图解法作运动分析

图3.2 三心共线

图3.3 铰链四杆机构与速度瞬心

3.2 平面机构运动分析的图解法

对平面机构作运动分析的方法有速度瞬心法与矢量方程图解法，其中速度瞬心法只能对平面机构作速度分析。 3.2.1

速度瞬心法

1) 速度瞬心与位置

速度瞬心是两个作平面相对运动构件上的同速点，当该点的速度等于零时，称为绝对瞬心；当该点的速度不等于零时，称为相对瞬心。由于每两个构件形成一个瞬心，对于N 个构件形成的机构，其瞬心的数目S 为

)13(2/)1(--= N N S 运动副与速度瞬心的关系如图3.1所示，转动副的几何中心是速度瞬心；移动副的速度瞬心在

垂直于运动方向的无限远处；高副的速度瞬心在过接触点所作的公法线上；纯滚动高副的速度瞬心在接触点上。三个构件形成三个速度瞬心，这三个速度瞬心位于一条直线上，如图3.2所示，该规律称为三心定理。

2) 用速度瞬心法作机构的速度分析

在图3.3所示的铰链四杆机构中，主动件1以ω1作匀速转动，求图示位置构件2、摇杆3的角速度ω2、ω3。

利用三心定理确定速度瞬心P 13、P 24，由P 13是构件1、3的同速点得

L 34133L 14131μωμω⋅⋅=⋅⋅P P P P

式中μL 是长度比例尺（μL ＝实际尺寸/图上尺寸），由此得构件3的角速度ω3为

)

23(/3413141313-⋅=

P P P P ωω

由于P 24是绝对瞬心，构件2在此时绕P 24点作瞬时转动，由

P 12是构件1、2的同速点得速度方程与ω2分别为

L 24122L 14121μωμω⋅⋅=⋅⋅P P P P

)

33(/2412141212-⋅=

P P P P ωω

ω2、ω3的方向如图所示。

在图3.4所示的曲柄滑块机构中，利用三心定理确定速度瞬心P 13

、P 24，由P 13是构件1、3的同速点得滑块3的速度V 3得

(a)

(c)

(b)

1

图3.1 运动副与速度瞬心

(d)

)43(L 131413-⋅⋅=

　μωP P V

在图3.5所示的正弦机构中，利用三心定理确定速度瞬心P 13、P 24，由P 13是构件1、3的同速

点得滑块3的速度V 3得

)53(L 131413-⋅⋅=

　μωP P V

在图3.6所示的凸轮机构中，利用三心定理确定速度瞬心P 12，由P 12是凸轮1与从动件2的同

速点得从动件2的速度V 2得

)

63(L 121312-⋅⋅=

　μωP P V

以上分析表明，利用速度瞬心作机构的速度分析较简单，但有时速度瞬心位于图纸之外，另外，用速度瞬心不能作机构的加速度分析。

3.2.2 矢量方程图解法

矢量方程图解法，也称相对运动图解法，其依据的原理是将动点的运动被划分为伴随参考构件的运动以及相对于参考构件的运动。

1) 同一构件上两点间的速度与加速度关系

同一构件上两点间的速度与加速度关系可以通过对图 3.7(a)所示的铰链四杆机构的速度分析予以说明，该图的长度比例尺为μL 。已知曲柄1的角速度为ω1，角加速度为α1＝0，求图示位置时连杆2的角速度ω2，连杆2上E 2点的速度V E2，以及构件3的角速度ω3；求连杆2的角加速度α2，连杆2上E 2点的加速度a E2，以及构件3的角加速度α3。

根据同一构件上两点之间的速度合成原理，得连杆2 上B 、C 两点之间的速度方程为

V C = V B + V CB (3－7)

方向 ⊥CD ⊥AB ⊥CB 大小 ？ ω1·BA ·μL ？ V C = μL pc (方向：p →c ) V CB = μL bc (方向：b →c )

