第8章+相量法
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第八章 相量法
ψ
0
ωt
Im , ω , ψ ——正弦量的三要素 正弦量的三要素 正弦量的
i(t)=Imcos(ω t+ψ) 二,正弦量的三要素 1, 幅值 (振幅, 最大值 m , 振幅, 振幅 最大值)I
i
ωT=2π π
ψ
0
ωt
2, 角频率ω : 反映正弦量变化的快慢. ω =d(ω t+ψ )/dt , 反映正弦量变化的快慢. 单位时间内变化的角度 单位: rad/s,弧度 秒 单位: ,弧度/秒 周期T 完成一个循环变化所需时间, 周期 : 完成一个循环变化所需时间,单位 s. . 频率f 每秒钟完成循环的次数,单位: 赫兹) 频率 : 每秒钟完成循环的次数,单位:Hz(赫兹 . 赫兹
T i 2 ( t ) Rdt R W交 = ∫0
周期电压如图所示.求其有效值U. 例 周期电压如图所示.求其有效值 . u(t)/V 2 1 0 1 2 3 4 5 6 t/s
根据有效值的定义, 解 根据有效值的定义,有
1 U= T =
∫
T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 1 dt + ∫ 2 dt + ∫ 0 2 dt = 1.29 V ∫0 1 2 3
π
UL
I
相量图
或
U I= ωL
I
3,相量形式: ,相量形式: jω L
+
UL
U L = jωLI = jX L I
XL=ω L,称为感抗,单位为 (欧姆 欧姆) ,称为感抗,单位为 欧姆
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相量模型 4,感抗的物理意义 ,
U (1) 表示限制电流的能力; I = 表示限制电流的能力; ωL (2) 感抗和频率成正比 ω =0 直流(XL=0) , ω→∞开路; 感抗和频率成正比, 直流( →∞开路 开路; XL
电路相量法讲义
1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系、相量图。
. Im= 5∠45o A
45o
. Um= 100∠0o V
主要是相位关系 .
Z = U.m =20∠-45o W Im
与其它章节的联系 是学习第 9、10、11、12章的基础。 必须熟练掌握相量法的解析运算。
2024年7月17日星期三
qA
任意一个复数A=|A|ejqa乘以
ejq ，等于把A逆时针旋转q
qa
+1
角度，而模|A|保持不变。 o
ej
p
2
=j
-j p
e 2 = -j
e jp = -1
都是旋 转因子
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。
A j
=
-jA，等于把
A
顺时针旋转90o。
2024年7月17日星期三
7
§8-2 正弦量
di dt
=wImcos(wt+fi
(2) i1(t) =10cos(100pt+30o)A
i2(t) =10cos(100pt-105o)A (2) j =30o-(-105o)=135o
(3) u1(t) =10cos(100pt+30o)V (3) w1≠w2，
u2(t) =10cos(200pt+45o)V 不能进行相位比较。
fi = 60o
由于最大值发生在计
o t1
t
时起点右侧 fi = - 60o
i(t) = 100cos(103t - 60o)
2. 当 103t = 60o = p3 时， 出现最大值
t1 =
第8章 相量法_电气09级
*注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压 最大值、有效值的符号。 最大值、有效值的符号。 宁波工程学院
i , Im , I
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8-23
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
8-5
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )
i , Im , I
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8-23
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
8-5
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )
第八章相量法.ppt
第八章
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
第08章 相量法
α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
第八章 相量法
Um U= = 0.707U m 2
1 T u2dt （8-14） T 0
或者： Um = 2U
#
（8-15）
u = 2U cos(t + u )
§8.2 正弦量 相位差：两正弦量间的相位之差称为相位差。 线性电路中，如果全部激励都是同一频率的正弦量，则电路 中的响应一定是同一频率的正弦量 。因此，在正弦交流电路中， u,i 常常遇到同频率的正弦量，设 任意两个同频率的正弦量 Im u =Umcos(ωt+φu ) Um i = Imcos(ωt+φi ) 从波形图中可看出u和i的频 率相同，而振幅、初相不同。
