初中数学青岛版九年级上册第3章 对圆的进一步认识3.1 圆的对称性-章节测试习题(6)

章节测试题

1.【题文】我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：

如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D.

(1)求证：AB＝CD；

(2)若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．

【答案】（1）见解析；（2）上述结论成立．

【分析】（1）过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根据角平分线性质得出ON=OM，再根据题中定义即可得出答案；（2）方法同（1）．

【解答】解：(1)过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.

又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.

∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，

∴AB＝CD.

(2)上述结论成立．

当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，

∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，

∴PB＝PD，即AB＝CD.

2.【题文】如图所示,AB是☉O的弦,C,D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC,OD,分别交☉O于点E,F.

试证:.

【答案】证明见解答。

【分析】根据等腰三角形的性质由OC=OD得∠OCD=∠ODC，由OA=OB得

∠A=∠B，再根据三角形外角性质得∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠B+∠BOD，利用等量代换得到∠AOC=∠BOD，然后根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可得到结论．

【解答】证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.

∵AO=OB,∴∠A=∠B.

∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B,

即∠AOC=∠BOD,

即∠AOE=∠BOF.∴.

3.【题文】如图,AB,CD,EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.

【答案】见解答。

【分析】根据三个圆心角相等得到其对顶角相等，然后根据相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等即可证得结论．

【解答】在☉O中,∵∠1=∠2=∠3,

又∵AB,CD,EF都是☉O的直径,

∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.

∴，

∴AC=EB=DF.

4.【题文】如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，

OE=OF，求证：AB=CD．

【答案】见解析.

【分析】先利用HL定理可证得△OBE≌△ODF,可证BE=DF,继而可证AB=CD.【解答】解:如图,∵OE⊥AB,OF⊥CD,

∴AE=BE,CF=DF,在△OBE与△ODF中,

,

∴△OBE≌△ODF（HL）,

∴BE=DF,2BE=2DF,

即AB=CD.

5.【题文】如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．

（1）求证：,；

（2）若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？

【答案】（1）见解析；（2）成立.

【分析】 (1)先利用HL定理判定Rt△OCM和Rt△ODN全等,再根据全等三角形的性质可得: ∠AOM=∠BON,最后根据同圆中,相等的圆心角所对的弧相等即可求证,

(2)通过C点是OA的中点可得:OC=,根据直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半可得∠OMC＝30°,根据直角三角形性质可得: ∠MOC＝60°,同理可得

∠NOD＝60°,所以

∠MON＝60°,所以∠MOC＝∠NOD＝∠MON,根据同圆中相等的圆心角所对弧相等即可求证.

【解答】解:(1)连结OM,ON,

因为OM=ON,OA=OB,

∵AC=DB,

∴OC=OD,

在Rt△OCM和Rt△ODN中,

,

∴Rt△OCM≌Rt△ODN,

∴∠AOM=∠BON,

∴,

(2).

6.【题文】如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于

E、F，若∠D=50°，求弧BE的度数和弧EF的度数．

【答案】BE的度数为80°，EF的度数为50°．

【分析】 (1)根据弧的度数等于它所对圆心角的度数,先连接AE,根据平行四边形的性质,对角相等可得∠B=50°,然后再根据等腰三角形的性质利用三角形内角和定理计算出∠BAE即可求解,(2)根据平行线的性质可求∠EAF=∠B=50°.

【解答】解:(1)连接AE,因为平行四边形ABCD, ∠D=50°,

所以∠B=∠D=50°,

所以∠BAE=180°－2∠B=180°－2×50°=80°,

所以弧BE的度数是80°,

又因为AD∥BC,

所以∠EAF=∠B=50°,

所以弧EF的度数是50°.

7.【答题】如图，已知AB,CD是⊙O的直径，CE是弦，且AB∥CE,∠C=35°，则

的度数为______

【答案】35°

【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系解答即可.

【解答】解：∵AB∥CE

∴∠DOB=∠C=35°

∵OC=OE

∴∠COE=180°-35°×2=110°

∴∠BOE=180°-110°-35°=35°

∴的度数为35°.

8.【答题】如图，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝______．