第5章 随机过程通过线性系统

h( ) x(t )d
0
上 海 频域： 若 h( t )dt 物理可实现，且x(t)有界，则有： 大 学 Y ( ) H ( ) X ( ) 。 通 信 所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其 学 院 时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且 对于其通过线性时不变系统的表述为：
由付氏变换性质可得: G XY ( ) G X ( ) H ( )
GYX ( ) G X ( ) H ( )

当X(t)为白噪声，即GX(ω)=N0/2时，则
N0 N0 H ( ) G XY ( ) H ( ) ，或 GYX ( ) 2 2
或GYX(ω) ，则可估计 线性系统的传输函数 H(ω) 。
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3. 系统输入与输出之间的互相关函数:
RXY (t , t ) E[ X (t )Y (t )] E[ X (t ) h( )X (t )d ]




E[ X (t ) X (t )]h( )d RX ( )h( )d
当X(t)为白噪声，即 RX ( ) ( N 0 / 2) ( ) 时，则
RXY ( ) RX ( ) h( ) ( N 0 / 2) ( ) h( ) ( N 0 / 2)h( )
即有
h( )
2 R XY ( ) N0
该式说明：如果能用互相关函数测量设备测得 RXY ( ) ， 则可用功率谱密度为 N 0 / 2 的白噪声激励线性系统来估计 该线性系统的冲击响应。
输出过程 RY(τ) 只与时间差 τ 有关，而与时间起点 t 无关。
上 海 由 E[Y(t)] ≡常数和 RY(τ) 可知： 大 平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。 学 且有： 通 信 E[Y (t )] m X H (0) 学 院 RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
GY ( ) G X 1 ( ) G X 2 ( ) G X 1 X 2 ( ) G X 2 X 1 ( ) H ( )




2
推论：
若X1(t) 和 X2(t)互不相关，则
RY ( ) R ( ) R ( ) 2 m m h( ) h( ) X X X X 2 1 2 1
X(t)：平稳随机过程
h(t)：线性时不变系统的冲击响应

E[Y ( t )] m X H (0) RY ( ) R X ( ) h( ) h( ) R XY ( ) h( ) RYX ( ) h( ) R XY ( ) R X ( ) h( ); RYX ( ) R X ( ) h( )
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频域表示：
∵ 随机过程 X ( t )是无限时宽，无限能量，非周期的, ∴ X ( t ) 的付氏变换、Z变换以及付氏级数都不存在， 故不能用频谱表述。 但是，若随机过程是平稳的，则其频域特性可用功率 谱来描述。 平稳随机过程通过线性时不变系统： 平稳条件：
E[ X ( t )] = 常数；
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GY ( ) H ( ) 2 G X ( ) 1 2 j R ( ) H ( ) G ( ) e d Y X 2 1 2 2 E [ Y ( t )] R ( 0 ) H ( ) G X ( )d Y 2 G XY ( ) G X ( ) H ( ) GYX ( ) G X ( ) H ( )
X(t ) N RX ( ) 0 ( ) 2 h(t ) Y (t )
相 关 器
R XY ( )
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4．物理可实现(因果)系统的响应

物理可实现系统的条件：
h( t ) 0,

t0
因果性
将该条件代入上述关系式，可得
E[Y ( t )] m X h( )d m X H (0)
，则 ，
令：

0
，则 d d ,
j 0
GY ( )

h( )e
j
d h( )e
d [ R X ( )e j ]d
2

H * ( ) H ( )G X ( ) H ( ) G X ( )
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第五章 随机过程通过线性系统
确定信号通过线性时不变系统，我们已经很熟悉。 例如：
x(t ) h(t ) y(t )

确知信号x(t), 线性时不变系统h(t)： 时域： 非因果系统： y( t ) h( ) x( t )d


因果系统：
y( t )
注意：物理可实现系统的条件。
上 海 二、平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析 大 学 1．系统输出Y(t)的功率谱密度 通 GY ( ) RY ( )e j d 信 学 令 j d d [ h ( ) h ( ) R ( ) e ]d X 院 0 0
RY ( )




h( )h( ) R X ( )dd

h( )[
h( ) R X ( )d ]d

h( )[h( ) R X ( )]d
h( ) h( ) R X ( )


