瞬时速度与导数

练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数; 处的导数; 练习：(1)求函数 求函数 处的导数 1 (2)求函数 处的导数. (2)求函数 y = x + 在x=2处的导数. 处的导数 x
(1) 解： ∆y = (1+ ∆x)2 −12 = 2∆x + (∆x)2 ,
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x, ∆x ∆x ∆y ∴ 当 ∆x → 0时， → 2,∴ y ′ | x =1 = 2. ∆x ∆x
例 :已 知 函 数 y = 求 x0的 值.
解 :Q ∆ y =
∴ ∆y = ∆x =
1 x 在 x = x0处 附 近 有 定 义 , 且 y ' |x = x0 = , 2
x0 + ∆x − x0 ,
x0 + ∆x − x0 ( x0 + ∆x − x0 )( x0 + ∆x + x0 ) = ∆x ∆x ( x 0 + ∆ x + x 0 ) 1 . x 0 + ∆x + x 0
∆y (3) 求导数A ∆X →0时， → A ∆x
例1.求y=x2+2在点 在点x=1处的导数 1.求 在点 处的导数 解：∆y = [(1+ ∆x)2 + 2] − (12 + 2) = (∆x)2 + 2∆x
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x ∆x ∆x ∆y ∴当∆x →0时， →2 ∆x 变题. 在点x=a处的导数 变题.求y=x2+2在点 在点 处的导数 ∴y' |x=1= 2
1 2 物体作自由落体运动,运动方程为s = gt 其中位移单 例1:物体作自由落体运动,运动方程为： ： 2 O 位是m,时间单位是s,g=10m/s m,时间单位是 位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； [2,2.1]上的平均速度 (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； [2,2.01]上的平均速度 (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； =2(s)时的瞬时速度 时的瞬时速度. (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. s(2+∆t) __ ∆s 1 解: v = = 2 g + g (∆t ) ∆t 2 (1)将 t=0.1代入上式 代入上式， (1)将 Δt=0.1代入上式，得:
f (1 + ∆x) − f (1) lim 3∆x ∆x →0
等于（ C ） 等于（ B． B．不存在 D． D．3f ′(1)
A．f ′(1) C．1 f ′(1)
3
1 3．设 f ( x) = ，则 x
f ( x) − f ( a ) lim x − a x →a
等于
（ C ）
1 A． − a
∆y = ∴当∆x → 0时, ∆x
1 1 → , x0 + ∆ x + x0 2 x0
1 1 1 由 y' | x = x0 = , 得 = ,∴ x 0 = 1. 2 2 x0 2
三、函数在一区间上的导数： 函数在一区间上的导数：
内每一点都可导， 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 在开区间 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 内可导． 在开区间 内可导 这时， 内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 ， 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 内构成了一个新的函数， 样就在开区间 内构成了一个新的函数 导数， 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 内的导函数 新函数叫做 f(x) 在开区间 内的导函数，简称为导数 记作 f ′(x0)与f ′(x)之间的关系： 之间的关系： 与 之间的关系 函数y=f(x)在点 0处的导数 ’(x0)等于 在点x 当x0∈(a,b)时,函数 时 函数 在点 处的导数f 等于 在点x 函数f(x)在开区间 在开区间(a,b)内的导数 ’(x)在点 0处的函数值 内的导数f 在点 函数 在开区间 内的导数
3、导函数与导数（值）的关系 、导函数与导数（
内每一点都可导， 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 在开区间 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 内可导． 在开区间 内可导 这时， 内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 ， 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 内构成了一个新的函数， 样就在开区间 内构成了一个新的函数 导数， 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 内的导函数 新函数叫做 f(x) 在开区间 内的导函数，简称为导数 记作 f ′(x0)与f ′(x)之间的关系： 之间的关系： 与 之间的关系 函数y=f(x)在点 0处的导数 ’(x0)等于 在点x 当x0∈(a,b)时,函数 时 函数 在点 处的导数f 等于 在点x 函数f(x)在开区间 在开区间(a,b)内的导数 ’(x)在点 0处的函数值 内的导数f 在点 函数 在开区间 内的导数