T
V
R
i 在一T内所产生的热量为： Q~= i2Rdt (J)
0
-
I 在一T内所产生的热量为： Q-= I2RT (J)
T
按定义两者的Q应相等，即
0
i2Rdt= I2RT
+ uS -
i
R
由此得有效值定义式：
I=
1 T i2dt T 0
（8-12）
§8.2 正弦量 将有效值定义用于正弦电流。 设：i =Imcos(ωt+φi )， 由（8-12）式得：
§8.3 相量法基础 Im= Ime jφi = Im φi 有效值相量为： I= Ie jφi = I φi （8-18）
（e jφi为旋转因子） （8-19）
任何一个正弦量通过上述变换都可以对应得到（8-19）式。 有效值相量与最大值相量的关系为：I = 2I m 例如： 已知正弦电压 u = 220 2 cos( 314t + 450 )V 所对应的有效值相量为： U= 220 450
．
．
第八章相量法
i i
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
第八章 相量法
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
(j 1 为虚数单位)
2.电感
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
U L wLI L i 2
相量关系:
相量形式:
3.电容
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
I C wCU C u 2
相量关系:
(j 1 为虚数单位)
上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示 时仍满足KCL；任一回路所有支路正弦电压用相量表 示时仍满足KVL.
2. 电路的相量模型（phasor model)
(j 1 为虚数单位) 时域电路
的相量模型:电压、电流用相量；元件用相量模型。
4.指数形式
F Fe
j
极坐标形式 F F
(j 1 为虚数单位) 二、复数运算
1.加减运算----代数形式
2.乘除运算----极坐标形式
(j 1 为虚数单位)
解：
(j 1 为虚数单位)
Im 3.旋转因子 F• ej
O
F Re
(j 1 为虚数单位)
所以，电流表4的读数为5A；电流表5的读数为7.07A。
小结：
1. 求正弦稳态解是求微分方程的特解，应 用相量法将该问题转化为求解复数代数方程 (j 1 为虚数单位) 问题。 2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微 分方程，而直接列写相量形式的代数方程。
(j 1 为虚数单位)
注意：
1. 只有正弦量才能用相量表示,非正弦量 不可以.
(j 相量只是表示正弦量 1 为虚数单位) ,不是等于正弦量. 2.
3. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量 图上,不同频率不行.
第八章_相量法
F2在第三象限， arctan （
2
40 20
） 180 63.4 180 116.6
F 44.7 116.6
二、复数的四则运算 1．加、减法运算：
①代数法：
实部与实部相加减，
虚部与虚部相加减。
+j
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j ( b1 b2 )
②图解法： F
2
+j
F 1 +F 2 F2 F1
F 1 +F 2 F2
F1 O
1
+j F2
O
+ j 1
+1
F1 O -F2 +1
复数加法的平行四边形法和三角形法 F
F2 +1 F1-F2
O
F1-F2
复数减法的平行四边形法和三角形法
2．乘法运算：
①代数形式： F1 F2 ( a1 jb1 )( a2 jb2 )
y =/2
y =0 y =－/2
当t=0 , y －/2 时 , i(t)=-1
3. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值(effective value)定义 直流I
物 理 意 义
R
交流i
R
W RI T
1
F1/F 2
1
| F1 | | F2 |
1 2
O
1 - 2
F2
2
+1
模相除，辐角相减。
复数的乘法
第八章 相量法
I
单位 : 欧
相量图
3. 电容中的正弦电流
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
(1)正弦量的相量表示法
u ( t ) U m cos( t ) Re[ U m e Re[( U m e
Im
U2 U1
U
Im
U1
U
U2
60
41 . 9
60
41 . 9
30
30
Re
Re
(2)一个正弦量乘以一个常数的运算相当于对应相量乘以常数
Au 1 ( t ) A 2 U 1 cos( t y ) Re( 2 A U 1 e 1
j t
)
(3)一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应相量乘以 j 的运算 di j I i I
A
C
+1
O 复数的乘法
复数的除法
C A B A B ( a b )
C
A B
A B
( a b )
e
j
1
3. 旋转因子：
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角. j F 例 F=F1e j 特殊： F1
j
e e