RXY ( ) RX ( ) h( )
同理可证，
RYX ( ) RX ( ) h( )
RY ( ) R X ( ) h( ) h( ) R XY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
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RY ( )

0

0
0
h( )h( ) R X ( )dd
R XY ( )


0
R X ( )h( )d
注意：卷积关系不再成立。
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平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：
X(t ) h(t ) Y(t )
上式说明：如果能设法获得GXY(ω)
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平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析小结：
X(t )
GX ( )
H( )
Y(t )
GY ( )
GX(ω) ：输入平稳随机过程X(t)的功率谱密度; H(ω) ： 线性时不变系统的传输函数; |H(ω)|2 ：线性时不变系统的功率传输函数; GY(ω) ：输出平稳随机过程Y(t)的功率谱密度； GXY(ω) ：输入X(t)与输出平稳随机过程Y(t)的互谱密度。
其中，|H(ω)|2称为系统的功率传输函数。所以， 系统的输出功率=系统的输入功率× |H(ω)| 2。
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系统输出Y(t)的自相关函数
1 j RY ( ) G ( ) e d Y 2 1 2 j H ( ) G ( ) e d X 2
RX (t1 , t 2 ) Ex(t1 ) x(t 2 ) RX ( ), t 2 t1
E X 2 (t )


上 海 一、平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析 大 Y ( t ) h( ) X ( t )d 1 ．系统输出 Y(t) 的均值 : 学 通 E[Y ( t )] m X h( )d m X H (0) ，其中 h( )d H (0) 信 学 院 输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。 2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:
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三、多个随机过程之和通过线性系统
X ( t ) X1 ( t ) X2 ( t )
h( t )
Y( t ) Y 1(t ) Y 2(t )
设 X1(t) 和 X2(t)单独平稳，且联合平稳，则线性系统的输 出Y(t)的特性为： 1．输出Y(t)的均值
mY E[Y (t )] mY 1 mY 2
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2．输出Y(t)的自相关函数和功率谱密度
RY ( ) RY 1 ( ) RY 2 ( ) RY 1 Y 2 ( ) RY 2 Y 1 ( )
R X 1 ( ) R X 2 ( ) R X 1 X 2 ( ) R X 2 X 1 ( ) h( ) h( )
因果系统： y( t , i ) h( )x( t , i )d 即，系统输出 y(t , i ) 也只能是随机过程的一个样本且有界。 其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本
x(t , ) 都是有界的，才有
Y (t )


h( )X ( t )d
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随机过程通过线性时不变系统的表示 随机过程的一个样本 x( t 百度文库 i ) , 若 x(t , i ) 是有界的，则对于 线性时不变系统 h( t ) ：

时域表示：
非因果系统： y( t , i )

h( )x(t ,
0

i
)d
RY ( t , t ) E[Y ( t )Y ( t )]




h( )h( ) E[ X ( t ) X ( t )]dd

h( )h( ) R X ( )dd RY ( )
GY ( ) G X 1 ( ) G X 2 ( ) 4m X 1 m X 2 ( ) H ( )


2
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若X1(t) 和 X2(t)互不相关，且均值为零，则
G ( ) G
Y
RY ( ) RX 1 ( ) RX 2 ( ) h( ) h( ) RY 1 ( ) RY 2 ( )

系统的输出的均方值或平均功率
1 E[Y ( t )] RY (0) 2
2



H ( ) G X ( )d
2
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2. 系统输入与输出之间的互谱密度

RXY ( ) RX ( ) h( ) RYX ( ) RX ( ) h( )
x(t ) X ()
h(t ) H ()
y(t ) x(t ) h(t ) Y () X () H ()
问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以
及与系统函数间的关系如何？
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针对随机信号所具有的随机性和波及性，可 用统计方法来描述其随时间变化的函数关系： 1. 对于每一时间点上的函数值是随机变量的特 征，可用一维统计特性来描述： 函数值的概率密度、均值、方差等； 2. 对于各时间点随机变量的波及性，用多维统 计特性来描述： 函数值的多维概率密度、相关函数等。