第五章_风险度量-方差模型(第二节)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10.0 5.0
COV (rB,rC ) 6 1014 100.1 8 1012 100.2 10 1010 100.4 12108100.2 14106 100.1
4.8
（3）相关系数（ρ）
◆ 相关系数是用来描述投资组合中各种资产收益率变 化的数量关系，即一种资产的收益率发生变化时，另 一种资产的收益率将如何变化。
●适用于比较预期收益不同方案的风险程度
● 计算公式：
CV
E(r)
（二）投资组合预期收益与风险
1. 投资组合的预期收益率
权数是单项资产在总投资价值中所占的比重
● 投资组合中单项资产预期收益率的加权平均数。
● 计算公式：
n
E(rp ) wi E(ri )
i 1
2. 投资组合方差和标准差
投资组合的方差是各种资产收益方差的加权平均数，加 上各种资产收益的协方差。
2 P
wi2
2 i
wi wjCOV (ri，r j )
i1
i1 j1
i j
各种资产的方差，反映了 它们各自的风险状况
各种资产之间的协方差，反映了 它们之间的相互关系和共同风险
当投资组合由N种资产时，组合总体的方差由N个方差和N （N－1）个协方差组成。
【证明】
假设投资组合中包含了N种资产 （1）每种资产在投资组合总体中所占的份额都相等( wi=1/N)； （2）每种资产的方差都等于σ2，并以COV(ri，rj)代表平均的协方差。
5.15% 4.90% -11.20% 1.43% -4.67% 13.26% 8.64% 1.66% -2.15% 2.62% 3.35% 2.80% 25.80%
ri r AM
2
ri r AM
2.94% 2.67% -12.94% -0.90% -6.91% 11.83% 6.67% -0.67% -4.47% 0.30% 1.05% 0.49%
第五章 风险度量
第二节 证券投资风险模型 －－方差模型
马科维茨(Markowitz) 投资组合理论
★ 基本假设
1.投资者认为，每一项可供选择的投资在一定持有 期内都存在预期收益率的概率分布。
2.投资者都追求单一时期的预期效用最大化，而且他 们的效用曲线表明财富的边际效用呈递减的趋势。
3.投资者根据预期收益率的波动率，估计投资组合的 风险。
查正态曲线面积表可知，Z=1.35时，收益率在0~28.25%之 间的概率为41.15% 。
公司盈利的概率： P (r＞0)=41.15% + 50% = 91.15% 公司亏损的概率： P (r≤0)=1-91.15% = 8.85%
Excel 计算
3.正态分布函数—— NORMDIST
◎ 功能：返回指定平均值和标准偏差
◆ 协方差是两个变量（资产收益率）离差之 积的预期值。
n
COV (r1, r2 ) r1i E(r1) r2i E(r2 ) Pi i1
或：
COV (r1, r2 )
1 n
n i1
r1i
E(r1)
r2i E(r2 )
其中：[r1i－E(r1)]表示证券1的收益率在经济状态i下对其预期值的离差； [r2i－E(r2)]表示证券2的收益率在经济状态i下对其预期值的离差； Pi表示在经济状态i下发生的概率。
◆ 当COV（r1，r2）＞0时，表明两种证券预期收益率变动方向相同； 当COV（r1，r2）＜0时，表明两种证券预期收益率变动方向相反； 当COV（r1，r2）＝0时，表明两种证券预期收益率变动不相关 。
一般来说，两种证券的不确定性越大，其标准差和协方差 也越大；反之亦然。
请看例题分析【例】 表4列出的四种证券收益率的概率分布
◎ 应用：NORMDIST(x, mean, standard_dev, cumulative)
X：需要计算其分布的数值； Mean：分布的算术平均值； standard_dev：分布的标准偏差； cumulative：一逻辑值，指明函数的形式。如果 cumulative 为 TRUE，函
数 NORMDIST 返回累积分布函数；如果为 FALSE，返回 概率密度函数。
【例】承【例1】假设表1收益率为正态分布的随机变量，收益率平均 值为28.25%，标准差为20.93%。
要求：计算股票收益率大于零的概率。
B.计算0～28.25% 的面积
解 答
？
A.根据正态分布可知，收益 率 大于28.25%的概率为50%
※ 0~28.25%的面积计算：
