第8章+相量法

diL 关联时：u L = L dt
̇ = jωL × I ̇ U L L
° ★电感电压超前电流90 90°
̇ U L
̇ I L
ϕu
ϕi
相量关系图
3、电容
iC +
C uC –
映射
̇ I C
+
1 jω C
̇ U C
–
du C 关联时： iC = C dt
映射
̇ = U C
1 ̇ ×I C jω C
̇ I C
复数加减 易
练习： 8-9 （充分体现出相量运算的优越性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ )
映射
İ = I ∠ ϕ
di 则： dt
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = dt
= − 2 I ω sin( ω t + ϕwk.baidu.com)
= ω ⋅ 2 I cos(ωt + ϕ + 90 )
i2 (t ) = 2 I 2Cos (ωt + ϕ 2 )
映射
İ2 = I 2 ∠ ϕ 2
只有映射电压或电流正弦量的复数，才能被称作“相量”。
学生练习： 217页 题8-8 （2）
*相量的严格数学定义：
i=
2 ICos (ω t + ϕ i )
= Re { 2 I [ cos( ω t + ϕ i ) + j sin( ω t + ϕ i ) ]} = Re[ 2 Ie
∴ u (t ) = 30 cos(1000 t + 88 � ) V
★ 注意：参考相量如何设 定，都不会影响正弦稳态解
第2问：求各个相量，并画出相量图 � ̇ 设 I = 5 ∠ 43 A （参考相量） ̇ ̇ S U U
R L
̇ I S
3Ω
̇ U
� ̇ ̇ U = R I = 15 ∠ 43 V j4Ω R S � ̇ ̇ ̇ U = j ω L I = 20 ∠ 133 V - j1Ω U C L S 1 ̇ ̇ UC = I S = 5∠ − 47 � V jω C ̇ =U ̇ +U ̇ +U ̇ = 15 2∠88� V 注意验算： U R L C
̇ = U C 1 ̇ ×I C jω C
★ ★ 结论1：阻抗元件可以串并联化简 ★ ★ 结论2：相量电路模型图中，前四章所学列方程
的方法均适用。
本章作业：8-3
8-16
概念辨析：
u s (t ) = 5 2 cos(20t + 90� ) + 12 2 cos100t V
映射 映射
i2 =
则：
2 I 2 Cos ( ωt + ϕ 2 )
̇ = I ∠ϕ I 1 1 1 ̇ = I ∠ϕ I 2 2 2
正弦函数加减，和差化积 1 2 难
j (ω t ̇e ± ̇+ ϕ 2 ) ] I i1 ± i2 =i1 Re[ ± i22 I 1e j (ω t +ϕ1 ) ] 映射 + Re[ 2 II 2 21 ̇ +I ̇ ) e jω t ] = Re[ 2 ( I
̇ U L
̇ U
3Ω
j4Ω
= ( R + jω L + = ( 3 + j 3 ) × İ
- j1Ω
1 ) × İ jω C
重要结论：在相量形式的电路图中，电阻、电感、电容均统称为阻抗元件； 阻抗元件之间可串并联化简。
学生练习：243页 题9-1 （b）求端口看进去的等效阻抗
列方程的依据
直流电阻电路： KL： 相量形式： KL：
列时域微分方程
解三角函数 的微分方程 （难！）
列复数的普通方程
复数运算 （易！）
正弦稳态解（三角函数）
映射
相量形式的解（复数）
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部 b = Im [F] —— 虚部 2、三角形式
结论：
�
映射
̇ ω∠90� × I
di dt
映射
j ω İ
重要应用：
di ∵ L dt
映射
̇ L jω I ̇ = jω L × I ̇ U L L
diL ∴ uL = L dt
映射
例：已知电感为1F，电流相量为3∠20°A，求： 1）如果工作频率为50Hz（工频），电感电压？
ω = 2π f = 314 ( rad / s )
j (ω t +ϕ i )
]
= Re[
2 Ie
jϕ i
e
jω t
]
该复数包含了正弦量的 有效值和初相角信息 ̇ = Ie jϕ i = I∠ ϕ 定义为相量： I i
def
问题：1）如何用相量（复数）来映射正弦量？
2）这样做的好处是什么？——计算变简单了 一、加减运算 设： i1 =
