第八讲 向量范数及其性质
数值分析8(向量范数与矩阵范数)
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16/16
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11/16
A 2 ( A A), 其中 ( B ) max{| i ( B ) |}
T i
2 T T 证: 2 这表明矩阵ATA是对称半正定的, 是非负。设矩阵ATA的特征值为
|| Ax || x A Ax 0
1 2
所以它的特征值 都
n 0
并设对应的特征向量为
v1 , 由于ATA是对称,故 v1 ,
vi
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2
1, i 1,
, vn , v n 是Rn的标准正交基: T , n vi v j 0, i j
12/16
对于向量 x 可被特征向量系所表示 x ck v k
n n k 1
n n
n
T T T || Ax ||2 x A Ax ( c v k k )( ck k vk ) 2
Matlab内部函数: norm(A,p)。
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9/16
矩阵算子范数
设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非 负函数 || Ax ||
|| A || max
x 0
|| x ||
称为矩阵A的算子范数(或诱导范数)。 注1 矩阵算子范数由向量范数诱导出, 如
|| Ax ||2 || A ||2 max x 0 || x || 2
1 i n
, xn
Matlab内部函数: norm(x,p)。特别的, norm(x) 等价于norm(x,2)。 范数概念是我们熟悉的距离概念的一种自然的 推广。 k *
lim || x x || 0
k
则称序列{xk}在范数||.||下收敛于x*。
向量和矩阵范数
|| x ||
|| b ||
➢ 设 精b确，A有误差 ，得到的A 解为
，即 x x
|| A || || A1 || 是关键
( A 的A误的A差状)放态(大数x因(条子件，数称x)，)为 b
记为cond (A) ,
A(x x) A(x x) b (A A)x (A A) x b
I A 1 1
1 || A ||
证明： ① 若不然，则
(I A有)x非零0解，即存在非零向量 使得
x0
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
|| A || 1 ✓
② (I A)1 A(I A)1 (I A)(I A)1 I
(I A)1 I mA(I A)1
，即
A(x x) b b
x x
绝对误差放大因子
x A1 b
|| x |||| A1 || || b ||
相对误差放大因子
又 || b || || Ax || || A || || x || 1 || A || || x || || b ||
|| x || || A || || A1 || || b ||
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
|| A1A |||| A1 || || A || 1 )
向量与方阵的范数
x2 L xn ) ∈ R n ， n 维向量空间 R n 上常用的向量范数有：
T
2 2 2
（1） ．2-范数： || x || 2 = x1 + x 2 L + x n ； （2） ．1-范数： || x ||1 =| x1 | + | x 2 | + L + | x n | ； （3） ． ∞ 范数： || x ||∞ = max{ xi }；
− A → 0 (k → ∞) 。
练习
⎛ 2 − 4⎞ ⎛ 1 ⎞ 1．设 A = ⎜ ⎟，x = ⎜ ⎟ 。求： x 1 ， x 2 ， x ∞ ， A 1 ， A 2 ， A ∞ 。 ⎜1 − 3⎟ ⎜ − 2⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
2．设 A 是 n × n 矩阵，证明： n −1 A 2 ≤ n
−1 2
1≤i ≤ n
（4） ． p -范数： x
p
=
p
x1 + L + xn
p
p
。
可以证明，它们满足定义 1 中的三条性质。 例1 解：
|| x || 2 = 12 + ( −3) 2 + 0 2 + 2 2 = 14 ；
计算向量 x = (1 − 3 0 2 ) 的 2-范数，1-范数， ∞ 范数和 4-范数。
n
1≤ j ≤ n
（1）1-范数： A 1 = max ∑ aij ；
i =1
（2） ∞ 范数： || A || ∞ = max ∑ aij ；
1≤i ≤ n j =1
n
（3）2-范数： || A || 2 = λ max ， λ max 为 AT A 的最大特征值； （4）Frobenius 范数： || A || F =
向量范数
向量范数定义1. 设,满足1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=02. 齐次性:║cx║=│c│║x║,3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数.常用向量范数有,令x=( x1,x2,…,xn)T1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)易得║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞定理中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使m║x║α≤║x║β≤M║x║可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→∞)其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k) →x(k→∞),或 .三、矩阵范数定义2. 设,满足1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=02. 齐次性:║cX║=│c│║X║,3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数.注意, 矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性:║Ax║≤║A║║x║所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的.定理3. 设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0}是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性或者说是相容的.单位矩阵的算子范数为1可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义:║x║=║X║,X=(xx…x)常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是1-范数:║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}=2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}= ,λ1是AHA的最大特征值.∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=此外还有Frobenius范数: .它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数.四、矩阵谱半径定义3.设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称为A的谱半径.谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:ρ(A)≤║A║因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的相容性和齐次性就导出结果.定理 3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)。
向量范数
且
A 0 A 0
A A
C , A C
mn
AB A B
AB A B
A, B C
mn
称为A的范数。
矩阵范数的性质： (1) A A
(2) A B A B
矩阵范数同向量范数具有类似的性质，比如等价性：
对于两个矩阵范数
m
, C 上的同类向量范数，如果有
n
A C
mn
, X C
n
则称矩阵范数与向量范数是相容的。 定理2 设 是 C 上的相容矩阵范数，则在 C n 上存 在与 相容的向量范数 证明：任取一非零向量 C
X
n
n n
定义向量X的范数为
n
X
n
H
X C
容易验证
AX
性质1 证明 对于任意n阶矩阵A，成立 ( A k ) [ ( A )] k 设1, 2, …, n是属于A的所有特征值