该区间包含标准差的个数为： Z 0 28.25% 1.35 20.93%
正态分布的 密度函数是 对称的，并 呈钟形
在正态分布情况下，
收益率围绕其平均数左右1个标准差区域内波 动的概率为68.26%；
收益率围绕其平均数左右2个标准差区域内波 动的概率为95.44%；
收益率围绕其平均数左右3个标准差区域内波 动的概率为99.73%。
2. 正态分布曲线的面积表应用
标准化正态变量Z的计算公式： Z X
年收益率 0.95%12 11.4%
月标准差：
A,B
0.52
0.06042
0.52
0.10832
1/ 2
2 0.5 0.5 0.00211
0.00491/ 2 7.0%
年标准差 0.0049 12 1/2 24.3%
N项资产投资组合
N项资产投资组合预期收益的方差
n
nn
7.02
2005-5-1
6.70
2005-6-1
7.65
2005-7-1
8.34
2005-8-1
8.48
2005-9-1
8.30
2005-10-1
8.52
2005-11-1
8.81
2005-12-1
9.06
合计
算术平均值(月)
收益率（ri）
离散型
连续型
5.29% 5.02% -10.59% 1.45% -4.56% 14.18% 9.02% 1.68% -2.12% 2.65% 3.40% 2.84% 28.25% 2.35%
1 n
n j 1
rj
r
2
样本方差
VAR(r)
2 x
1 n 1
n j 1
rj
r
2
样本总体标准差
STDEVP(r) x VARP
样本标准差
STDEV(r) x VAR
Variance—方差 Standard deviation—标准差 Correlation coefficient—相关系数 Normal distribution—正态分布 Arithmetic mean—算术平均数 G mean—几何平均数
连续型股票投资收益 率比离散型股票投资 收益率要小，但一般 差别不大.
见【表1】
（一）持有期收益率
1. 算术平均收益率( r AM )
n
r AM rj / n j 1
收益率数据系列r1，r2，…，rn（n为序列观测值的数目）
2. 几何平均收益率( r GM )
r GM [(1 + r1 )(1 + r2 ) (1 + rn )]1/n -1
表4 四种证券预期收益率概率分布
概率
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 预期收益率 标准差
A
10.0 10.0 10.0 10.0 10.0
10.0 0.0
预期收益率分布（%）
B
C
6.0
14.0
8.0
12.0
10.0
10.0
12.0
8.0
14.0
6.0
10.0
10.0
2.2
2.2
D
2.0 6.0 9.0 15.0 20.0
12
COV (r1 , r2 )
1 2
◆ 相关系数与协方差之间的关系：
COV (r1, r2 ) 121 2
协方差和相关系数都是反映两个随机变量 相关程度的指标，但反映的角度不同： 协方差是度量两个变量相互关系的绝对值。 相关系数是度量两个变量相互关系的相对 数。
◆ 相关系数是标准化的协方差，其取值范围（﹣1，﹢1）
5% 0% -5% 0 -10% -15% -20%
2
4
6
8
10
12
图 4 浦发银行和上海石化月收益率的时间序列（2005年）
浦发银行 上海石化
【例】承【例2】假设某投资组合中包括50%的浦发银行股和50%的上 海石化股。
要求：计算这一投资组合的预期收益率和标准差。 解析
月收益率 ：
E(r) 0.0236 50% 0.0046 50% 0.95%
【例】 承【例1】 根据表1的数据，计算浦发银行收益率 方差和标准差。
解析
VARP ( R)
2 月
0.0438
/12
0.365
%
STDEVP(R) 月 0.365% 6.04%
STDEVP(R) 年 0•.0604 12 20.93%
（三）正态分布和标准差
1. 正态分布曲线的特征
r AM 28.25% 年 20.93%
收益的大致概率分布
（2）根据未来影响收益的各种可能结果及其概率分布大小 估计预期收益率
（一）单项资产预期收益与风险
1.预期收益率的衡量
●各种可能情况下收益率（ri）的加权平均数.
n
E(r) ri Pi i 1
权数为各种可能结果出现的概率（Pi ）
2. 风险的衡量 （1）方差（σ2）和标准差（σ） ●方差和标准差都可以衡量预期收益的风险.
