自动控制原理4 第四节控制系统根轨迹绘制

1 G(s)H (s)
15
4.4 控制系统根轨迹的绘制
相应的根轨迹方程为： Gk (s) 1 幅值条件和相角条件为：
Gk (s) 1，Gk (s) 2k (k 0,1,2,...) 与负反馈系统根轨迹比较，幅值条件相同，相角条件不
同。负反馈系统的相角条件 (2k 1) ，是180度等相角条 件；而正反馈系统的相角条件2k ，是0度等相角条件。
(s 1)( s 2)
R(s)
-
G(s)
C(s)
则：Gk (s)
G(s)H (s)
Kg ，引起特
s2
征方程阶数的下降。处理方法见下图：
R(s) 1 H (s)
C(s) G(s)H (s)
-
H (s)
(s) 1 Gk (s) H (s) 1 Gk (s)
1 (s) H (s)
式中： Gk (s) G(s)H (s)
Gk (s)
s(s
Kg 1)(s
5)
左图为正反馈（0度）根轨迹图；右图为负反馈（180 度）根轨迹图；
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4.4 控制系统根轨迹的绘制
四、非最小相位系统的根轨迹
定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节 的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函 数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节 的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传 递函数。
⑺绘制根轨迹图，见下图
2.5
2
1.5
j1.61
1
26.6
0.5
Imag Axis
0
-0.5
-1
-1.5
j1.61
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
12
Real Axis
4.4 控制系统根轨迹的绘制
特殊情况：对于开环传递函数 Gk (s)有零极点相对消的情况。
如：G(s)
Kg
，H (s) s 1
三、 正反馈系统的根轨迹
以上我们讨论的都是闭环负反馈系统的根轨迹绘制准则。 在实际的复杂系统中，可能有局部的正反馈的结构。正反馈系 统的根轨迹绘制准则与负反馈系统根轨迹略有不同。如下图所 示系统：
R(s) G(s)
+
H (s)
C(s)
开环传递函数为：Gk (s) G(s)H (s) 闭环传递函数为： (s) G(s)
注意： 负反馈系统根轨迹称为180度根轨迹或常规根轨迹，简 称为根轨迹； 正反馈系统根轨迹称为0度根轨迹或补根轨迹。
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4.4 控制系统根轨迹的绘制
绘制0度根轨迹的基本准则： ❖ 对称性和连续性同常规根轨迹； ❖ 起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹； ❖ 渐近线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同， 为： 2k , k 0,1,2... ，有n-m个角度。
s2 30.75
s1 1537.5 8kg
30.75
s0
kg
6
37 kg 50 0 kg 0
00 00
当劳斯阵某一行全为零时，有共 轭虚根。这时，kg 192 .2 。
辅助方程为：30.75s2 192.2 0 ， 解得共轭虚根为：s1,2 j2.5 即为根轨迹与虚轴的交点。
4.4 控制系统根轨迹的绘制
显然，s1 0.48，不在根轨迹上。分离点为：s2 3.52 。
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4.4 控制系统根轨迹的绘制
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4.4 控制系统根轨迹的绘制
比较正负反馈的根轨迹方程：
m
(s zi )
若开环传递函数为：
Gk (s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
则正负反馈的根轨迹方程分别为：
m
(s zi )
劳斯阵列：
1
s4 5
s3
34 kg
s2
5
8 2kg 6 kg 0
2kg 0
劳斯阵有一行全为0，表示
有共轭虚根。令：
6 kg
50kg 34 kg
0, kg
7
s1 s0
6
kg
50k g 34 kg
0
0
11
2kg
00
辅助方程为：5.4s2 14 0
s1,2 j1.61
4.4 控制系统根轨迹的绘制
以开环传递函数 Gk (s)绘制根轨迹可得(s)的极点。闭环
系统(s)的极点由(s)和 1 组合而成。
H (s)
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由零极点相对消减少的极点由
1 H (s)
的极点来补充。见下页图。
4.4 控制系统根轨迹的绘制
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4.4 控制系统根轨迹的绘制
二、 多回路系统的根轨迹
简单处理办法：将多回路系统等效为单回路系统，再绘制 180度根轨迹或参量根轨迹。
0,1,2,3...
