北京东城区普通校2013届高三12月联考_数学理_Word版含答案

北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上． 1． 若集合{}0A x x =≥，且A B B = ，则集合B 可能是

A ．{}1,2

B ．{}1x x ≤

C ．{}1,0,1-

D ．R

2． 复数11i

+在复平面上对应的点的坐标是

A ．），（11

B ．），（11-

C ．）（1,1--

D ．）

（1,1- 3． 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖

C ．,,m n m n αα若则‖‖‖

D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖

4． 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），

则该棱锥的体积是 A ．

3

4 B ．8

C ．4

D ．

3

8 正视图 侧视图

5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，

则目标函数x y z 32-=的最大值为 A ．3- B ．2

C ．4

D ．5

6．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为

A ．7

B ．5-

C ．5

D ．7-

7． 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，)()(x f x g -=，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是

A ．),10(+∞

B ．)10,10

1( C ．)10,0( D ．),10()10

1,

0(+∞

8．设1F 、2F 分别为双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足

212P F F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为

A ．340x y ±=

B ．350x y ±=

C ．540x y ±=

D ．430x y ±=

第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知5

3sin =

α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 ．

10．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ的值为 ．

11．椭圆

2

2

19

2

x

y

+

=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4P F =，12F PF ∠的小大为 ．

12．若曲线2

12

32

-

+=

x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ．

13． 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 ． （写出所有正确

命题的编号）．

①1ab ≤； ≤； ③ 222a b +≥；

④33

3a b +≥； ⑤112a

b

+

≥

14． 已知函数2

)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式

1)

1()1(>-+-+q

p q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

已知：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，1cos 24

C =-

（Ⅰ）求C sin 的值；

（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长．

16

（Ⅰ）求 函 数()f x 的 解 析 式；

P

D

B

A

C

E

17．（本小题满分13分）

已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，ABCD PA 面⊥，且2==AB PA ，

E 为PD 中点．

（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ； （Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ； （Ⅲ）求二面角D AC E --的正弦值． 18．（本小题满分13分）

已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，)(*N n ∈．

（Ⅰ）求：1a ，2a 的值；

（Ⅱ）求：数列{}n a 的通项公式；

（Ⅲ）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n na b =)(*N n ∈，求数列{}n b 的 前n 项和n T ． 19．（本小题满分14分） 已知：函数)1ln(21)(2

x ax

x x f +--

=，其中R a ∈．

（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅲ）若)

(x f 在[0,)+∞上的最大值是

0，求a 的取值范围． 20．（本小题满分14分）

已知椭圆:

C 222

2

1(0)x y a b a

b

+

=>>3

点构成的三角形的面积为3

．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为12

-

，求斜

率k 的值；②若点7(,0)3

M -

，求证：MA MB ⋅

为定值．