2 j
j
2
yu yi
t
(3) = 0， u与i 同相：
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：
单位 : 欧
相量图
3. 电容中的正弦电流
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
(1)正弦量的相量表示法
u ( t ) U m cos( t ) Re[ U m e Re[( U m e
Im
U2 U1
U
Im
U1
U
U2
60
41 . 9
60
41 . 9
30
30
Re
Re
(2)一个正弦量乘以一个常数的运算相当于对应相量乘以常数
Au 1 ( t ) A 2 U 1 cos( t y ) Re( 2 A U 1 e 1
j t
)
(3)一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应相量乘以 j 的运算 di j I i I
A
C
+1
O 复数的乘法
复数的除法
C A B A B ( a b )
C
A B
A B
( a b )
e
j
1
3. 旋转因子：
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角. j F 例 F=F1e j 特殊： F1
j
e e
2 j
j
2
yu yi
t
(3) = 0， u与i 同相：
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：
8相量法
-b
4 . 极坐标式
F | F |
共轭复数： F * | F | e j ( ) a jb
5
二、复数的四则运算及其几何表示
1.加减法 设F1、F2为复数:
F1 a1 jb1 | F1 | e j1
F2 a2 jb2 | F2 | e j 2
+j
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
设电流的结构如下：
i
R
L
+
+ + uR - + uL C uS -
uC
-
i 2I cos( t i ) w
代入上式，得：
24
1 R 2 I cos( t i ) wL 2 I sin( t i ) w w 2 I sin( t i ) 2U S cos( t u ) w w wC
14
同频余弦量的相位差
设两同频率的余弦量： u Umcos(ω t u )
i Imcos(ω t i )
两同频率的余弦量相位差： =初相位之差。与时间起点无关。
1. u i 0
(w t u ) (w t i ) u i u
有效值和相位差。
正弦电流（压）：随时间按余弦规律变动的电流（压）。 如图表示一条支路流过正弦电流。 指定电流参考方向和时间原点，余弦电流及其波形如图所示。 i Im i 最大值
i I m cos( t i ) w
初相位
O
i
wt
12
一、余弦量的三要素
振幅或幅值 （取正值）
角频率w
w 瞬时值表达式： i I m cos( t i )
第8章 相量法
第8章 相量法
8. 1 复数及运算
8. 2 正弦量的基本概念 8. 3 正弦量的相量表示 8. 4 电阻、电感和电容元件上电压 和电流的相量关系
8. 5 电路定律的相量形式和电路的相量模型
8. 1 复数及运算
1. 复数A表示形式： Im b A Im b A |A| |A|称为模
O
两种表示法：
称为辐角
作业：217页
(17 j9)(4 j6) 22035 ? 20 j5
19.24 27.9 7.21156.3 解：上式 180.2 j126.2 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠ A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故 把 ej 称为旋转因子。
Im
几种不同值时的旋转因子：
jI
0
I
, e 2
j
2
cos j sin j 2 2
解： I 10030o A
u 311.1cos(314t 60 )V 试用相量表示 i, u 。
o
U 220 60o V
例2.
已知 I 5015o A, f 50Hz.
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 50 2cos(314 t 15o ) A
二. 相量图
i(t ) 2 Icos(ω t y i ) I I y i
。
8. 1 复数及运算
8. 2 正弦量的基本概念 8. 3 正弦量的相量表示 8. 4 电阻、电感和电容元件上电压 和电流的相量关系
8. 5 电路定律的相量形式和电路的相量模型
8. 1 复数及运算
1. 复数A表示形式： Im b A Im b A |A| |A|称为模
O
两种表示法：
称为辐角
作业：217页
(17 j9)(4 j6) 22035 ? 20 j5
19.24 27.9 7.21156.3 解：上式 180.2 j126.2 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠ A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故 把 ej 称为旋转因子。
Im
几种不同值时的旋转因子：
jI
0
I
, e 2
j
2
cos j sin j 2 2
解： I 10030o A
u 311.1cos(314t 60 )V 试用相量表示 i, u 。
o
U 220 60o V
例2.