2 I 1Cos (ω t + ϕ 1 )
∑I =0 ∑U = 0
∑ İ = 0 ̇ = 0 ∑U
电阻的 VCR： 受控源：
U = R⋅I
阻抗元件的 VCR：
̇ = Z×I ̇ U
j
U j = µU k
̇ 受控源： U
̇ = µU k
形式完全一样！！！
重要结论：对于正弦稳态电路，在相量形式电路图基础上， 前四章所学的所有列方程的知识均可用！！！
第八章 相量法简介
—— 一种用来求解“正弦稳态电路” 的特定方法。
+
+ uC -
-
uS uC(0-)=0
R
+ uR 回顾：激励为周期信号时，什么情况下
-
可以不考虑暂态分量？
如果 频率低，可以忽略暂态分量。 如果频率低，可以忽略暂态分量。
低频时：解≈稳态分量（形同激励源的函数形式）
∴当电源是正弦激励时：解≈正弦函数形式
F1 F1 | F1 | j ( θ 1 − θ 2 ) e = =| | ∠ (θ1 − θ 2 ) F2 F2 | F2 |
例：设 α
= 1 ∠ − 120 思考： F ⋅ α 表示？
�
——称为“旋转因子”
F ⋅ α 2 表示？
F1/F2=?
学生练习： 已知F1=3+j4 ， F2=-j ，求：F1+F2=?
4 mH
1mF
̇ I S
3Ω j4Ω
u
̇ U
- j1Ω
解：画相量形式的电路模型图
Z eq
设 İS = 5 ∠ 43 A （参考相量）
�
̇ = 5∠0� A 如果设I S
̇ = 15 则U 2 ∠ 45 � V
Z eq = 3 + j 4 − j1 = 3 + j 3 (Ω)
� � � ̇ ̇ = 3 2 ∠ 45 × 5 ∠ 43 = 15 2 ∠ 88 (V) U = Z eq × I S
求相位差时注意： （1）两个正弦量同频率！ （2）两个正弦量应同为cos（或同为sin）
回忆： sin(ϕ ) = cos(ϕ − 90� )
§ §8-3 8-3 相量法基础 相量法基础
问题：1）如何用相量（复数）来映射正弦量？
2）这样做的好处是什么？
正弦稳态电路，响应全是同频的正弦量！
—— > 复数的模 正弦量的有效值 < <—— ——> —— > 复数的辐角 正弦量的初相角 < <—— ——>
∫
T
0
i 2 ( t ) dt
记忆技巧：方均根
2、正弦量有效值公式的由来
i = I m Cos ( ω t + ϕ i )
I =
= 1 T 1 T
∫ ∫
T
0
i 2 dt
1 + cos 2 ( ω t + ϕ ) I dt 2
2 m
T
0
1 = Im 2
∴ I m = 2I
同理： U m =
2U
四、同频正弦量的相位差 同频
∑ u (t ) = 0
映射
̇R U
̇ = 0 ∑U
̇ I R
ϕ
i
ϕu
二、线性元件VCR的相量形式
1、电阻 iR + R uR –
映射 映射
相量关系图
̇ I R
+
R
̇R U
–
关联时： u R = R ⋅ i R
̇ = R×I ̇ (同相 ) U R R
2、电感
iL
L
映射
̇ I L
jω L
uL
映射
̇ U L
在复平面上画相量图
注意事项： 1）U、I各自的比例关系要准确； 2）相量符号要标在箭头附近； 3）明显的直角关系，应尽量标出。 90° 如：电感电压超前其电流 如：电感电压超前其电流90 90° 电容电压滞后其电流 电容电压滞后其电流90
̇ U L
+j
̇ U R ̇ I
̇C U
+1
第八章小结
̇ = j ωL × I ̇ ★ ★ ★ 记忆：U L L
§ §8-2 8-2
习惯上，用余弦函数表示：
正弦量 正弦量
一、电路中按正弦规律变化的电压、电流，统称为正弦量
i = I m Cos (ω t + ϕ i )
u=
2U Cos (ω t + ϕ u )
当电路中全是同一频 率的正弦量时，则只关心 和初相角 。 有效值 有效值和 初相角。
二、正弦量的三要素 1、有效值 (或振幅)： I , Im 2、角频率：ω (rad/s) 3、相角：ωt + ϕ 初相角： ϕ （ |ϕ| < π）
̇ U C
° ★电容电压滞后电流90 90°
ϕi
ϕu
相量关系图
练习： 218页 题8-13
公式对比：
̇ = R×I ̇ U R R
̇ = jωL × I ̇ U L L
̇ = U C
̇ I
̇ = Z×I ̇ U
1 × İC jω C
̇ =U ̇ +U ̇ +U ̇ U R L C
̇ U C
̇ U R
称作正弦稳态解
结论：在频率较低的正弦激励源作用下，动态电路中每个响应都是正
弦函数形式!