则A 的特征值为 1 , 2 , , n
k k k k
因此 ( A ) max i i
k
k
( max i ) [ ( A )]
n
n
定义Dn是C n的单位球面(有界闭集)
D n x ( x1 , x 2 , , x n ) C
T
n
x
2
1
x 0
x x
2
Dn
因为
是连续函数，
故它在Dn上取到最大值m和最小值M
m
x x
2
x x
2
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1ο对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性）2ο对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3ο对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1ο成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pix 11)(∑= = αp x 知性质2ο成立。
3、欲验证性质3ο，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数ptptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得：q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pii ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i ii ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piipp111 左右两边同时除以()∑+y x iip1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
范数
几个常见的矩阵范数
设
A aij
m n
C mn
max aij
1 j n i 1 m
1-范数： A
1
（最大列和）
T A ( AA ) max 谱范数： 2
大的 特的征值的 AAT 的最大特征值的平方根
aij （最大行和） ∞-范数：A max 1i n j 1
向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn中 向量或Rn2中矩阵的“大小”引进某种度 量——范数。
向量范数
定义 设V是数域P上的线性空间，若对于V 中的任意向量α，都有一非负实数ǁαǁ与之 对应，并且满足下列三个条件： （1）正定性：当α≠0时，都有ǁαǁ>0; 当且仅当α=0时， ǁαǁ=0； （2）齐次性：对任意kϵP,有ǁkαǁ=│k│ǁαǁ；
即有 则 Ax
2）
A max
x0
0
A =0， ，若 x ， 可得A=0；
Ax 0
kA max
x0
kAx x
max
x0
k Ax x
k A；
nn A B R 3）对 有： A B x
A B max
x0
x
Ax Bx max x x
2
i 1
而且，由 x 2 1 ，得
n n i 1 i 1
2 a i 1 i 1
n
n
这样，AH Ax AH A ai x (i ) ai AH Ax (i ) ai i x (i )
i 1
由此，
n n (i ) Ax 2 x, A Ax ai x , ai i x ( i ) i 1 i 1 n 2 2 2 2 1 a1 2 a2 n an 1 ai 1 i 1 2 H
第八讲-向量范数及其性质
向量范数及其性质
一、 向量范数旳概念及lp范数
1、向量序列旳极限
x(1)
(1(1)
,
(1) 2
,
x(2)
(1(
2)
,
( 2
2)
,
,
(1) n
)
,
( n
2)
)
{ x(k ) }
x(k)
(1(
k
)
,
( 2
k
)
,
,
( n
k
)
)
x (1 ,念及lp范数
一、 向量范数旳概念及lp范数
x 2i 0 1 4i 12 1
2 17 12 14 17 x 4 17 122 165
2 1
x (2 p 17 p 12 p ) p p
一、 向量范数旳概念及lp范数
一、 向量范数旳概念及lp范数
5、一般线性空间上旳向量范数
一、 向量范数旳概念及lp范数
一、 向量范数旳概念及lp范数
一、 向量范数旳概念及lp范数
一、 向量范数旳概念及lp范数
一、 向量范数旳概念及lp范数
2、向量范数旳定义
一、 向量范数旳概念及lp范数
3、性质
一、 向量范数旳概念及lp范数
4、Cn上几种常见旳范数
一、 向量范数旳概念及lp范数
一、 向量范数旳概念及lp范数
解：
x max{ 2i , 0 , 1 4i , 12 } 12
二、 线性空间Vn上向量范数旳等价性
二、 线性空间Vn上向量范数旳等价性
电子科技大学矩阵理论!
1.上三角矩阵R 的逆 R 1 也是上三角矩阵,且对角 元是R 对角元的倒数;
2.两个上三角矩阵 R1、R2 的乘积 R1R2也是上三角
矩阵,且对角元是 R1与R2对角元之积; 3.酉矩阵U 的逆 U 1也是酉矩阵; 4.两个酉矩阵之积 U1U2也是酉矩阵.
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(3 )三角 |A | 不 B | ||A ||等 ||B || |式 ,A ,B P m n .
则称映 |||射 |为pmn上的矩阵 . 范数
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例 1 设APmn， 则
nm
|| A||m1
| aij |
j1i1
nm
1
|| A||m2(
| aij |2)2
j1i1
|A ||m | m i,j{a a i||j} x 1 i m 1 j n
返回
定义 2 设 |||a | : P m l R ,|||b | : P l n R ,
||||c:Pmn R是 矩 阵 范 数 ， 如 果 ||A|c B | ||A |a |||B |b |
则 称 矩 |||a |阵 ,|||b |和 范 |||c |数 相. 容 如果 ||A|B |||A ||||B ||
0 0 0 0 0 0
返回
定理 2 设 A C r m n ,且 A B 1 D 1 B 2 D 2 均 为 A 的最大秩分解，则
(1) 存在 r阶可逆Q， 矩使 阵得 B 1 B 2 Q D 1 Q 1 D 2
( 2 ) D 1 H ( D 1 D 1 H ) 1 ( B 1 H B 1 ) 1 B 1 H D 2 H (D 2 D 2 H ) 1 (B 2 H B 2 ) 1 B 2 H
范数的计算公式范文
范数的计算公式范文范数（Norm）是衡量向量或矩阵大小的一种数值度量方式。
在数学和工程领域中，范数有着广泛的应用，例如在线性代数、函数分析、优化算法等领域。
本文将介绍范数的定义、常见的范数计算公式，并对范数的性质和应用进行讨论。
一、范数的定义在数学中，范数是定义在线性空间上的函数，通常满足以下几个性质：1.非负性：对于任意向量x，其范数的值始终大于等于0，即∥x∥≥0，并且当且仅当x等于零向量时，范数的值为0。
2.齐次性：对于任意标量α和向量x，范数的值满足∥αx∥=，α，∥x∥。
3.三角不等式：对于任意向量x和y，范数的值满足∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
常见的范数计算公式有L1范数、L2范数、无穷范数等。
二、L1范数L1范数，也称为曼哈顿范数（Manhattan norm），用于衡量向量元素的绝对值之和。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，L1范数的计算公式为：∥x∥1=，x1，+，x2，+...+，xn三、L2范数L2范数，也称为欧几里德范数（Euclidean norm），用于衡量向量的长度。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，L2范数的计算公式为：∥x∥2=√(x1^2+x2^2+...+xn^2)四、无穷范数无穷范数，也称为最大范数（Maximum norm），用于衡量向量元素绝对值的最大值。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，无穷范数的计算公式为：∥x∥∞=max(，x1，,，x2，,...,，xn，)五、其他范数除了L1范数、L2范数和无穷范数外，还存在其他范数，如p范数和F范数等。
p范数是Lp范数的一般化，定义为：∥x∥p=(，x1，^p+，x2，^p+...+，xn，^p)^(1/p)F范数是针对矩阵的范数，也称为Frobenius范数。
对于m×n矩阵A，F范数的计算公式为：∥A∥F=√(∑(i=1 to m)∑(j=1 to n)，a_ij，^2)六、范数的性质范数具有一些重要的性质，如：1.三角不等式：对于任意向量x和y，范数满足∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
《应用数值分析》课件数值分析1.3.1范数
lim x k x *
k
来证明.