【 例1】浦发银行(600000)2004年12月至2005年12月各月收盘价、收益 率如表1所示。
表1
浦发银行收盘价与收益率(2004年12月至2005年12月)
日期
调整后收盘价 （元）
2004-12-1
7.00
2005-1-1
7.37
2005-2-1
7.74
2005-3-1
6.92
2005-4-1
当 12 ＝﹢1 时，表明两种资产之间完全正相关； 当 12 ＝ -1 时，表明两种资产之间完全负相关； 当 12 ＝ 0 时，表明两种资产之间不相关。
图3 证券A和证券B收益率的相关性
【例2】根据浦发银行（600000）和上海石化（600688）两家 公司2005年各月已按派息和拆股调整后的收盘价计算的月收益 率均值、协方差、相关系数见表3。
4.投资者根据预期收益率和风险做出决策，他们的效 用曲线只是预期收益率和预期收益率方差的函数。
一、实际收益率与风险的衡量
● 实际收益率（历史收益率）是投资者在一定期 间实现的收益率 .
ⅰ.离散型股票投资收益率
rt
( Pt
Pt1 ) Dt Pt 1
ⅱ. 连续型股票投资收益率
rt
ln
Pt Dt Pt 1
Excel
计算 1.协方差的计算
函数:COVAR (Array l , Array2 )
2.相关系数的计算
函数: CORREL (Array l , Array 2)
函数应用 见【表3】
表3 浦发银行和上海石化月收益率、标准差（2004年12月至2005年12月）
月收益率(%)
20% 15% 10%
两项资产投资组合
（1）两项资产投资组合预期收益率的方差
2 P
w12
2 1
w22
2 2
2w1w2COV
(r1, r2 )
W1,W2 表示资产1和资产2在投资组合总体中所占的比重；
2 1
,
2 2
表示组合中两种资产各自的预期收益率的方差；
COV（r1，r2）表示两种资产预期收益率的协方差。
（2）协方差 COV（r1，r2）
【例】承前例，计算浦发银行股票收益小于零的概率。 =NORMDIST(0,28.25%,20.93%,TRUE) 回车后即可得到浦发银行股票收益小于零的概率为8.86%
二、预期收益与风Fra Baidu bibliotek的衡量
预期收益率的 估计方法
（1）根据某项资产收益的历史数据的样本均值作为估计数 假设条件：该种资产未来收益的变化服从其历史上实际
n
nn
2 P
wi2
2 i
wi w jCOV (ri，r j )
i1
i1 j1
i j
2 P
n 1 2 2 i1 N
n i 1
n j 1
1 N2
COV
(ri，r
j)
i j
1 N2
N
2
1 N2
N
N
1
COV
(ri，r
j)
1 N
2
1
1 N
COV
(ri，r
0.09% 0.07% 1.68% 0.01% 0.48% 1.40% 0.44% 0.00% 0.20% 0.00% 0.01% 0.00% 4.38%
（二）投资风险的衡量—方差和标准差
＊ 方差 和 标准差 都是测量收益率围绕其平均值变化的程度
＊ 计算公式：
样本总体方差
VARP
(r
)
2 x
方差
n
2 ri E(r)2 Pi
i1
标准差
n
ri E(r)2 Pi
i1
●方差和标准差都是从绝对量的角度衡量风险的大小， 方差和标准差越大，风险也越大。
●适用于预期收益相同的决策方案风险程度的比较. （2）标准离差率 （CV ） ●标准离差率是指标准差与预期收益率的比率
●标准离差率是从相对量的角度衡量风险的大小
COV (rB,rC ) 6 1014 100.1 8 1012 100.2 10 1010 100.4 12108100.2 14106 100.1
4.8
（3）相关系数（ρ）
◆ 相关系数是用来描述投资组合中各种资产收益率变 化的数量关系，即一种资产的收益率发生变化时，另 一种资产的收益率将如何变化。
●适用于比较预期收益不同方案的风险程度
● 计算公式：
CV
E(r)
（二）投资组合预期收益与风险
1. 投资组合的预期收益率
权数是单项资产在总投资价值中所占的比重
