灰色预测模型GM(1-1)(精)

数学建模案例分析

灰色预测模型GM(1,1)及其应用

蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。

为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。

一、灰色预测模型GM（1,1）

建模步骤如下：

（1）GM（1,1）代表一个白化形式的微分方程：

dX(1)

+aX(1)=u （1） dt

式中，a,u是需要通过建模来求得的参数；X(1)是原始数据X(0)的累加生成（AGO）值。

（2）将同一数据列的前k项元素累加后生成新数据列的第k项元素，这就是数据处理。表示为：

X

不直接采用原始数据X(0)(1)(k)=∑X(0)(n) （2） n=1k建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。

（3）对GM（1,1），其数据矩阵为

⎛-0.5[X(1)(1)+X(1)(2)] -0.5[X(1)(2)+X(1)(3)]B= -0.5[X(1)(N-1)+X(1)(N)]⎝

向量YN=[X(0)(2),X(0)(3), ,X(0)(N)]T

（4）作最小二乘估计，求参数a,u 1⎫⎪1⎪（3）⎪⎪1⎪⎭

T-1Tˆ= ⎪α=(BB)BYN （4） u⎪⎝⎭⎛a⎫

（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为

ˆ(1)(t+1)=(X(0)(1)-u)e-at+u （5） Xaa

这就是要建立的灰色预测模型。

灰色系统方法建模

数学建模案例分析

二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测

下面是对Cr-mo-0.25V低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm2）情况下的蠕变断裂时间见下表。

表中一次累加数列X

(1)

(k)是根据断裂时间数列X(0)(k)，由公式（2）得到的。例如，

X

(1)

(3)=∑X(0)(n)=2.38+2.80+4.25=9.43。

n=1

3

⎛-3.78

-7.30

按（3）构造矩阵B=

-12.8

-21.9⎝1⎫⎪1⎪⎛-0.5⎫T

ˆ ，，代入（4），可得α=Y=[2.80,4.25,6.85,11.3]N 0.97⎪⎪， 1⎪⎝⎭⎪

1⎪⎭

ˆ(1)(t+1)=4.4e0.5t-2.2，取t为应力序数k时，由按（5）可得到模型（1）的解为X

ˆ(1)(k+1)=4.4e0.5k-2.2 （6） X

ˆ(1)(k+1)(k=1,2, )。即可得到生成累加数列X

2、检验

ˆ(1)(k+1)=[5.05,9.76,17.52,30.3]，而由表中得出当k=1,2,3,4时，由（6）式得出X X(1)(k+1)=[5.18,9.43,16.28,27.58]，计算出平均相对误差为0.04，这一精度是相当理想的。

3、预测

由上面得到的一次累加生成数列与实际一次累加生成数列很接近，因而可以用来估计原始一次累加生成数列中的各个数据。特别是估计序数5以后的数据，就更有实际意义了。

轻载荷的蠕变实验所需要的时间是相当长的，少则几天，多则几年。在重载荷的基础上减轻1公斤，试验时间将相应增加几百甚至几千小时。根据已有重载荷试验数据，预报减轻重载后的断裂时间就显得重要了。下面，我们根据（6）式来预测载荷32 kg/mm2的断裂时间。它对应的序数为6，也就是要求出X再由X

(0)

(1)

(1)(1)

由（6）式得X(6)=51.4，从表中查得X(5)=27.58(6)和X(0)(6)。

这说明，在载荷32 kg/mm2下，此种材料大约经过2382(6)=X(1)(6)-

X(1)(5)=23.82，

小时断裂。

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