(k )
*
即
max
x
x
0.
i
i 0
1i n
j 1,2,
当k 时， 有 x (jk ) x*j 0
即
,n
j 1,2,
,n
向量范数
定理3
lim x
k
k
有
必要性
x *的充分必要条件是对任意一种范数，
x
x
n
C2
设x R ,x 0，则
S , 那么C1 f
x
x
x
即C1
C2 , 故C x x C x , x Rn .
1
2
t
x
t
向量范数
例3： (1)
x
x1n x
1
x1 x 2 x1
n
1
x2 x x2
n
(2)
何一种范数意义下研究。
向量范数
小结
向量范数的定义
向量范数的性质
定理：Rn上的任意两个向量范数等价.
范数的等价性保证了运用具体范数研
究收敛性在理论上的合法性和一般性
矩阵范数
1: 矩阵范数的定义
定义1
如果A∈Rn×n的某个非负实值函数 N( A) A 满足：
(1) 正定性： A 0, 且 A 0 A 0
x 2 xi 14
i 1
n
x
max xi 3
1 i n
1向量范数
定义 4 lim x(k) a
k
lim || x(k) a || 0
k
返回
定义 2 设 在Vn(P)上定义了|| x ||a ,|| x ||b 两种向 量范数，若存在常数C1 0,C2 0，使得
|| x ||a C1 || x ||b || x ||b C2 || x ||a x Vn(P) 则称|| x ||a 与|| x ||b 等价.
则称映射 || || 为C n上向量x的范数.
返回
向量范数的性质：
(1) || 0 || 0；
(2) x 0时，|| 1 x || 1; || x ||
(3) 对任意x Cn，有|| x |||| x ||;
(4) 对任意x, y Cn，有||| x || || y || ||| x y || .
||
x ||
p
(
n
|
xi
| p )1/
p
1 p
i 1
是C n上的向量范数，称为Holder范数.
返回
定义 3 设x(k) ( x1(k) , x2(k) , , xn(k) )T C n，如果
lim
k
xi(k )
ai
(i 1,2, , n)
则称向量序列x(k)收敛于a (a1, a2, , an ).
| xH y |2 | x1 y1 x2 y2 L xn yn |2
(| x1 |2 | x2 |2 L | xn |2 ) (| y1 |2 | y2 |2 L | yn |2 )
|| x ||22|| y ||22
| xH y ||| x ||2|| y ||2
返回
|| x y ||22 ( x y)H ( x y) xH x xH y yH x yH y
第五章__向量范数和矩阵范数
| f ( t ) | p dt
b a
| f ( t ) |2dt
|| f ( t ) ||¥ = max | f ( t ) |
a# t b
数学系 李继根（ jgli@ ）
例 12 若矩阵
P C
n n
为Hermite正定矩阵，则由
|| x ||P º
x H Px , " x
数学系 李继根（ jgli@ ）
三、 常用的向量范数 T n 例 6 对任意 x ≪ (x1, x2,⋯, xn) F ，由
|| x ||2 º | x1 |2 + | x 2 |2 + L + | xn |2 l2 定义的 || i ||2 是 F n上的向量范数，称为2-范数或 范数
|| U x ||2 = || x ||2
这个定理的结论是显然的，因为酉变换保持向量的 ，自然也保持了Euclid意义下的 几何结构 内积不变 内积不变，自然也保持了 意义下的几何结构 角度 或范数 等） 不变 。 （长度、 （长度、角度 角度或 范数等） 等）不变 不变。
数学系 李继根（ jgli@ ）
D(si , x) ? || x si ||2= ( x - si )T (x - si )
数学系 李继根（ jgli@ ）
四、 向量范数的性质
的，即对任意酉矩阵 定理14 Euclid范数是酉不变 酉不变的，即对任意酉矩阵
U Î C n´ n 以及任意 x Î C n ，均有
数学系 李继根（ jgli@ ）
这些范数在几何上如何理解呢？
例10 对任意
x≪ (x1, x2 ) C ，对应于 1,2, ℕ, p
T
2
四
种范数的闭单位圆 || x || £ 1 的图形分别为
高等数学第六版（同济版）第八章复习资料汇总
高等数学第六版（同济版）第八章复习资料汇总第一篇：高等数学第六版(同济版)第八章复习资料汇总第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算一、向量的相关概念1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2.向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为或.3.向量的模：称向量的大小为向量的模，记为.4.自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5.单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作.6.零向量：称模为0的向量为零向量，记作7.两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作.(即两个向量平移后重合 8.两向量的夹角：，9.两向量平行：若非零向量与所成的角或，则称的与平行，记作.规定: 零向量与任何向量平行10.两向量垂直：若非零向量与所成的角，则称的与垂直，记作注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直 11.向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线 12.向量共面：将个向量的起点放到同一点时，若个终点与公共起点在一个平面上，则称这个向量共面.二、向量的线性运算1．向量的加减法(1).向量的加法①．运算法则：设有向量与，求与的和.I.三角形法则： II.平行四边形法则：.②.运算规律：1°.交换律：2°.结合律：注:，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即.(2).向量的减法①．负向量：称与向量同模反向的向量为它的负向量，记作②.两向量的差：称向量与向量的负向量的和为与的差向量，记作.注：特别地，当时，.③．运算法则：设有向量与，求与的差.I.平行四边形法则：.II.三角形法则：.(3).运算定理：.2．向量与数的乘法(1).定义：称向量与实数的乘积为向量的数乘.注：1°.规定是一个向量2°.3°.若，则与同向；若，则与反向；若，则.(2).运算规律：①．结合律：.②．分配律：.(3).性质①．向量的同向单位向量：，.②．向量平行的充要条件(定理)：若向量，则向量平行于唯一的实数，使③．数轴上的点的坐标为的充要条件为：，其中向量为数轴的单位向量，实数称为有向线段的值.例1.如图，用、表示、、以及，进而.又，故，进而三、空间直角坐标系解：由于，故1.空间直角坐标系：坐标系或坐标系2.坐标面：面；面；面.3.卦限：；；；；；；；4.空间点的坐标：(向径).(1).向量的坐标分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐标：.(4).点的坐标：注：1°.面上点的坐标：；2°.轴上点的坐标：；面上点的坐标：；轴上点的坐标：；面上点的坐标：.z轴上点的坐标：四、利用坐标作向量的线性运算：设，.1.