● 投资组合中单项资产预期收益率的加权平均数。
● 计算公式：
n
E(rp ) wi E(ri )
i 1
2. 投资组合方差和标准差
投资组合的方差是各种资产收益方差的加权平均数，加 上各种资产收益的协方差。
2 P
wi2
2 i
wi wjCOV (ri，r j )
i1
i1 j1
i j
各种资产的方差，反映了 它们各自的风险状况
各种资产之间的协方差，反映了 它们之间的相互关系和共同风险
当投资组合由N种资产时，组合总体的方差由N个方差和N （N－1）个协方差组成。
【证明】
假设投资组合中包含了N种资产 （1）每种资产在投资组合总体中所占的份额都相等( wi=1/N)； （2）每种资产的方差都等于σ2，并以COV(ri，rj)代表平均的协方差。
5.15% 4.90% -11.20% 1.43% -4.67% 13.26% 8.64% 1.66% -2.15% 2.62% 3.35% 2.80% 25.80%
ri r AM
2
ri r AM
2.94% 2.67% -12.94% -0.90% -6.91% 11.83% 6.67% -0.67% -4.47% 0.30% 1.05% 0.49%
第五章 风险度量
第二节 证券投资风险模型 －－方差模型
马科维茨(Markowitz) 投资组合理论
★ 基本假设
1.投资者认为，每一项可供选择的投资在一定持有 期内都存在预期收益率的概率分布。
2.投资者都追求单一时期的预期效用最大化，而且他 们的效用曲线表明财富的边际效用呈递减的趋势。
3.投资者根据预期收益率的波动率，估计投资组合的 风险。
查正态曲线面积表可知，Z=1.35时，收益率在0~28.25%之 间的概率为41.15% 。
公司盈利的概率： P (r＞0)=41.15% + 50% = 91.15% 公司亏损的概率： P (r≤0)=1-91.15% = 8.85%
Excel 计算
3.正态分布函数—— NORMDIST
◎ 功能：返回指定平均值和标准偏差
◆ 协方差是两个变量（资产收益率）离差之 积的预期值。
n
COV (r1, r2 ) r1i E(r1) r2i E(r2 ) Pi i1
或：
COV (r1, r2 )
1 n
n i1
r1i
E(r1)
r2i E(r2 )
其中：[r1i－E(r1)]表示证券1的收益率在经济状态i下对其预期值的离差； [r2i－E(r2)]表示证券2的收益率在经济状态i下对其预期值的离差； Pi表示在经济状态i下发生的概率。
◆ 当COV（r1，r2）＞0时，表明两种证券预期收益率变动方向相同； 当COV（r1，r2）＜0时，表明两种证券预期收益率变动方向相反； 当COV（r1，r2）＝0时，表明两种证券预期收益率变动不相关 。
一般来说，两种证券的不确定性越大，其标准差和协方差 也越大；反之亦然。
请看例题分析【例】 表4列出的四种证券收益率的概率分布
◎ 应用：NORMDIST(x, mean, standard_dev, cumulative)
X：需要计算其分布的数值； Mean：分布的算术平均值； standard_dev：分布的标准偏差； cumulative：一逻辑值，指明函数的形式。如果 cumulative 为 TRUE，函
数 NORMDIST 返回累积分布函数；如果为 FALSE，返回 概率密度函数。
【例】承【例1】假设表1收益率为正态分布的随机变量，收益率平均 值为28.25%，标准差为20.93%。
要求：计算股票收益率大于零的概率。
B.计算0～28.25% 的面积
解 答
？
A.根据正态分布可知，收益 率 大于28.25%的概率为50%
※ 0~28.25%的面积计算：
该区间包含标准差的个数为： Z 0 28.25% 1.35 20.93%
正态分布的 密度函数是 对称的，并 呈钟形
在正态分布情况下，
收益率围绕其平均数左右1个标准差区域内波 动的概率为68.26%；
收益率围绕其平均数左右2个标准差区域内波 动的概率为95.44%；
收益率围绕其平均数左右3个标准差区域内波 动的概率为99.73%。
2. 正态分布曲线的面积表应用