速度矢量方程式(3－7)中有两个未知量，可解。在机构图附近的合适位置作速度图，取速度比例尺μV ，取任意一点p 作为作图的起点。作pb ⊥AB ，由pb·μV ＝V B 得pb 的大小，作pc ⊥CD ，bc ⊥CB ，得交点c ，如图3－7(b)所示。由pc·μV ＝V C 得V C 的大小，由bc ·μV ＝V CB 得V CB 的大小。由V C ＝CD ·μL ·ω3得ω3的大小，由V CB ＝BC ·μL ·ω2得ω2的大小。

自c 点作ce 2⊥CE 2，自b 点作be 2⊥BE 2得交点e 2。由pe 2·μV ＝V E2得V E2的大小。

根据同一构件上两点之间的加速度合成原理，得连杆2 上B 、C 两点之间的加速度方程为

)

83(CB CB B CD CD C -++=+=

t

n

t

n

a a a a a a

图3.4 曲柄滑块机构与速度瞬心

→∞ →∞

图3.5 正弦机构与速度瞬心 图3.6 凸轮机构与速度瞬心

图3.7 铰链四杆机构与运动分析

e (b)

(c)

c'

方向 C →D ⊥CD B →A C →B ⊥BC 大小 L CD μω23 ？ L 21μωAB L 22μωBC ？ 加速度矢量方程式(3－8)中有

两个未知量t a CD 、t

a CB ，可解。取加

速度比例尺μa ，取任意一点p'作为作图的起点，作p'b'∥AB 得b'点，p'b'表示a B ；作c"b'∥BC 得c"点，

c"b'表示n a CB ；过c"点作c"b'的垂线；作p'c"'∥CD 得c"'点，p'c"'表示n a CD ；

作p' c"'的垂线，与c"b'的垂线相交

得交点c'，c"c'表示t a CB ，c"'c'表示

t

a CD

，如图3－7(c)所示。

由==⋅'''t

a c c CB a μL 2μα⋅⋅BC

得

α2的大小；由==⋅''''t a c c CD a μ

L 3μα⋅⋅CD 得α3的大小。作△b'c'e'2

相似于构件△BCE 2，字母绕行顺序

一致，得2

e '点，于是E 2的加速度a 2

2E μ⋅''=e p a 。

2) 两构件上重合点之间速度与加速度关系

两构件上重合点之间的速度关系可以通过对图3.8(a)所示的曲柄导杆机构的速度分析予以说明，该图的长度比例尺为μL 。已知曲柄1的杆长为a ，角速度为ω1，角加速度为α1＝0，连杆2上BC 的长度为。求图示位置时连杆2的角速度ω2以及连杆2上E 2点的速度V E2；求连杆2的角加速度α2以及连杆2上E 2点的加速度a E2。

根据两构件上重合点之间的速度合成原理，得重合点B 2、B 3之间的速度方程为

V B3 = V B2 + V B3B2 (3－9)

方向 ⊥BD ⊥BA ∥CD 大小 ? ω1·BA ·μL ? 矢量方程式(3－9)中有两个未知量，可解。在机构图附近的合适位置作速度图，取速度比例尺μV ，取任意一点p 作为作图的起点。作pb 2⊥AB ，由pb 2·μV ＝ω1·BA ·μL 得pb 2的大小，作pb 3⊥BD ，b 2b 3∥CD ，得交点b 3，如图3.8(b)所示。由pb 3·μV ＝ω3·BD ·μL 得ω3的大小，方向为顺时针，由b 3b 2·μV ＝V B3B2得相对速度V B3B2的大小。由于构件2、3之间无相对转动，所以，ω2＝ω3。在图3.8(b)的基础上，由V C3= V B3+ V C3B3得C 3点的速度pc 3·μV ；由V E3＝ V B3+ V E3B3得e 3点的速度pe 3·μV ；由V E2＝ V E3+ V E2E3＝V B2+ V E2B2得e 2点的速度pe 2·μV ，如图3.8(c)所示。

根据两构件重合点之间的加速度合成原理，得重合点B 2、B 3之间的加速度方程为

)

103(2B 3B 2B 3B 2B 3B 3B 3B -++=+= r

k

t

n

a a a a a a

方向 B →D ⊥BD B →A C →B ∥CD