nm
nm
计算极点处的出射角和零点处入射角：
出射角 （从其他极点到该极点的矢量幅角）
（从其他零点到该极点的矢量幅角）
入射角 （从各个极点到该零点的矢量幅角）
（从其他零点到该零点的矢量幅角）
2
4.4 控制系统根轨迹的绘制
计算根轨迹和虚轴的交点； 计算会合点和分离点：由N(s)D(s) - N(s)D(s) 0求解
⑥会合点与分离点（重根点）：分离角为 d
2
由N(s)D(s) N (s)D(s) 0 得：4s3 24s2 74s 50 0
由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用 下述近似方法：
kg (s4 8s3 37s2 50s)
我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实 数范围内变化时， k g最大时为分离点。
s
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8 -2.0
k 8.58 14.57 18.28 20.01 20.0 18.47 15.59 11.49 6.28 gd
可见分离点在-0.8~-1.0之间，近似取-0.9。
7
4.4 控制系统根轨迹的绘制
⑦绘制根轨迹，如下图所示。
5
4
141.9
3
2
j2.5
Imag Axis
1
0.9
0
-1
-2
j2.5
-3
-4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Real Axis
8
4.4 控制系统根轨迹的绘制
[例4-7]设开环系统传递函数为：Gk
(s)
(s
kg (s 1) 0.1)(s 0.5)
试绘制根轨迹。
[解]：⑴开环零点 z1 1，开环极点 p1 0.1, p2 0.5, 根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。 一支在无穷远处。
K i1 gn
1
(s pj)
j 1
m
(s zi )
K i1 gn
1
(s pj)
j 1
可见，正反馈根轨迹相当于负反馈根轨迹的Kg从0→－∞时 的根轨迹。
所以，若将正负反馈系统的根轨迹合并，可得－∞<Kg<∞时 的整个区间的根轨迹，称为全根轨迹。
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4.4 控制系统根轨迹的绘制
将例4-9的给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：
1
j4
1 (1 2 3)
( tg 1 4 tg 14 90) 141 .9
3
根据对称性，可知-3-j4处的出射
角 2 为： 2 141 .9 ⑤与虚轴的交点：闭环特征方程为：
s4 8s3 37s2 50s kg 0 劳斯阵为：
2
3 2
3
1
0 j4
s4
1
s3
8
利用前几步得到的信息绘分制离根角轨 d迹。n
注意： 后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。
3
4.4 控制系统根轨迹的绘制
一、 单回路负反馈系统的根轨迹
前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反
馈系统的。
[例]开环传递函数为：Gk 轨迹。
(s)
s(s
kg 2)[( s
i 1 ic 2
n1
（所有开环极点到该零点的矢量幅角）
j 1
❖ 与虚轴的交点：同常规根轨迹；
❖ 闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。
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4.4 控制系统根轨迹的绘制
[例4-9]：设单位正反馈系统的开环传递函数为：
Gk (s)
s(s
Kg 1)(s
5)
，试绘制系统的根轨迹。
[解]：
❖ 起点在0，-1，-5处，终点在无穷远处。有3支根轨迹。
⑵实轴上根轨迹区间：(,1],[0.5,1]
⑶分离点和会合点：
例4-4中已求得，分别为分离点=
-0.33,会合点=-1.67，分离角 d
2
⑷绘制根轨迹。
1 0.5 A0.1
9
4.4 控制系统根轨迹的绘制
[例4-8]设系统开环传递函数为： 试绘制系统的根轨迹。
Gk
(s)
s(s
kg (s 2) 3)(s2 2s
这里只讨论在右半S平面上具有极点或零点的非最小相位系统 根轨迹。将开环传递函数写为零极点形式，可出现两种情况：
①若
Gk (s) Kg
(s zi ) (s pj)
按180°根轨迹画图。
②若
Gk (s) Kg
(s zi ) (s pj)
按 0°根轨迹画图。
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4.4 控制系统根轨迹的绘制
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4.4 控制系统根轨迹的绘制
n1
m
⑸出射角：1 j1点：1c 1800 pi z j
i 1Baidu Nhomakorabea
j 1
1800 (tg 10.5 900 1350）（450） 26.60
对1 j1点，2c 26.60
⑹与虚轴的交点：
闭环系统的特征方程为：s4 5s3 8s2 (6 kg )s 2kg 0
nm
❖ 实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零极点之和为偶 数（包括0）的区域。 ❖分离点、会合点和分离角：同常规根轨迹；
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4.4 控制系统根轨迹的绘制
❖ 出射角和入射角：
m
出 （所有开环零点到该极点的矢量幅角）
i 1
n1
（其它开环极点到该极点的矢量幅角）
j 1 mj 1c 1
入 （其它开环零点到该零点的矢量幅角）
3)2
，画根 16 ]
[解] ：①标出四个开环极点：0，-2， 3 j4。有四条根轨迹。
②实轴上根轨迹区间是：[-2，0]；
③渐进线倾角： (2k 1) , 3 ,与实轴的交点为：
nm
44
p j zi 0 2 6 2
nm
4
5
4.4 控制系统根轨迹的绘制
④-3+4j处的出射角1 ：
2)
[解]：开环零，极点分别为： z1 2 , p1 0, p2 3,
⑴根轨迹有四支。
p3,4 1 j
⑵渐近线倾角 (2k 1) , , 5
41 3 3
重心： pi zi 0 3 2 2 1
4 1
3
⑶实轴上根轨迹区间 (,3],[2,0]
⑷实轴上无分离点和会合点。
小结
❖ 手工绘制180度根轨迹的步骤(单回路负反馈系 统和多回路系统根轨迹的绘制)； ❖ 手工绘制0度根轨迹的步骤(单回路正反馈系统 根轨迹的绘制)； ❖ 180度根轨迹和0度根轨迹的关系； ❖ 非最小相位系统的根轨迹
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第四节 控制系统根轨迹的绘制
1
4.4 控制系统根轨迹的绘制
前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下：
标注开环极点“ ”和零点○
“ 确定”实；轴上的根迹区间；
画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分
别为：
pj
zi
;
(2k
1)
,k
❖ 渐近线：与实轴的交点 pj zi 0 1 5 2
nm
3
倾角： 2k 0， 2
nm
3
❖ 实轴上根轨迹区间：[-5，-1]，[0，∞）
❖ 分离角（点）：d
,
2
由 N(s)D(s) N(s)D(s) 0
得：
3s2 12s 5 0，解得：s1,2 0.48， 3.52