标准化正态变量Z的计算公式： Z X
年收益率 0.95%12 11.4%
月标准差：
A,B
0.52
0.06042
0.52
0.10832
1/ 2
2 0.5 0.5 0.00211
0.00491/ 2 7.0%
年标准差 0.0049 12 1/2 24.3%
N项资产投资组合
N项资产投资组合预期收益的方差
n
nn
7.02
2005-5-1
6.70
2005-6-1
7.65
2005-7-1
8.34
2005-8-1
8.48
2005-9-1
8.30
2005-10-1
8.52
2005-11-1
8.81
2005-12-1
9.06
合计
算术平均值(月)
收益率（ri）
离散型
连续型
5.29% 5.02% -10.59% 1.45% -4.56% 14.18% 9.02% 1.68% -2.12% 2.65% 3.40% 2.84% 28.25% 2.35%
1 n
n j 1
rj
r
2
样本方差
VAR(r)
2 x
1 n 1
n j 1
rj
r
2
样本总体标准差
STDEVP(r) x VARP
样本标准差
STDEV(r) x VAR
Variance—方差 Standard deviation—标准差 Correlation coefficient—相关系数 Normal distribution—正态分布 Arithmetic mean—算术平均数 G mean—几何平均数
连续型股票投资收益 率比离散型股票投资 收益率要小，但一般 差别不大.
见【表1】
（一）持有期收益率
1. 算术平均收益率( r AM )
n
r AM rj / n j 1
收益率数据系列r1，r2，…，rn（n为序列观测值的数目）
2. 几何平均收益率( r GM )
r GM [(1 + r1 )(1 + r2 ) (1 + rn )]1/n -1
表4 四种证券预期收益率概率分布
概率
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 预期收益率 标准差
A
10.0 10.0 10.0 10.0 10.0
10.0 0.0
预期收益率分布（%）
B
C
6.0
14.0
8.0
12.0
10.0
10.0
12.0
8.0
14.0
6.0
10.0
10.0
2.2
2.2
D
2.0 6.0 9.0 15.0 20.0
12
COV (r1 , r2 )
1 2
◆ 相关系数与协方差之间的关系：
COV (r1, r2 ) 121 2
协方差和相关系数都是反映两个随机变量 相关程度的指标，但反映的角度不同： 协方差是度量两个变量相互关系的绝对值。 相关系数是度量两个变量相互关系的相对 数。
◆ 相关系数是标准化的协方差，其取值范围（﹣1，﹢1）
5% 0% -5% 0 -10% -15% -20%
2
4
6
8
10
12
图 4 浦发银行和上海石化月收益率的时间序列（2005年）
浦发银行 上海石化
【例】承【例2】假设某投资组合中包括50%的浦发银行股和50%的上 海石化股。
要求：计算这一投资组合的预期收益率和标准差。 解析
月收益率 ：
E(r) 0.0236 50% 0.0046 50% 0.95%
【例】 承【例1】 根据表1的数据，计算浦发银行收益率 方差和标准差。
解析
VARP ( R)
2 月
0.0438
/12
0.365
%
STDEVP(R) 月 0.365% 6.04%
STDEVP(R) 年 0•.0604 12 20.93%
（三）正态分布和标准差
1. 正态分布曲线的特征
r AM 28.25% 年 20.93%
收益的大致概率分布
（2）根据未来影响收益的各种可能结果及其概率分布大小 估计预期收益率
（一）单项资产预期收益与风险
1.预期收益率的衡量
●各种可能情况下收益率（ri）的加权平均数.
n
E(r) ri Pi i 1
权数为各种可能结果出现的概率（Pi ）
2. 风险的衡量 （1）方差（σ2）和标准差（σ） ●方差和标准差都可以衡量预期收益的风险.