已知 I 5015o A, f 50Hz.
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 50 2cos(314 t 15o ) A
二. 相量图
i(t ) 2 Icos(ω t y i ) I I y i
。
第08章相量法
？ 则：U＝10V U 10e j15V？ -j15º 已知： I 10050 A
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
第八章 相量法
99.5531 99.55e j 31 u (t ) 99.55 2 cos(t 31)V
（ 3）
注意：
电路
在这样的表示中舍弃了正弦量的时间因子。如果给 出一个正弦量的相量表示，要求出该正弦量的瞬时值 表达式，只要在相量式中乘以一个不变的量 2e jt ， 然后取其实部即可得到该正弦量的瞬时表达式。 例如，已知 U 10e V 求u=? ∵ U 2e jt 10 2e j 300 e jt 10 2e j (t 300 )
j
代数式 指数式 极坐标形式
U
电路
设a、b为正实数
j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e
在第一象限Ⅰ 在第二象限Ⅱ
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
设：
U e U 1 1 j 2 U e U
2 2
j 1
电路
则：
U1 U1 j 1 2 e U2 U2
A
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
说明： 设：任一矢量 则：
e A
j 90
( j ) A
§8.2
一、交流电的概念
电路 5 、 一个正弦量对时间积分的相量等于该正弦量相量 除以 j
( idt )
I j
如： i
2I cos(t i ) I Ie j
i
1 2I uc idt cos(t i )dt C C
2I 2I sin(t i ) cos(t i ) C 2 C
（ 3）
注意：
电路
在这样的表示中舍弃了正弦量的时间因子。如果给 出一个正弦量的相量表示，要求出该正弦量的瞬时值 表达式，只要在相量式中乘以一个不变的量 2e jt ， 然后取其实部即可得到该正弦量的瞬时表达式。 例如，已知 U 10e V 求u=? ∵ U 2e jt 10 2e j 300 e jt 10 2e j (t 300 )
j
代数式 指数式 极坐标形式
U
电路
设a、b为正实数
j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e
在第一象限Ⅰ 在第二象限Ⅱ
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
设：
U e U 1 1 j 2 U e U
2 2
j 1
电路
则：
U1 U1 j 1 2 e U2 U2
A
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
说明： 设：任一矢量 则：
e A
j 90
( j ) A
§8.2
一、交流电的概念
电路 5 、 一个正弦量对时间积分的相量等于该正弦量相量 除以 j
( idt )
I j
如： i
2I cos(t i ) I Ie j
i
1 2I uc idt cos(t i )dt C C
2I 2I sin(t i ) cos(t i ) C 2 C
第8章 相量法
i 2 I cos(w t +y i )
（1）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数 一 般为有效值。
14
（2）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，
如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。
但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，
在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效 值的符号。
A3 3 + j 4 A3 3 j 4
3. 复ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的运算
5e
j 126.9
5e
j 126.9
(1) 加减运算——采用代数形式 若 则 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
18
(2) 乘除运算——采用极坐标、指数形式； 若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2 则: A1 A2 A1 e
最大值（振幅） 相位 wt + y i 初相位 yi Im
yi< 0 i(t) I m cos(w t + y i )
三. 正弦量的三要素
1. 幅值（振幅、 最大值）Im
反映正弦量变化幅度的大小。
2. 角频率ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2f
2 T
单位：rad/s，弧度 / 秒
1
+1
（由欧拉公式e
模 a a1 + a2
2
2
实部 a1 a cos
a2 1 虚部 幅角 tan tan a1 实部 17 虚部 a2 a sin
例：将以下代数形式化为指数形式
A1 3 + j 4
第8章 相量法
重点掌握正弦稳态电路 的解题思路。
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
相量法
I 2 R
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
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i2 (t ) = 2 I 2Cos (ωt + ϕ 2 )
映射
İ2 = I 2 ∠ ϕ 2
只有映射电压或电流正弦量的复数，才能被称作“相量”。
学生练习： 217页 题8-8 （2）
*相量的严格数学定义：
i=
2 ICos (ω t + ϕ i )
= Re { 2 I [ cos( ω t + ϕ i ) + j sin( ω t + ϕ i ) ]} = Re[ 2 Ie
称作正弦稳态解
结论：在频率较低的正弦激励源作用下，动态电路中每个响应都是正
弦函数形式!
