泛函值为 J[x*(t)]=2 对于第（2）种端点情况，将x(0)=1, x(1)未定，利用横截条件
L x
t t f
0
* (t f ) 0 有x
解得极值曲线为 相应的泛函值为
则称泛函J[x(t)]在曲线x*(t)上达到极大值。
2、无约束条件的泛函极值问题
设函数x（t）在时间区域t∈[t0,tf]上连续可导，而函数
(t ), t ] L L[ x(t ), x
(t ) 和时间t确定，求泛函 在每个时刻上的值有函数x(t)及导数x
t , t J L x t , x dt t0
初始状态x（t0）给定，称为固定始端 初始状态x（ t0 ）任意，称为自由始端 初始状态x（t0）有约束条件，称为可变始端
若系统的终端时刻tf确定，则： 终端状态 x（tf）给定，称为固定终端 终端状态 x（tf）任意，称为自由终端 终端状态 x（tf）有约束条件，称为可变终端
4. 性能指标 1）积分型性能指标（ 拉格朗日问题）
的极值。其几何意义是，确定一条极值曲线x*(t)，使给定函 (t ), t ] 沿该曲线的积分达到极值。 数 L L[ x(t ), x
tf
1） 固定始端与终端问题
定理1
设曲线x(t)的始端x（t0）=x0，终端x(tf)=tf, t t , t 则使性能泛函 J t L x t , x dt取极值的必要 条件是x(t)为二阶微分方程
f 0
L d L d 0 即Lx Lx 0 x dt x dt
其展开式为
的解。
Lxx Lx Lx x0 t Lxx x
我们将式
L d L 0 x dt x
称为欧拉方程。
欧拉方程是个二阶微分方程，极值曲线x*(t)是满足欧拉方程的解
现代控制理论
用变分法解最优控制问题
作者：
1.最优控制是按照控制对象的动态特性，选择一 个容许控制，既能满足被控对象的技术要求， 又能使给定的性能指标达到最优。 2.设计最优控制的常用方法
变分法
极小值原理 动态规划法
用变分法求解最优控制问题
一、最优控制的数学描述
1. 被控系统数学模型
(t ) f [ x(t ), u (t ), t ] 连续系统 x 离散系统 x(k 1) f [ x(k )值曲线x*(t)的附近有一容许曲线
x(t ) x *(t ) (t )
tf
0 1
其中，η(t)是任意选定的可导函数。则性能泛函
，t)dt * J ( ) （ L x * ， x
t0
根据泛函取极值的必要条件δJ=0，可得
d J ( ) d
L d L 0 x dt x
（欧拉方程） （横截条件）
L (t )] } t t f 0 {L [C (t ) x x
, t ] 至少应两次连续可微； 其中，x（t）应有连续二阶导数；L[ x, x C（t）应有连续的一阶导数。
反应控制过程的快速性
tf
J L x t , u t , t dt 或J L[ x(k ), u (k ), k ] t0
k k0
N 1
2）终端型性能指标（ 梅耶型）
反应终端控制精度的度量
J x(t f ), t f 或J x (k f ), k f
2）横截条件与边界条件问题
初始时刻t0和终端时刻tf都固定时，根据初始状态和终 端状态的不同，可分以下四种情况
X(t0) 固定 自由
X(tf) 固定 固定
应满足的横截条件 无需横截条件给出的边界条件
L x
L x
L x
t t0
t t0
0
0
t t f
固定 自由
自由 自由
x*（t）=1 J[x*(t)]=1
0≤t≤1；
3）可变终端时刻问题
始端时刻t0和状态想x(t0)固定，终端时刻tf不固定，且 终端状态x(tf)必须沿着一条规定的曲线C(tf)变动。
定理2： 设曲线x(t)从固定始端x(t0)到达给定终端线 x(tf)=C(tf*)上，则使性能泛函取极值的必要 条件是
t t f
0
;
L x
0
例1 求泛函
2 1)dt J [ x(t )] ( x
0
1
满足下列两种断点情况的极值曲线x*(t)。 （1）x(0)=1, x(1)=2; (2) x(0)=1, x(1)未定。 解： 由欧拉方程
d L d L * 0 2x 0得 dt x dt x
用变分法求解最优控制问题
(t ) f [ x(t ), u(t ), t ] ，初始状态为 x(t0 ) 系统状态方程为 x
其中，x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数，它 是 x 、u 和t 的连续函数，并且对x 、t 连续可微。
寻求在[t0,tf ]上的最优控制u(t) ∈R或u(t) ∈U以将系统状 态从x(t0)转移到x(tf),并使性能指标
J x t , u t , t dt x(t f ), t f t0 L
tf
最优。其中L(x,u,t)是x、u和t的连续函数 最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极 值问题。
泛函与变分法
1、泛函的基本定义
如果对于某个函数集合{x(t)}中的每一个函数x(t)，变 量J 都有一个值与之对应，则称变量J 为依赖于函数x(t)的 泛函，记作J[x(t)]。 泛函是函数的函数，变分是泛函或函数的增量。
0
d ，t)dt * （ L x * ， x t0 d tf L d L L t f ( )dt t0 t0 x dt x x 0
tf
0
d J ( ) d
0


tf
t0
(
L d L L ) dt x dt x x
tf t0
0
①
任意的η(t)都有δJ=0
L d L 0 当η(t0)=0和η(t f)=0时，上式中 x dt x
才可使得对
② 当η(t0) ≠0和η(tf) ≠0时，泛函取极值的必要条件除满足欧 拉方程之外还应满足横截条件
L x L x
t t0
0 0
t t f