向量线性运算的坐标表示：(1).加减法：.(2).数乘：(3).两向量平行：注：1°.若，则2.若，则例2.已知，求线性方程组的解向量解：方程①乘2减去方程②乘3得：，方程①乘3减去方程②乘5得：例3.已知两点、在直线AB上求一点M，使.及实数，解：因为，因此有，整理得，代入坐标得，从而得到点M的坐标注：线段AB中点坐标公式五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间距离公式：(1).向量的模：，.(2).两点间距离公式：点与之间的距离：推导：因为，所以例4.求证以三点、、为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点间距离公式，有；；，由于，故为等腰三角形.例5.在z轴上求与两点、等距离的点.解：由题可设所求点为，有，即，整理得，故所求点为.例6.已知两点、，求与同向的单位向量解：因为，所以，于是 2.方向角与方向余弦(1).向量的方向角：称非零向量与三条坐标轴的夹角为向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.；2°..例7.已知两点、，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，从而有于是，，由此可得例8．设点A位于第I卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为的坐标、，且，求点A，解：由于，并且，有由题可知，故，于是，故点A的坐标为.3.向量在轴上的投影(1).向量在轴上的投影：设向量与u轴正向的夹角为，称数为向量在u轴上的投影，记作或注：向量在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即，(2).投影的性质：①．.②．例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|= a，求在解：记，有，于是.§8.2数量积、向量积一、两向量的数量积1．常力沿直线所作的功：2.两向量的数量积(1).定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积为与的数量积，内积或点积，记作注：1°.2°..3°..(2).运算规律①．交换律：.(由定义可知)②．分配律：③．结合律：； 3.两向量数量积的坐标表示式：若，则4.两非零向量夹角余弦的坐标公式：例1.试用向量证明三角形的余弦定理：.解：在中，记，，，有，从而，即例2.已知三点、和，求解：由题可得，于是，故例3.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m(液体的密度为解：单位时间内经过该区域的液体的体积为，所求质量为.二、两向量的向量积1.力对支点的力矩：模：；方向：与及的方向成右手规则.2.两向量的向量积(1).定义：设有向量与，夹角为，称为与的向量积(叉积、外积)，其中，方向与和的方向符合右手规则，记作.注：1°.2°.3°.的几何意义：以与为邻边的平行四边形的面积.(2).运算规律①．反交换律：.②．分配律：.③．结合律：(3).两向量的向量积的坐标表示式：设，则.例4..证明：在三角形中，记，，由于，即，整理得.例5.设，计算解：.例6.已知三角形ABC 的顶点分别是、和，求三角形ABC的面积解：由于，有，于是.例7.设刚体一角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解：在轴l上引进一个角速度向量，使，其方向与旋转方向符合右手法则，在l上任取一点O，作向径，它与的夹角为，则点M离开转轴的距离，由物理学中线速度和角速度的关系可知，且、、符合右手规则，于是.§8.3曲面及其方程一、曲面方程的相关概念1.曲面方程：若曲面S上任一点的坐标都满足方程，且不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S的方程，而称曲面S为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1).已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2).已知关于点的坐标、、之间的一个方程，研究该方程所表示曲面的形状例1.建立球心在点、半径为R的球面方程解：设为所求球面上任一点，有，即，整理得例2.设有点和，求线段AB的垂直平分面的方程.解：设为所求平面上任一点，由题意，有，即，整理得例3.方程表示怎样的曲面？解：原方程变形为，表示以为球心，以5为半径的球面.二、旋转曲面1.定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2.旋转曲面的方程：曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.(绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁推导：在曲线C上任取一点，有，且点到z轴的距离.当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴旋转到点，其中，点到z轴的距离，由于，有，即，代入曲线方程有注：1°.曲线C：绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：2°.曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：3.常见旋转曲面及其方程(1).圆锥面及其方程①．圆锥面：称由直线L绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角为圆锥面的半顶角②．圆锥面的方程：以坐标原点o为顶点，以为半顶角，以z轴为旋转轴的圆锥面的方程为：，其中推导：在坐标面上，过原点且与z轴夹角为的直线方程为，于是，直线L绕z轴旋转而成的圆锥面的方程为，整理得注：1°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以x，其中2°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以y，其中(2).旋转双曲面及其方程①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双叶双曲面②．旋转双曲面的方程：(双曲线：.旋转单叶双曲面的方程：(绕z轴旋转.旋转双叶双曲面的方程：(绕x轴旋转)三、柱面1.柱面的定义：称由直线L沿定曲线C平行于定直线l 移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C为柱面的准线，动直线L为柱面的母线.2.几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁(1).圆柱面：.(准线为坐标面上的圆：，母线平行z轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行x 轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行y轴(2).过坐标轴的平面：，过z 轴，准线为坐标面上的直线，过x轴，准线为坐标面上的直线.