★何谓“正弦稳态电路”？
是一类特殊的动态电路。 “正弦”——全部激励源都是同一频率的正弦电源； “稳态”——电源是低频的，所以全响应≈稳态分量； 因为：“正弦稳态电路 ”的每一个响应都是同频的正弦函数形式 所以：人们想到了利用复数，来简化列方程和计算过程 ——称之为“相量法” 。 映射
F1 F1 | F1 | j ( θ 1 − θ 2 ) e = =| | ∠ (θ1 − θ 2 ) F2 F2 | F2 |
例：设 α
= 1 ∠ − 120 思考： F ⋅ α 表示？
�
——称为“旋转因子”
F ⋅ α 2 表示？
F1/F2=?
学生练习： 已知F1=3+j4 ， F2=-j ，求：F1+F2=?
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
0
i 2 ( t ) Rdt = I 2 RT
I t
def
t
I =
1 T
列时域微分方程
解三角函数 的微分方程 （难！）
列复数的普通方程
复数运算 （易！）
正弦稳态解（三角函数）
映射
相量形式的解（复数）
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部 b = Im [F] —— 虚部 2、三角形式
∴ u (t ) = 30 cos(1000 t + 88 � ) V
★ 注意：参考相量如何设 定，都不会影响正弦稳态解
第2问：求各个相量，并画出相量图 � ̇ 设 I = 5 ∠ 43 A （参考相量） ̇ ̇ S U U
R L
̇ I S
3Ω
̇ U
� ̇ ̇ U = R I = 15 ∠ 43 V j4Ω R S � ̇ ̇ ̇ U = j ω L I = 20 ∠ 133 V - j1Ω U C L S 1 ̇ ̇ UC = I S = 5∠ − 47 � V jω C ̇ =U ̇ +U ̇ +U ̇ = 15 2∠88� V 注意验算： U R L C
i1 ( t ) = i2 (t ) =
相位差：
2 I 1 Cos ( ω t + ϕ 1 )
2 I 2 Cos ( ω t + ϕ 2 )
习惯上相位差 ∈[ 0°,180°]
ϕ 1 − ϕ 2 = 30°——i1超前i2 30°
-20°—— 滞后20° 200°——滞后160° 0° ——同相 18 0°或 —18 0°——反相 180 180
在复平面上画相量图
注意事项： 1）U、I各自的比例关系要准确； 2）相量符号要标在箭头附近； 3）明显的直角关系，应尽量标出。 90° 如：电感电压超前其电流 如：电感电压超前其电流90 90° 电容电压滞后其电流 电容电压滞后其电流90
̇ U L
+j
̇ U R ̇ I
̇C U
+1
第八章小结
̇ = j ωL × I ̇ ★ ★ ★ 记忆：U L L
例： e
j π 2
= j
|F|
0
4、极坐标形式
θ
F =| F | ∠ θ
…… 练习：F=3+j4= F=3+j4=……
思考：复数与实数的本质区别？
能表达二维信息
二、复数的运算
1. 加减：
先转化为代数形式 ★ ，然后实部+实部、虚部+虚部：
F1 ± F2 = ( a1 ± b1 ) + j ( a 2 ± b 2 )
diL 关联时：u L = L dt
̇ = jωL × I ̇ U L L
° ★电感电压超前电流90 90°
̇ U L
̇ I L
ϕu
ϕi
相量关系图
3、电容
iC +
C uC –
映射
̇ I C
+
1 jω C
̇ U C
–
du C 关联时： iC = C dt
映射
̇ = U C
1 ̇ ×I C jω C
̇ I C
̇ = U C 1 ̇ ×I C jω C
