克莱姆法则

克莱姆法则（Cramer's Rule ）

教学过程(自己写的不一定好，大家自己斟酌，括号中的内容不在教案范围内，把括号的内容全部删掉就是教案。红色的内容和其中的公式是教案内容也是板书的部分)

一；引入（大约5分钟）：复习行列式的计算，并通过实例引入：

(1)回忆行列式的定义和简单的计算性质(我们学习了行列式的定义和计算，一个行列式的值就是所有不同行列的元素的成绩的代数和，那么下面我们来研究一下行列式的应用，到底行列式用在什么地方呢？我们看一下如下的例子) （例题及分析写在黑板的右边）

例：解二元一次解方程组：11112212112222

a x a x

b a x a x b +=⎧⎨+=⎩，（通过消元法我们可以解得方程组的解为） 消元法解方程得：122212111221221111212

211221221b a b a x a a a a a b a b x a a a a -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩

。（我们来看一下这两个解会发现什么？

两个根1x 和2x

的分母是相同的刚好是行列式） 令：11122122

a a D a a =

，（这个行列式刚好是方程组的系数行列式而分母我们也可以用行列式表示，我们用行列式来表示一下分子） 1

121222b a D b a =和1112212

a b D a b =；（看，1D 和2D 恰好是用常数项分别代替1x 和2x 的系数得到的行列式；即） 此时：112

2D x D D x D

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。（那我们按照这个形式将二元的形式推广到n 元的情形会得到什么呢？能不能像这样用行列式来表示线性方程组的解呢？这就是我们这节课要学习的克莱姆法则）

（在黑板中间写标题：）板书标题：克莱姆法则

二；新课（约25分钟）

（黑板左边写定理）定理一克莱姆法则：若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组：

【1】11112211211222221122n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩

的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解，且解为：

1212,,n n D D D x x x D D D

===……………………………………（2） 其中j D 是将系数行列式的第j 列换成方程的常数项得到的行列式。

（我们来看一下这个定理描述了哪些事情）

（板书写在定理下面）定理包含一个条件三个结论

注：给出方程组有解的充分条件

结论：（1）方程组有解

（2）方程组有唯一解

（3）解是有公式（2）给出的。

这三个结论是有联系的从这些联系可以得到定理的证明：公式（2）一定是方程组的解，并且方程组的解只能是由公式（2）给出，因此定理的证明分两步：

第一步：

（板书）证明：一、证明公式（2）是方程组的解：将其带入到方程组中可以由方程组的计算公式得到（2）是方程组的解（具体的方法不写了，可以根据时间的安排找一个方法求解，在此过程中用到的行列式的计算性质可以考虑在引入中的回忆部分复习一下，这些都是看时间安排的）

二、证明方程组的解一定是公式（2）给出的形式：

设i i x c =，1,2,3

i n =是方程组的解， 即1122i i in n i a x a x a x b +++=，其中1,2,3

i n =。 下考察j Dc 则有：

11

12121

2221

2n n j j n n nn a a a a a a Dc c a a a ==111121221j j n j j

n n nj j nn a a c a a a c a a a c a =11

1111221112121122222211122j j n n n j j

n n n n n n nj j nn n nn a a c a c a c a c a a a c a c a c a c a a a c a c a c a c a +++++++++

+++

+++ =111

1212

21n n n n nn a b a a b a a b a =j D 。

因此，j Dc =j D ，又由于0D ≠，故j

j D c D =，得证。

引导学生从定理的证明中发现，0D ≠是必须的条件，但是正因为这个条件所以对方程组的要求很高，从而引导学生思考一般线性方程组的解，为线性方程组的解法的学习做准备。（这一句写在教案里，你想说明就说，不想说明就算了，其实没什么意思，就是写在教案里显得知识点前后有联系。）

（从定理中我们可以发现一个特殊情况，就是当所有的b 都等于0时方程的解只能是0，因此我们有）

推论二：若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组：

111122121122221122000

n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数行列式0D ≠，则方程组只有0解.

（我们有了克莱姆法则，那么我们怎么利用呢？我们来看下面的例题）

三；例题（约15分钟，例题我就不找了，根据实际情况找一到两个题并且写清楚步骤就好了）

四；小结（2,3分钟）：

总结克莱姆法则的条件和三个结论，并指明在解题当中的应用。（以上就是克莱姆法则的应用，我们可以看出，要应用克莱姆法则，必须是有n 个方程n 个未知量的方程组，并且系数行列式0D ≠，在此条件下我们可以得到方程组的解，因此，我们用克莱姆法则解题，第一步要先判断系数行列式是否为0，在0D

≠情况下，由公式（2）可以给出方

程组的唯一解。） 五;作业（略）