，过y 轴，准线为坐标面上的直线四、二次曲面 1.椭球面：.2.椭圆锥面： 3.单叶双曲面：.4.双叶双曲面：5.椭圆抛物面：.6.双曲抛物面：7.椭圆柱面：.8.双曲柱面： 9.抛物柱面：§8.4空间曲线及其方程一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C.二、空间曲线的方程1.一般式(面交式)方程：例如：表示圆柱面与平面的交线.表示上半球面又如：与圆柱面的交线 2.参数方程：，其中点随着参数t的变化遍历曲线C 例1.称由点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，又同时以线速度v沿平行z轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程解：取时间t为参数，对应点，对应点，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋线的参数方程为，令，则螺旋线的参数方程为三、空间曲线在坐标面上的投影 1．投影柱面：称以空间曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面为曲线C关于坐标面的投影柱面2.空间曲线的投影：称空间曲线C关于坐标面的投影柱面与坐标面的交线为空间曲线C在坐标面上的投影曲线，也称为投影3.空间曲线的投影方程：空间曲线C：在坐标面上的投影方程，其中为方程组消去z所得的投影柱面方程.注：1.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为2°.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为例2.求曲线在坐标面上的投影方程.解：现求曲线C在关于坐标面上的投影方程，将方程组消去z 得投影柱面方程：，于是所求投影方程为例3.求由上半球面和锥面所围成的立体在坐标面上的投影解：先求曲线关于坐标面的投影方程，消去z 在坐标面上的投影方程为，从而所求投，故曲线影为圆域：§8.5平间及其方程一、平面的点法式方程1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量2.平面的点法式方程：过点，以向量为一法向量的平面推导：在平面上任取一点，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点不在平面上，则向量不垂直法向量，从而，即不在平面上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面的点法式方程.例1.求过点且以为法向量的平面的方程解：由平面的点法式方程得，整理得.例2.求过三点、和的平面的方程解：先求所求平面的一个法向量，由题可得向量，可取，于是所求平面的方程为，整理得.二、平面的一般方程1.平面的一般方程：(*)推导：若点满足方程(*)，则有，(**)两方程相减得，(*** 方程(***)为过点，以向量为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)为平面的一般方程，其一法线向量为2.几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁(1).过原点的平面方程：，法向量为.(2).平行x轴的平面方程：，法向量为(3).垂直于x轴(平行坐标面)的平面方程：，法向量为.例3．求通过x轴和点的平面的方程解：由题意，可设所求平面的方程为：，(*)又点在该平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.设一平面与x、y、z轴的交点依次为、，求该平面的方程解：设所求平面的方程为，(*)将PQR三点坐标代入得，，代入方程(*)，从而有所求平面方程为，称之为平面的截距式方程三、两平面的夹角及点到平面的距离得1.两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角 2.两平面夹角的余弦：设平面1的法线向量为，平面，两平面的夹角为，则注：1°..2°.3.点到平面的距离：平面外一点到平面的距离为推导：在平面上任取一点，过点作平面的一法向量，有，由于，，由于于是，又点在平面上，故有，从而例5.求两平面和的夹角.解：由两平面夹角余弦公式，故所求夹角为例6.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程.解：设所求平面的一个法线向量为，由题可知向量在平面上，已知平面的一个法线向量为，由题意有，有；，有；由以上两方程可得，故所求平面的法线向量为，于是所求平面的方程为，整理得另解：由题可知所求平面上一向量，又已知平面的一个法线向量为，易知不平行于，故可取所求平面的一个法线向量为，于是所求平面方程为：，整理得第六节空间直线及其方程一、空间直线：称空间两平面1、的交线为空间直线.二、空间直线的方程1.一般(面交式)方程：2.对称式(点向式)方程(1).直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量(2).直线的点向式方程：过点以向量为方向向量的直线L.推导：在直线L上任取一点，有向量，由于，故有，(*)即直线L上点的坐标都满足方程(*)反之，若点不在直线L上，则由于不平行，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L 的方程，称为直线的对称式或点向式方程.注：1°.mnp不同时为零2°.若，则直线L的方程为，即平面上的直线3°.若，则直线L的方程为，即平面与交线，过点且平行z轴 3.参数方程：注：一般式对称式参数式例1.用对称式方程以及参数方程表示直线解：先找出该直线上一点：不妨取，代入原方程组得，解得，即为该直线上一点再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为，故可取.，得到所给直线的参数方程：令.三、两直线的夹角 1.两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角 2.两直线夹角的余弦：直线的方向向量为，直线的方向向量 ,两直线的夹角为，则注：1°.2°.例2.求直线.和的夹角.解：由题可知直线的方向向量为，直线的方向向量为，设的夹角为，则由两直线夹角余弦公式得故四、直线与平面的夹角 , 1.直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影直线的夹角为直线与平面的夹角..2.直线与平面夹角的正弦：若直线的方向向量为，平面为.与的夹角为，则.注：1°.2°..例3.求过点且与平面垂直的直线的方程解：由题意，可取为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为.五、平面束及其方程1.平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束2.平面束的方程：设有直线，其中与不成比例则通过直线的平面束的方程为：.注：该平面束不包含平面例4.求直线在平面上的投影直线的方程解：过直线的平面束的方程为，即，其中为待定常数.由题可知，该平面与已知平面垂直，故，即，解得.由此可得所给直线关于所给平面的投影平面的方程为，整理得,故所求投影直线的方程为.六、点到直线的距离：直线外一点到直线的距离为：为直线上的一点推导：在直线上任取一点，有向量，设点到直线的距离为，由于，故例5.