【 例1】浦发银行(600000)2004年12月至2005年12月各月收盘价、收益 率如表1所示。
表1
浦发银行收盘价与收益率(2004年12月至2005年12月)
日期
调整后收盘价 （元）
2004-12-1
7.00
2005-1-1
7.37
2005-2-1
7.74
2005-3-1
6.92
2005-4-1
当 12 ＝﹢1 时，表明两种资产之间完全正相关； 当 12 ＝ -1 时，表明两种资产之间完全负相关； 当 12 ＝ 0 时，表明两种资产之间不相关。
图3 证券A和证券B收益率的相关性
【例2】根据浦发银行（600000）和上海石化（600688）两家 公司2005年各月已按派息和拆股调整后的收盘价计算的月收益 率均值、协方差、相关系数见表3。
4.投资者根据预期收益率和风险做出决策，他们的效 用曲线只是预期收益率和预期收益率方差的函数。
一、实际收益率与风险的衡量
● 实际收益率（历史收益率）是投资者在一定期 间实现的收益率 .
ⅰ.离散型股票投资收益率
rt
( Pt
Pt1 ) Dt Pt 1
ⅱ. 连续型股票投资收益率
rt
ln
Pt Dt Pt 1
Excel
计算 1.协方差的计算
函数:COVAR (Array l , Array2 )
2.相关系数的计算
函数: CORREL (Array l , Array 2)
函数应用 见【表3】
表3 浦发银行和上海石化月收益率、标准差（2004年12月至2005年12月）
月收益率(%)
20% 15% 10%
两项资产投资组合
（1）两项资产投资组合预期收益率的方差
2 P
w12
2 1
w22
2 2
2w1w2COV
(r1, r2 )
W1,W2 表示资产1和资产2在投资组合总体中所占的比重；
2 1
,
2 2
表示组合中两种资产各自的预期收益率的方差；
COV（r1，r2）表示两种资产预期收益率的协方差。
（2）协方差 COV（r1，r2）
【例】承前例，计算浦发银行股票收益小于零的概率。 =NORMDIST(0,28.25%,20.93%,TRUE) 回车后即可得到浦发银行股票收益小于零的概率为8.86%
二、预期收益与风Fra Baidu bibliotek的衡量
预期收益率的 估计方法
（1）根据某项资产收益的历史数据的样本均值作为估计数 假设条件：该种资产未来收益的变化服从其历史上实际
n
nn
2 P
wi2
2 i
wi w jCOV (ri，r j )
i1
i1 j1
i j
2 P
n 1 2 2 i1 N
n i 1
n j 1
1 N2
COV
(ri，r
j)
i j
1 N2
N
2
1 N2
N
N
1
COV
(ri，r
j)
1 N
2
1
1 N
COV
(ri，r
0.09% 0.07% 1.68% 0.01% 0.48% 1.40% 0.44% 0.00% 0.20% 0.00% 0.01% 0.00% 4.38%
（二）投资风险的衡量—方差和标准差
＊ 方差 和 标准差 都是测量收益率围绕其平均值变化的程度
＊ 计算公式：
样本总体方差
VARP
(r
)
2 x
方差
n
2 ri E(r)2 Pi
i1
标准差
n
ri E(r)2 Pi
i1
●方差和标准差都是从绝对量的角度衡量风险的大小， 方差和标准差越大，风险也越大。
●适用于预期收益相同的决策方案风险程度的比较. （2）标准离差率 （CV ） ●标准离差率是指标准差与预期收益率的比率
●标准离差率是从相对量的角度衡量风险的大小