必修五基本不等式归纳教师版

基本不等式

知识点：基本不等式

1．如果,a b R +∈2a b ab +≥（当且仅当时取“=”号）.

2．如果,a b R +∈22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（ 当且仅当时取“=”号）.

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

说明：利用基本不等式求条件最值的方法

(1)消元法．通过代换消去其中一个变量，将其转化为求函数的最大(小)值问题．

(2)配凑法．根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件．

(3)构造法．通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式． 类型一：利用（配凑法）求最值

1．求下列函数的最大（或最小）值.

（1）求11

x x +

≥+（x 0）的最小值； 解析：函数111111y x x x x =+=++-++，由于0x ≥，则11x +≥， 即有()12

111,1

y x x ≥+⋅=+当且仅当111x x +=+即0x =时，有最小值1

（2）若x 0,0,24,xy y x y >>+=求的最大值 解析：2

11212422222x y xy x y +⎛⎫=⋅⋅≤=⋅= ⎪⎝⎭

（3）

解析：322626446a b ab +≥=⋅=

. b 2a 3 4ab b ,a 的最小值，求是正数且+=

（4）若实数a,b 满足a+b=2,求3a +3b 的最小值。

解析：因为33233236a b a b a b ++≥⋅==，所以33a b +的最小值为6，

当且仅当1a b ==时等号成立。

（5）设x,y 满足x+4y=40,且 x>0,y>0 则lgx+lgy 最大值是（ ）

解析：lg lg lg ,x y xy +=因为440x y +=

所以22

114140lg lg 4lg lg 24242x y xy y x +⎛⎫⎛⎫=⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。 （6）已知lgx+lgy ＝1，y x 25+的最小值是______. 解析：由lg lg 1,x y +=得0,0,x y >>且()lg 1,xy =即10xy =

所以525222x y x y

+≥⋅=当且仅当52,10,xy x y ==即5,2x y ==等号成立 因此最小值为2。

类型二：含“1”的式子求最值

2．已知且，求的最小值.

解析：∵191x y

+= ∴()1999101016x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭

， 当且仅当9x y y x

=时，等号成立 则x y +的最小值是16。

变式1：若230,0,=1

x y x y x y >>++，求的最小值 答案：526+

变式2：求函数2214y=

(0)sin cos 2

x x x π+<<的最小值

答案：9

类型三：求分式的最值问题 3. 已知0x >，求21x x x ++的最小值 解析：∵0x >

∴21111213,x x y x x x x x

++==++≥⋅+= 当1x =时取得等号

∴最大值为3。

变式1：求函数231()12

x y x x +=≥+的值域 答案：[)2,+∞

变式2：求函数224y x =+的最小值

答案;

52

类型四：求负数范围的最值问题

4. 10,x x x <+求的最大值

解析:∵0,x <∴0x ->

∴12x x --

≥（当且仅当1x =-时取等号） 故12,x x

+≤-最大值为2-。 变式1：求4()(0)f x x x x

=+≠的值域 答案:(][),44,-∞-⋃+∞

2212()x x f x x

-+=变式：求的值域 答案：(][),40,-∞-⋃+∞

变式3：已知51,y=42445

x x x <

-+-求函数的最大值 答案：1

类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值

例5.若正数a,b 满足3,ab a b =++则

（1）ab 的取值范围是

（2）a+b 的取值范围是

解析：（1）∵正数,a b 满足3ab a b =++，

∴33ab a b =++≥，即230-≥

3≥，即9ab ≥，当且仅当3a b ==时取等号，[)9,ab ∈+∞

（3）∵正数,a b 满足3ab a b =++，∴232a b a b ab +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭

， 即()()24120a b a b +-+-≥，解得6a b +≥，当且仅当3a b ==时取等号，

∴[)6,+a b +∈∞

变式1：若x ，y>0满足2x+y+6,xy xy =则的最小值是

答案：18

变式2：已知x ，y>0满足x+2y+2xy 8,x+2y =则的最小值是

答案：4

补充：正数,a b 满足1a b ab ++=，则32a b +的最小值是______

解析：由1a b ab ++=得11

b a b +=-，再由,a b 为正数得1b >

所以()()316336322221555111

b b a b b b b b b b -+++=+=+=+-+≥=---

当且仅当

()6211

b b =--即1b =5。