求点的距离.解：由题可知，所给直线的方向向量为，点，由平面外一点到直线的距离公式得：.七、杂例：例6.求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程.解法一(点向式由题可知两已知平面的法向量分别为和，故可取线的一个方向向量，即，于是所求直线方程为.解法二(一般式过点且与平面平行的平面方程为，过点平行的平面方程为以所求直线方程为例7.与平面的交点.解：易知所给直线的参数方程为，，解得，代入直线的参数方程得所求交点的坐标例8.求过点垂直相交的直线方程.第二篇：高等数学第六版(同济版)第九章复习资料[模版]第九章多元函数微分法及其应用引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至元函数上去第一节多元函数的基本概念一、平面点集的相关概念 1.平面点集：具有性质P} 例如：，其中点表示点2.邻域：(1).邻域：(2).去心邻域：3.坐标面上的点与平面点集的关系：(1).内点：若，使，则称为的内点.(2).外点：若，使，则称为的外点(3).边界点：若，且，则称为的边界点边界：的边界点的全体称为它的边界，记作.(4).聚点：若，则称为的聚点导集：的聚点的全体称为它的导集注：1°.若为的聚点，则可以属于，也可以不属于2°.内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：；.4.一些常用的平面点集：(1).开集：若点集的点都是其内点，则称为开集(2).闭集：若点集的边界，则称为闭集.(开集加边界(3).连通集：若中任何两点都可用属于的折线连接，则称为连通集.(4).开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域.(5).闭区域：开区域加上其边界称为闭区域例如：为区域.为闭区域.(6).有界集：若，使，则称为有界集.(7).无界集：若，使，则称为无界集二、维空间：对取定的自然数，称元数组的全体为维空间，记为.注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间.三、多元函数的概念 1.，或，其中因映自变变量射量定义域：D 值域：注：可推广：元函数：，.例: 1.，2.，2.几何表示：函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:.四、二元函数的极限1.定义：设函数的定义域为，点若，，为，满足，则称为当，称之为的二重极限例1.设证明：，要使不等式，求证成立，只须取，于是，，总有，即例2.不存在，其中证明：当沿直线趋于时，总有，随着的不同而趋于不同的值，故极限不存在例3.求极限五、二元函数的连续性 1.二元函数的连续性:设函数的定义域为D，点为D的聚点，且，则称在点连续 2.二元函数的间断点: 设函数的定义域为D，点为D的聚点，若在点不连续，则称为的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点.3.性质：设D为有界闭区域(1).有界性：，有(2).最值性：，使得，有(3).介值性：，使得.4.二元连续函数的运算性质(1).和、差、积仍连续；(2).商(分母不为零)连续；(3).复合函数连续.5.二元初等函数及其连续性(1).二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.(2)..例4.，则解：令例5...(分子有理化)第二节偏导数引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数.一、偏导数的相关概念1.偏导数：设函数在点的某邻域内有定义，把暂时固定在，而处有增量时，相应地有增量.若极存在，则称此极限值为函数在点处对的；或注: 1°..2°..2.偏导函数：若函数在区域D内每一点处对或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数, 或；或.注：可推广：三元函数在点处对的偏导数定义为例1.求在处的偏导数.，.例2.求的偏导数.，.例3.求的偏导数.，..3.偏导数的几何意义(1).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率(2).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率.4.函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系.(1).函数在点处偏导数存在，但它在点却未必连续例如：函数在点的两个偏导数都存在，即，.不存在，故在点不连续(2).函数在点连续，但它在点处却未必存在偏导数例如：函数在点连续，但它在点对及的偏导数都不存在，这是因为：，即在点对及的偏导数都不存在.二、高阶导数1.二阶偏导数：若函数对及的偏导数及对及的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数记作：；；(二阶纯偏导数)；.(二阶混合偏导数)(二阶纯偏导数注：1°.一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为它的阶偏导数2°.二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数.3°.二元函数的阶偏导数至多有个.例4.设，求它的二阶偏导数.；；；；；.总结：从这一例题，我们看到：，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如：，在点，有，事实上，；而，，于是，，即那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理：2.二阶混合偏导数的性质定理：若函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续，则它们在D内必相等，即注：1°.可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.2°.一般地，若二元函数的高阶混合偏导数都连续，则的阶偏导数只有个第三节全微分一、全微分的相关概念1.偏增量：称为函数对的偏增量称为函数对的偏增量2.偏微分：称与为对及的偏微分.注：，但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量、时，相应的函数增量与自变量的增量、之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量.3.全增量：称为函数在点、的全增量一般来讲，计算全增量是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用、的线性函数来近似代替函数的全增量，为此，引入了全微分4.全微分：若函数在点的某领域内有定义，且在的全增不依赖于、，可表示为，其中而仅与、有关，则称在点可微分，而称为在点的全微分，记作，即若在区域D内每一点都可微分，则称在D内可微分.注：我们知道，当一元函数在点的微分存在时，那么，当二元函数在点的全微分存在时，、又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到、的值.二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系1．函数可微分的必要条件定理1.若函数在点可微分，则它在点的两个偏导数必定存在，且在点的全微分证明：由于在点可微分，则有，。
