第二章、模糊控制理论基础

A U U
上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子 、 来进行的。
引入概率算子和有界算子：
^ 定义2-7 称 、+ 为概率算子，对a,b[0,1],有： a b=ab ^ a+b=a+b-ab ^ 由定义可知，如a,b[0,1],则a b [0,1], a+b [0,1]。
5
A的补运算：
A 1 0.6 1- 0.5 1-1 1- 0.4 1- 0.3 0.4 0.5 0 0.6 0.7
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u u u u
1 2 3
4
u
5
定理2－1 模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U 中的任意模糊子集,则下列等式成立： （1）结合律 （2）分配律 （3）同一律 （4）零一律
A ( B C ) ( A B) C
A ( B C ) ( A B) ( A C )
A ( B C ) ( A B) C
A ( B C ) ( A B) ( A C )
A U A
A A
A
( A, B F (U ))
A A (u) 0 (u U )
A U A (u) 1 (u U )
B A B (u) A (u) (u U )
（4）等集 两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的隶属函数 相等，则A和B也相等。即
A B A (u ) B (u )
F = F (u i)/u i i 1
n
例：集合F表示接近于0的整数（已知论域U={0,1,2,3,4,5}）
F 1.0 0.9 0.75 0.5 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5
(2)序偶表示法
F ={(u1,(u1)),(u2 , (u2)),…,(un , (un))}
例：人对温度的感觉(0C ~40C的感觉)：
“舒适”的温度：15C ~25C “热”： 25C以上
“冷”：
15C 以下
经典集合：14.99C属于“冷”；15.01 C属于舒适。 与人的感觉一致吗？
1.0
冷
0 15
舒 适 温 度 25
1.0
(T)
(T)
热 40 C
冷 0 15
舒适 温度 25 40
第二章 模糊控制理论基础
第一节 引言 一、模糊控制的发展 二、模糊控制的特点 1、无需知道被控对象的数学模型
2、是一种反映人类智慧思维的智能控制。
模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、 “中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出。 3、易于被人们所接受（核心：控制规则） 4、构造容易 5、鲁棒性好。
注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不相交。
重叠指数：衡量隶属度函数与模糊控制 器性能关系的一个重要指标。 重叠指数：重叠率、重叠鲁棒性

1.0
A1
A2
0.5 L‘ 0 L U U’ x
重叠范围 重叠率＝ 附近模糊隶属函数的范 围 (0.2~0.6为宜)
重叠范围 附近隶属函数的范围
重叠鲁棒性＝
定义2-8 设A,B F(U),则定义代数运算：
(1)A与B的代数积记作A B，运算规则由下式确定： A B(u)= A(u)B(u)
^
u U
(2)A与B的代数和记作A + B，运算规则由下式确定： A ^ B(u)= A(u)+B(u)- A(u)B(u) + u U
例2-3 设论域U={u1, u2, u3, u4, u5}中的两个模糊子集为：
A 0.6
1
u u u u u
2 3 4

0.5

1

0.4

0.3
5
B
0.5 0.6 0.3 0.4 0.7
u u u u
1 2 3
4
u
5
则A、B的并运算：
A B 0.6 0.5 0.5 0.6 1 0.3 0.4 0.4 0.3 0.7 0.6 0.6 1 0.4 0.7
1 TU (u) 0
u U u U
经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的 关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一 而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。 用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。 对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、 “温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。 经典集合对事物只用"1"、"0"简单地表示“属于” 或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度 (Degree of membership)”来描述元素的隶属程度， 隶属度是0到1之间连续变化的值。 模糊集合 特征函数 隶属度函数（0～1连续变化值）
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
模糊集合表示为：
0.1 0
u 25 2 1 F 1/ u [1 ( ) ] /u 5 0u 25
25u 100
0
20
40
60 X Years
80
100
120
“年轻”的隶属函数曲线
二、模糊集合的运算
定义： （1）空集 模糊集合的空集的隶属度为0，即 （2）全集 模糊集合的全集的隶属度为1，即 （3）子集（包含于） 若B为A的子集，则
例2-1 设集合U由1到5的五个自然数组成，用上述前三种方法写 出该集合的表达式。 解：(1)列举法 U={1,2,3,4,5} (2)定义法 U={u|u为自然数且1u5} (3)归纳法 U={ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=1} 特征函数表示法：集合U通过特征函数来TU(u)表示
(0.3~0.7为宜)
U
L
( A1 A2 )dx 2(U L)
例：
重叠指数的定义

A1
A2
求重叠率和重叠鲁棒性
10 解： 重叠率＝ / 30 0.333
重叠鲁棒性＝

40
0 .5
1dx 10 0.5 20
30
2(40 30)
20
30
重叠率和重叠鲁棒性越大，模糊控 制模块模糊性越强，规则越多，越复杂， 精度越高。
三、隶属度函数的建立 模糊集合是用隶属函数描述的。
隶属度函数：模糊集合的特征函数（取值范围在[0,1]区间）
由于模糊集理论的研究对象具有”模糊性”和经验性, 因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的。 确定隶属度函数的方法具有主观性，但主观的反映和 客观的存在有一定的联系，是受客观制约的。 确定隶属函数应遵守的一些基本原则： 1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合
u F
（隶属函数 F：u隶属于F的程度）
（映射）
F (u)=1：u完全属于U； F (u)= 0：u完全不属于U； 0< F (u)<1：u部分属于U。 U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度来表示： F={(u ,F (u) )| uU}
例2-2 设F是远大于0的实数集合（显然F是模糊集 合，而论域U表示全部实数集合），U中任一元素u隶 属模糊集合F的隶属度F (u)可有下式来定义：
热 C
经典集合对温度的定义
模糊集合对温度的定义
设U为一可能是离散或连续的集合，用{u}表示， 论域（Universe of Discourse）： U 所有元素组成的全集
元素：u 定义2-1 模糊集合：论域U中的模糊集合F用一个 在区间[0,1]上的取值的隶属函数F来表示，即：
F ：U [0,1]
很低
1
低
适中
高
很高
标称名：语言值 (个数适中：3～ 9个（奇数）)
语言值的个 数和规则数 成正比。
Degree of membership
0.8
0.6
0.4
0.2
0 5
20
30
50
70
95
100
速度（语言变量）
3、隶属度函数要符合人们的语言顺序，避免不恰当的重叠

1 .0
适中
高
很高
0
32 速度/(km h 1 )
三、模糊控制器构造技术
1、硬件：采用传统的单片机 软件：实现模糊推理和控制 2、模糊单片机或集成电路芯片 3、可编程门阵列
第二节 模糊集合论基础 一、模糊集的概念 二、模糊集合的运算
三、隶属函数的建立
四、模糊关系
一、模糊集的概念 集合：具有某种特定属性的对象的全体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：u表示； 集合的全体又称为论域通常用大写英文字母如：U表 示。 uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
定义2-9 称 、为有界算子，对a,b[0,1],有： a b= max(0,a+b-1) a b= min(1,a+b) 可以证明： a,b[0,1], 0 max(0,a+b-1)1、 0 min(1,a+b)1 定义2-10 设A,B F(U),则定义有界运算： (1)A与B的有界积记作A B，运算规则由下式确定： A B(u)=max (0, A(u)+B(u) -1) u U (2)A与B的有界和记作A B，运算规则由下式确定： A B(u)= min(1, A(u)+B(u) ) u U
例:适中速度的集合是模糊集合。可表示为: “适中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70