★ ★ 结论1：阻抗元件可以串并联化简 ★ ★ 结论2：相量电路模型图中，前四章所学列方程
的方法均适用。
本章作业：8-3
8-16
概念辨析：
u s (t ) = 5 2 cos(20t + 90� ) + 12 2 cos100t V
̇ = j ω L × İ = j × 314 × 1 × 3 ∠ 20 � U L L
2）电感电压和电流的相位关系？
∠ϕUL = ∠(ϕI L + 90 )
�
三、积分运算
i=
则：
2 ICos (ω t + ϕ )
映射
İ = I ∠ ϕ
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90� ) ω
∫
T
0
i 2 ( t ) dt
记忆技巧：方均根
2、正弦量有效值公式的由来
i = I m Cos ( ω t + ϕ i )
I =
= 1 T 1 T
∫ ∫
T
0
i 2 dt
1 + cos 2 ( ω t + ϕ ) I dt 2
2 m
T
0
1 = Im 2
∴ I m = 2I
同理： U m =
2U
四、同频正弦量的相位差 同频
j (ω t +ϕ i )
]
= Re[
2 Ie
jϕ i
e
jω t
]
该复数包含了正弦量的 有效值和初相角信息 ̇ = Ie jϕ i = I∠ ϕ 定义为相量： I i
def
问题：1）如何用相量（复数）来映射正弦量？
2）这样做的好处是什么？——计算变简单了 一、加减运算 设： i1 =
2 I 1Cos (ω t + ϕ 1 )
4 mH
1mF
̇ I S
3Ω j4Ω
u
̇ U
- j1Ω
解：画相量形式的电路模型图
Z eq
设 İS = 5 ∠ 43 A （参考相量）
�
̇ = 5∠0� A 如果设I S
̇ = 15 则U 2 ∠ 45 � V
Z eq = 3 + j 4 − j1 = 3 + j 3 (Ω)
� � � ̇ ̇ = 3 2 ∠ 45 × 5 ∠ 43 = 15 2 ∠ 88 (V) U = Z eq × I S
∑I =0 ∑U = 0
∑ İ = 0 ̇ = 0 ∑U
电阻的 VCR： 受控源：
U = R⋅I
阻抗元件的 VCR：
̇ = Z×I ̇ U
j
U j = µU k
̇ 受控源： U
̇ = µU k
形式完全一样！！！
重要结论：对于正弦稳态电路，在相量形式电路图基础上， 前四章所学的所有列方程的知识均可用！！！
映射 映射
i2 =
则：
2 I 2 Cos ( ωt + ϕ 2 )
̇ = I ∠ϕ I 1 1 1 ̇ = I ∠ϕ I 2 2 2
正弦函数加减，和差化积 1 2 难
j (ω t ̇e ± ̇+ ϕ 2 ) ] I i1 ± i2 =i1 Re[ ± i22 I 1e j (ω t +ϕ1 ) ] 映射 + Re[ 2 II 2 21 ̇ +I ̇ ) e jω t ] = Re[ 2 ( I
§ §8-2 8-2
习惯上，用余弦函数表示：
正弦量 正弦量
一、电路中按正弦规律变化的电压、电流，统称为正弦量
i = I m Cos (ω t + ϕ i )
u=
2U Cos (ω t + ϕ u )
当电路中全是同一频 率的正弦量时，则只关心 和初相角 。 有效值 有效值和 初相角。
二、正弦量的三要素 1、有效值 (或振幅)： I , Im 2、角频率：ω (rad/s) 3、相角：ωt + ϕ 初相角： ϕ （ |ϕ| < π）
∑ u (t ) = 0
映射
̇R U
̇ = 0 ∑U
̇ I R
ϕ
i
ϕu
二、线性元件VCR的相量形式
1、电阻 iR + R uR –
映射 映射
相量关系图
̇ I R
+
R
̇R U
–
关联时： u R = R ⋅ i R
̇ = R×I ̇ (同相 ) U R R