范数理论
AB
n
2 F n
aik bkj ( aik bkj )
i 1 j 1 k 1 n 2 i 1 j 1 k 1 n 2
n
n
n
2
n
n
n
2
[( aik )( bkj )]
i 1 j 1 n k 1 k 1 n
( aik )( bkj )
第二章 范数理论 2.1 向量范数 定义：若对任意 x C n 都有一个实数 x 与 之对应，且满足： （1）非负性：当 x 0, x 0 只 有且仅有当 x 0, x 0. （2） 齐次性： kx k x , k 为任 意数。 n （3） 三角不等式：对任意 x, y C ， 都有 x y x y .
由 A max
x0
Ax x
A
Ax x
x0
Ax A x
AB
max
ABx x
max(
x0
A Bx x
)
A max
x0
Bx x
A B
因此 A 的确满足矩阵范数的定义。
由向量 P--范数 x 矩阵P--范数。即
向量范数的应用：
(k ) { x } ，其中 C 定义：给定 中的向量序列
(k ) (k ) T {x(k ) } (1( k ) , 2 ,n ) , k 0,1, 2,
n
如果
(k ) lim j j , ( j 1, 2,n) k
则称向量序列 {x } 收敛于{x} (1 , 2 ,n ) , (k ) { x } 收敛，记为 lim x( k ) x, ( j 0,1, 2,n) 简称
第三章 向量的范数
(2) 当X 0时，有
1
x
X
1 。
(3) 对任意的 X V,有 - X X 。
(4)对任意的X，Y V,有 X Y X Y 。
距离定义
在赋范数向量空间中， 向量X与Y之间的距离 可定义为X - Y的范数，即
d ( X ,Y ) X Y
三、 常用向量范数
记R n X (1, 2 ,, n ) i C
T
① X 10， X 1 17， X 2 11, 4 4 2 n ②X , X1 2 n, n 1 n 1 n e 16 4 n X2 2 4 2n (n 1) n e ③ X 12, X 1 19, X 2 13, ④ X 17, X 1 2 3 17, X 2 32
(2) kX d 1 kX a 2 kX b k (1 X a 2 X b ) k X d
(3) X Y d 1 X Y a 2 X Y b 1 X a 1 Y a 2 X b 2 Y b 1 X d 2 Y d
b
maxX
a
a
Y a, X
b
Yb
b
max X a , X
maxY
,Y
b
X
a
X
②证明： (1) 当X 0时， X a 0, X b 0, X d 0,
当X 0时， X a 0, X b 0,又1，2 0, 1 X 2 X b 0 X d 0
（1
2
2
2
2
2
n
2
向量范数和矩阵范数知识点总结
向量范数和矩阵范数知识点总结《向量范数和矩阵范数知识点总结：一场有趣的数学冒险》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠向量范数和矩阵范数这俩家伙，那可真是数学世界里一对有趣的“难兄难弟”啊！咱先说向量范数，它就像是给向量套上了一个“紧箍咒”，用来衡量这个向量的大小或长度。
想象一下，向量就像个调皮的小猴子，在数学丛林里上蹿下跳，而向量范数就是那个抓住它、给它定个大小的“如来佛祖的手掌”。
它能让我们清楚地知道这个向量到底有多“厉害”或者多“弱小”。
这玩意儿有好多类型呢，比如咱常见的1-范数、2-范数啥的。
它们各有各的特点，就像不同的魔法技能。
1-范数呢，就像是给向量的每个分量都贴上了个小标签，然后把这些标签加起来，简单粗暴。
而2-范数就有点高深了，它是通过一个神奇的公式算出来的，就像给向量做了一次美容，让它以最帅气的样子展现出来。
再来说说矩阵范数，这可是个大家伙。
它就像个“大管家”，管理着矩阵这个“大家庭”。
矩阵范数可以衡量矩阵的“能量”或者说“影响力”。
想象一下，矩阵就像个有很多房间的大房子，矩阵范数就是给这个房子估个价。
矩阵范数也有好多分类，像什么Frobenius 范数啊，那可是矩阵范数界的明星。
它把矩阵的每个元素都照顾到了，算出一个综合的值。
这就好像给矩阵进行了一次全面的体检，看看它到底有多健康。
学这些范数的时候啊，那可真是一场刺激的冒险。
有时候感觉就像在走迷宫，到处都是弯弯绕绕，一不小心就迷路了。
但当你突然找到了那条正确的路，哇，那种感觉简直爽翻了！就像你在黑暗中突然找到了一盏明灯。
不过别怕，虽然它们有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多做几道题，慢慢地就会和它们成为好朋友啦。
当你真正掌握了它们，就会发现它们其实也没那么可怕，反而还挺有趣的呢！总之，向量范数和矩阵范数就像是数学世界里的宝藏，只要我们勇敢地去挖掘，就一定能找到属于我们自己的惊喜。
加油吧，小伙伴们！让我们一起在这场有趣的数学冒险中勇往直前！。
范数及条件数
反之，若 A 0
x 1
Ax 0 Ax A 0.
2， A max Ax max Ax
x 1
max Ax A .
x 1
3,对任意两个n阶方阵A和B， A B max ( A B ) x max Ax Bx
x 1 x 1
矩阵的谱半径
定义：设A R 的特征值为
nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( A) max i
1i n
i
(i 1, 2,
, n) 称
为A的谱半径。
定理： ( A) A ,
( Ax x
A 为 A 的任意矩阵范数
x , Ax A x
x A x A ( A) A )
|| x || max | xi |
1i n
不难验证，上述三种范数都满足定义的条件。 注：上述形式的统一：
|| x || p (i 1 | xi | p )1/ p
n
1 p
例 设x=(1, 0, -1, 2)T, 计算
x
解:
1
, x
, x
2
x
1
=1+0+|-1|+2=4
对称矩阵范数
证明：由AT A知
T 2 2 || A ||2 ( A A ) ( A ) | ( A ) | 2 max max max
所以有
|| A ||2 | max ( A) |
又因为A非奇异，则 ( A) 0,由 ( A1 ) -1 ( A)得
设系数矩阵有微小的扰 动 0.0001 0 A 0 0 1.0001 0.99 x1 1.99 0.99 0.98 x 1.97 2
向量范数的等价性定理
向量范数的等价性定理第一篇：向量范数的等价性定理向量范数的等价性定理设 ||x||s，||x||t为Rn上向量，的任意两种范数，则存在常数 c1，c2 > 0,使得对一切x∈Rn，有c1||x||s ≤ ||x||t ≤ c2||x||s证明：只需证明不等式在||x||s = ||x||∞时成立，即证明存在常数c1，c2 > 0，使得c1 ≤ ||x||t / ||x||∞ ≤ c2，对一切x∈Rn且x≠0考虑泛函f(x)= ||x||t，x∈Rn记S={x | ||x||∞= 1，x∈Rn }，则S是一个有界闭集由于f(x)为S上的连续函数，f(x)在S上可以取到最小值和最大值，设最小值点和最大值点分别为x1，x2使c1 = f(x1)，c2 = f(x2)设x∈Rn且x≠0，则x / ||x||∞ ∈ S，从而有c1 ≤ f(x / ||x||∞)≤ c2显然c1，c2 > 0，上式为c1 ≤ ||x / ||x||∞||t ≤ c2，即c1 ≤ ||x||t / ||x||∞ ≤ c2证毕第二篇：向量范数迭代收敛性第六章方程求根的迭代法一、教学目标及基本要求通过对本章的学习，使学生掌握方程求根的数值解法。
