经济数学微积分 第二版第三章 第六节边际与弹性解析

Q
1000 900
100
(3)边际成本函数C(Q) 2Q Q ,当Q 900 1200 600
时的边际成本 C(Q) 1.5 Q 900
2. 边际收益
定义：总 收 益 函 数R(Q )的 导 数
R(Q) Lim R Lim R(Q Q) R(Q)
Q0 Q Q0
Q
称 为 边 际 收 益 函 数.
5
销售15个单位时
总收益R
Q2 (20Q )
255
Q 15
5
Q 15
平均收益R
R(Q)
255 17
Q 15
Q Q15 15
边际收益R(Q) (20 2 Q) 14
Q 15
5
Q 15
当销售量从15个单位增加到20个单位时收益的平均变化率为
R R(20) R(15) 320 255 13
L(Q) R(Q) C(Q),则 边 际 利 润 为 L(Q) R(Q) C(Q) 显 然,边 际 利 润 可 由 边 际 收 入与 边 际 成 本 决 定,
C(Q) R(Q) C(Q) 时,
C(Q)
0 L(Q) 0
0
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分
析后，得出总利润 L(Q) (元)与每月产量 Q (吨)的
Q
20 15
5
例4.当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品 的需求函数为P P(Q) 10eQ2，其中Q为需求量， P为价格，且最大需求量为6．求该商品的收益函数 和边际函数．
解
Q
收益函数R(Q) PQ 10Qe 2 (0 Q 6)
Q
边际收益函数R(Q) 5(2 Q)e 2 (0 Q 6)
f (x0 )
，
经济学中称它为 f (x) 在 x x0处的边际函数值.
设在点 x x0处， x从 x0 改变一个单位时 y 的增量y 的准确值为y xx0 ，当 x 改变量很小时，则由微分的应用
x1
知道， y 的近似值为
y
x x0 x1
dy
f
(
x)x
x x0 x1
f ( x0 )
当x 1时，标志着 x从 x0减小一个单位.
4. 边际需求
定义 若Q f (P)是需求函数，则需求量Q对价格P 的导数 dP f (P)称为边际需求函数. dQ
显然，f (P)
1
f 1 (Q)
设P为价格，P P(Q)，因此 R(Q) PQ Q P(Q)，R(Q) P(Q) QP(Q)
例 3 设某产品的需求函数为P 20 Q ，其中P 为
5
价格，Q 为销售量，求销售量为 15 个单位时的总
收益，平均收益与边际收益．并求销售量从 15 个
单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率． 解 总收益为R QP (Q) 20Q Q 2
而边际成本则为： C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q)
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例 2 设某产品生产Q 单位的总成本为
C (Q ) 1100
Q2 1200
，
求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本；
(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成
本的平均变化率；
关系为 L L(Q) 250Q 5Q 2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释．
解 边际利润为L(Q) 250 10Q, 则
L(Q) L(20) 50 Q20
L(Q) L(25) 0
Q 25
L(Q) L(35) 100
Q 35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
例1 设函数 y x2，试求 y在 x 5时的边际函数值． 解 因为 y 2x，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位），y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位）．
二、 经济学中常见的边际函数
1. 边际成本
1)边际成本
总 成本 函 数C(Q)的 导数
这表明 f (x)在点 x x0处，当 x产生一个单位的 改变时，y近似改变 f (x0 )个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字．
定义1 设函数 y f (x)在 x处可导，则称导数 f (x)
为 f (x)的边际函数． f (x)在 x0处的值 f (x0 )为边 际函数值．即当 x x0时，x改变一个单位， y改 变 f (x0 )个单位．
第六节 边际与弹性
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数 y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x) 内的
平均变化率为y x
；在
x
x0 处的瞬时变化率为
lim f (x0 x)
x0
x
f (x0 )
3. 边际利润
定义：总 利 润 函 数L(Q )的 导 数
L(Q) Lim L Lim L(Q Q) L(Q)
Q0 Q Q0
Q
称 为 边 际 利 润.
边际利润表示：若已经生产了Q单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润．
一 般 情 况 下 ， 总 利 润 函数L(Q)等 于 总 收 益 函 数 R(Q)与 总 成 本 函 数C (Q)之 差 ． 即
C (Q) Lim C Lim C(Q Q) C(Q)
Q Q0
Q0
Q
2)边际平均成本：
平均成本C (Q)的导数
C
(Q)
C (Q ) Q
QC(Q) Q2
C (Q )
称 为 平 均 边 际 成 本.
总成本C(Q)等于固定成本C0与可变成本C1 (Q)之和， 即：C(Q) C0 C1 (Q)
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其
经济意义.
解 (1)生产900个单位时的总成本为
9002
C(Q) 1100
1775
Q 900
1200
平均成本为
பைடு நூலகம்
C (Q)
1775 1.99
Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的
平均变化率为
C(Q) C(1000) C(900) 1993 1775 1.58