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ( x0 ) = lim ∆x → 0 ∆x
'
由定义求导数（三步法） 由定义求导数（ 步骤: 步骤
量 (1)算增 ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) (2) 算比 值 = ; ∆x ∆x
s
s
二.导数的概念
在区间（ 有定义， （ 函数 y = f ( x )在区间（ a , b)有定义， x0 ∈ a , b )
∆y f (x0 +∆x) − f (x0 ) ∆X →0,比值 = →l ∆x ∆x

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 即， lim =l ∆x →0 ∆x
我们称f(x)在x=x0可导 并称该常数 为函数 在 可导,并称该常数 并称该常数L为函数 我们称 /(x0)或 y ' f(x)在x=x0处的导数，记为 处的导数，记为f 在 或 x = x0．
f ′(x0)=f ′(x)
． x=x0 ．
课堂小结： 课堂小结：
1、瞬时速度 、
s=s(t)， 如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v， t+Δ 这段时间内， 时平均速度: 就是物体在t到 t+Δt这段时间内，当 Δt→0 时平均速度:
s(t + ∆t) − s(t) →v. ∆t 也 是 移 于 间 瞬 变 率 就 位 对 时 的 时 化
1 C． − 2 a
2 B． a 1 D． 2 a
4．若f(x)=x3，f ′(x0)=3，则x0的值是 )=x )=3， （ C ） A． 1 C． ± 1 B．－ B．－1 ．－1 D． D． 3 3
5．设函数f(x)=ax3+2，若f ′(－1)=3，则 设函数f )=ax +2， 1)=3， 1 a=__________。 =__________。 6．函数y=2mx+n的瞬时变化率是 2m 函数y=2mx+
2、导数的概念 、
在区间（ 有定义， （ 函数 y = f ( x )在区间（ a , b)有定义， x0 ∈ a , b )
∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆X →0,比值 = →A ∆x ∆x
我们称f(x)在x=x0可导 并称该常数 为函数 在 可导,并称该常数 为函数f(x) 并称该常数A为函数 我们称 处的导数，记为f (x)． 在x=x0处的导数，记为f/(x)．
__
s(2)
∆s
v = 2.05g = 20.5m / s.
(2)将 t=0.01代入上式 代入上式， (2)将 Δt=0.01代入上式，得:
__
即 : 物体在时刻 t 0 = 2 (s )的瞬时速度等于 20 m
∆s (3)当 ∆ t → 0时 , → 20 m / s. ∆t
v = 2.005g = 20.05m / s.
瞬时速度 与导数
一．速度问题 1. 平均速度： 平均速度： 一汽车3小时走了120公里 一汽车3小时走了120公里，则它的平 公里， 均速度为40公里 小时。即在时间t 公里/ 均速度为40公里/小时。即在时间t内，物 s 体运动了距离s 体运动了距离s，则它的平均速度为 v =
t
2. 瞬时速度 瞬时速度怎么定义，又如何求出呢？ 瞬时速度怎么定义，又如何求出呢？
.
1 7．函数 y = x + 在x=1处的导数是 =1处的导数是 x y ' |x =1 = 0 .
f ′(x0)=f ′(x)
． x=x0 ．
练习题 1．一物体的运动方程是s=3+t2，则在一 一物体的运动方程是s=3+t 小段时间[2, 2.1]内相应的平均速度为 小段时间[2, 2.1]内相应的平均速度为 （ D ） A．0.41 C． 4 B． B．3 D． D．4.1
2．设y=f(x)函数可导，则 函数可导，
1 1 − ∆x (2)∆y = (2 + ∆x) + − (2 + ) = ∆x + , 2 + ∆x 2 2(2 + ∆x)
− ∆x 1 ∆y 2(2 + ∆x) , = = 1− 2(2 + ∆x) ∆x ∆x ∆y 3 3 ∴当∆x → 0时, → ,∴ y′ | x=2 = . ∆x 4 4 ∆x +
1 2 自由落体运动物体下落高度公式为 s = gt 2
求下落t=1秒时的瞬时速度， 求下落t=1秒时的瞬时速度，我们可以 秒时的瞬时速度 先求出1秒到t秒间的平均速度， 先求出1秒到t秒间的平均速度，
1 2 1 gt − g s (t ) − s (1) 2 1 t 2 −1 1 2 = g = = (t + 1) g v= t −1 t −1 2 t −1 2