二、教学内容及学时分配本章主要介绍方程求根的迭代法。
具体内容如下：迭代收敛性与迭代加速、牛顿法、弦截法。
三、教学重点难点1．教学重点：迭代收敛性与迭代加速、牛顿法。
2.教学难点：迭代的收敛性。
四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解向量范数、迭代收敛性§6.1向量和矩阵的范数1、向量的范数223Tx=x+x+...+xx=(x,x,...x)12n12n对向量，其长度记作2，借助长度可刻画向量的收敛性。
(k)T*Tx=(x,x,...x)x=(x,x,...x)12n12n向量序列，(k)(k)(k)***则k→∞limx(k)=x*的充要条件是k→∞limx(k)-x*=0除长度外，还有哪些反映收敛性的度量？x=(x1,x2,...xn)T，其范数记为x，是一个实数，满足：1）对任意向量x，x≥0，当且仅当x=0时x=0；2）对任意实数λ及任意向量x，λx=λx；3）任意向量x,y，x+y≤x+y（三角不等式）。
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向量范数及其性质
一、 向量范数的概念及lp范数
1、向量序列的极限 、
x x
(1)
= (ξ1 , ξ 2 ,⋯ , ξ n )
(1) (1) (1)
( 2)
= (ξ1 , ξ 2 ,⋯ , ξ n )
( 2) ( 2) ( 2)
⋮
{ x(k ) }
x ( k ) = (ξ1( k ) , ξ 2( k ) ,⋯ , ξ n( k ) ) ⋮
= 2 + 17 + 12 = 14 + 17
x 1 = 2i + 0 + 1 − 4i + −12
x 2 = 4 + 17 + 122 = 165
x
p
= (2 p + 17 + 12 )
p
1 p p
一、 向量范数的概念及lp范数
例 4、在 R 中，将向量 x = (ξ1 , ξ 2 ) 表示成 平面上直角坐标系中的点，分别画出下列等式 x 1 = 1， x 2 = 1， x ∞ = 1
思考题： 设矩阵 S ∈ C mxn 列满秩， 给定 C m 上的一种向量范数 i ，证明
x
S
= Sx , ∀x ∈ C n
是 C n 的向量范数。
二、 线性空间Vn上向量范数的等价性
Th1、 设 x α 和 x β 为有限线性空间 V 的 任意两种向量范数（它们不限于 p − 范数） ，则 存在两个与向量 x 无关的正常数 c1 和 c2 ，使下 面不等式成立 c1 x β ≤ x
2
决定的 x 全体所对应的几何图形。
一、 向量范数的概念及lp范数
5、一般线性空间上的向量范数 、
例 5、设 A 是任意一个 n 阶对称正定矩阵， 列向量 x ∈ R n ，则函数 x
A
= ( x T Ax ) 是一种
1 2
向量范数，称为加权范数或椭圆范数。
一、 向量范数的概念及lp范数
例 6、在线性空间 C [a , b] 上，由 l p 范数类 推，可定义
一、 向量范数的概念及lp范数
设向量级数
k
∑x
k =1
∞
(k )
，其部分和为
(k )
y
(k )
= ∑ x ，如果向量序列 { y } 有极限，
(i ) i =1
则称此级数有极限， { y } 的极限就是此级 且 数的极限；反之，称此级数发散。
(k )
一、 向量范数的概念及lp范数
1 2k = 1 k ，讨论向 量级数
f ( t ) 1 = ∫ f ( t ) dt ；
a b
b f ( t ) p dt , 1 ≤ p < ∞ ； f (t ) p = ∫ a f ( t ) ∞ = max f ( t ) ，
t∈[ a , b ]
1 p
可验证均满足范数定义的三个条件。
一、 向量范数的概念及lp范数
α
≤ c2 x
β
, ∀x ∈ V 。
二、 线性空间Vn上向量范数的等价性
x(k )
Th2 、 C n 中 的 向 量 序 列 ( = (ξ1( k ) , ξ 2( k ) ,⋯ , ξ nk ) ) ， k = 1, 2,⋯ 收敛到向
(k )
量 x = (ξ1 , ξ 2 ⋯ , ξ n ) 的充要条件是对任一种范 数 i ，序列 { x
例 2、 令 x
∞
(k )
∑x
k =1
(k )
的敛散性。
一、 向量范数的概念及lp范数
向量序列 { x } 收敛到向量 x ⇔ 向量序 (k ) (k ) (k ) (k ) 列 { x − x } = {(ξ1 − ξ1 , ξ 2 − ξ 2 ,⋯ , ξ n − ξ n )} 收敛到零向量。
一、 向量范数的概念及lp范数
3、性质 、
(1)
x− y ≥
x − y ；
x+ y ≥
x − y 。
(2) 向量范数是连续函数。
一、 向量范数的概念及lp范数
4、Cn上几种常见的范数 、
∀x = (ξ1 ,⋯ , ξ n ), y = (η1 ,⋯ ,η n ) ∈ C ，
n
1) ∞ -范数： x
∞
= max ξ i ；
i
n i =1
2) 1-范数： x 1 = ∑ ξ i ；
3) 2-范数： x 2 = ( x , x ) =
∑ξ
i =1
n
2 i
；
一、 向量范数的概念及lp范数
4) p -范数或 l p 范数：
∀p ≥ 1, p ∈ R ， x
n p = ∑ ξi i =1
例 7、给定线性空间 V 的基 x1 , x2 ,⋯ xn ，
n
设 x ∈V n 在 该 基 下 的 坐 标 向 量 为 ɶ = (ξ1 , ξ 2 ,⋯ , ξ n )T ， x p = x p ， ≤ p < ∞ 满 ɶ 则 1 x 足范数定义的三个条件， 它是 V n 上的范数， 也 称为 x 的 p − 范数。
− x } 收敛于零。
↓
⋮ ↓
⋮ ↓
(k )
⋮ ↓
x = (ξ1 , ξ 22,⋯ , ξ n ) ⋯
lim x
k →∞ (k )
=x 或 x
→ x (k → ∞)
一、 向量范数的概念及lp范数
例 1、分别讨论向量序列 1 1 2k 2k (k ) (k ) k x = ， y = ( −1) sin k 1 k (1 + ) k k ( k = 1, 2,⋯) 的敛散性。
1 p
p
有时依次称 x 1 , x 2 , x 数。
∞
为 l1 , l2 , l∞ 范
一、 向量范数的概念及lp范数
例 3、设 x = (2i , 0,1 − 4i , −12) ， i = −1 ， 求 ∞ ， x 1， x 2， x p。
2
解： x
∞
= max{ 2i , 0 , 1 − 4i , −12 } = 12
(k )
lim x
k →∞
(k )
= x ⇔ 向量 x
(k )
− x 的欧氏长度
( x ( k ) − x = (ξ1( k ) − ξ1 )2 + ⋯ + (ξ nk ) − ξ n )2 收敛
于 0。
一、 向量范数的概念及lp范数
2、向量范数的定义 、
定义 1：设 V 是数域 K 上的线性空间，且 对应一个实数 x ， 满足以下 3 个条件： ∀x ∈ V ， (1) 非负性：当 x ≠ 0 时， x > 0 ；当 x = 0 时， x = 0 (2) 正齐次性： ax = a x , a ∈ K , x ∈ V (3) 三角不等式： x + y ≤ x + y , x, y ∈V 则称 x 为 V 上向量 x 的范数，简称向量范数。