★何谓“正弦稳态电路”？
是一类特殊的动态电路。 “正弦”——全部激励源都是同一频率的正弦电源； “稳态”——电源是低频的，所以全响应≈稳态分量； 因为：“正弦稳态电路 ”的每一个响应都是同频的正弦函数形式 所以：人们想到了利用复数，来简化列方程和计算过程 ——称之为“相量法” 。 映射
小结：用相量法求解正弦稳态电路的步骤
时域电路模型图
用前4章所学知识列方程 映射
相量形式电路模型图
用前4章所学知识列方程
列微分方程
解三角函数 的微分方程 （难！）
列相量方程
复数运算
正弦稳态解
映射
相量形式的解
例：已知 iS (t ) = 5
iS
3Ω
2 cos( 1000 t + 43 � ) A 。 第1问：求电压 u (t )
i1 ( t ) = i2 (t ) =
相位差：
2 I 1 Cos ( ω t + ϕ 1 )
2 I 2 Cos ( ω t + ϕ 2 )
习惯上相位差 ∈[ 0°,180°]
ϕ 1 − ϕ 2 = 30°——i1超前i2 30°
-20°—— 滞后20° 200°——滞后160° 0° ——同相 18 0°或 —18 0°——反相 180 180
例： e
j π 2
= j
|F|
0
4、极坐标形式
θ
F =| F | ∠ θ
…… 练习：F=3+j4= F=3+j4=……
思考：复数与实数的本质区别？
能表达二维信息
二、复数的运算
1. 加减：
先转化为代数形式 ★ ，然后实部+实部、虚部+虚部：
F1 ± F2 = ( a1 ± b1 ) + j ( a 2 ± b 2 )
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 ̇ I jω
̇ = U C 1 × İC jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
映射
§ §8-4 8-4 相量形式的电路定律 相量形式的电路定律
一、基尔霍夫定律的相量形式 映射 ∑ İ = 0 ∑ i (t ) = 0
̇ = j ω L × İ = j × 314 × 1 × 3 ∠ 20 � U L L
2）电感电压和电流的相位关系？
∠ϕUL = ∠(ϕI L + 90 )
�
三、积分运算
i=
则：
2 ICos (ω t + ϕ )
映射
İ = I ∠ ϕ
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90� ) ω
或 几何解法：在复平面或极坐标上，基于矢量加减思想，画图求解
+j
F1 F1 + F2
F1
F2
F1 − F2
F2
+1
o
o
极坐标
复平面
2. 乘除：推荐用指数或极坐标形式求解★
F1 F2 = | F1 || F2 | e
j (θ 1 + θ 2 )
= | F1 || F2 | ∠ (θ 1 + θ 2 )
∵
F
θ
o
a +1
a = | F |cosθ
b = | F |sinθ
F = | F | (cos θ + j sin θ )
=a2+b2 模|F| |=a /a) 辐角 θ =arctan(b arctan(b/a)
3、指数形式
根据欧拉公式：
e jθ = cos θ + j sin θ
jθ
F =| F | e
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
0
i 2 ( t ) Rdt = I 2 RT
I t
def
t
I =
1 T