高等数学绪论

恩格斯：在一切理论成就中未必再有什么 象17世纪下半叶微积分学的发明那样被看作 人类精神的最高胜利了。只有微积分学才能 并且也表明过程运动。
使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，
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六、数学具有三个显著的特点
1、高度的抽象性 （1）1是什么？ （2）处处稠密而又并不连续的有理数 （3）处处稠密而又并处处连续的实数 （4）[0，1]分成若干份，每一份有无穷多个实数 （5）n维空间 （6）5.1207×10
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2、第二次数学危机与极限理论
发生在微积分建立的开初阶段
微分：求曲线上某一点的切线斜率（的研究） 积分：起源于求曲线所包围的面积的研究（先） 数学方法的主要基础：无穷小分析 抨击 某些概念含糊 英国大主教贝克莱 推理不严谨 达郎贝尔（法国，1717——1783） 极限的方法 柯西（法国，1789——1857）
学很基本，我们哈佛一年级的学生就能完成…”。 然而阿洛用的是什么样的数学这一点并不重要，重要的是他 将数学与经济学成功的相结合，用数学建立了重要的经济学模型！
二、什么是高等数学？
从公元前3世纪Euclid的《几何原本》起到17世纪， 称为初等数学时期。又称常量数学时期。 主要研究对象： 1.匀速的运动（速度不变）； 2.匀加速的运动（速度均匀变化） ； 3.直边图形（不弯曲）；
微积分的基本方法：微元分析法
1 2 自由落体运动规律：s( t ) gt 2 问：在时刻 t 时，落体的速度v(t)是什么？
例1 Galileo通过实验 确立了
时间： t t t
s s ( t t ) s ( t ) 路程：
1 1 2 2 g ( t t ) gt gtt 1 g ( t )2 2 2 2
在微小局部“以匀代非匀”，将问题转化为 匀速，求得近似值，通过求极限转化为精确值
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四、学习数学的重要性
1、名人名言 英国哲学家培根：数学是打开科学大门的钥匙 马克思：一种科学，只有当它成功地运用数学时， 才能达到真正完善的地步。 前美国国家数学教育开发部主任戴维： 高科技实质是数学技术。
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一个国家的科学进步可以用它消耗的数学来衡量
四大数学家
阿基米德 欧 拉 牛 顿 高 斯 古希腊 瑞 士 英 国 德 国 前287--前212 1642--1727 1707--1783 1777--1855 英国诗人亚历山大•鲍勃为牛顿逝世撰写的墓志铭
自然与自然的法则潜藏在黑暗中： 上帝说，把牛顿造出来吧！ 于是一切都变得光明。
（2）素质教育 数学除了锻炼敏锐的理解力，发现真理外，
它还有另一个训练全面考查科学系统的头脑的
开发功能。 培养科学素质和理性思维 归纳思维、类比思维、发散思维、逆向思维
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五、学点数学史
1、数学萌芽时期（从远古——公元前五世纪） 算术、几何形成时期——尚未完整、严格，缺乏逻辑性 2、常量（初等）数学时期（公元前五世纪—— 17世纪中叶） 算术、初等几何、初等代数、三角学都成为分支 3、变量（高等）数学时期（ 17世纪中叶—— 19世纪中叶） 变量、函数
解析几何、微积分、概率论、射影几何
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4、近代数学时期（ 19世纪中叶——二次大战） 非欧几何、抽象代数、复变、集合论、
微分方程、微分几何、点集拓扑 …
5、现代数学时期（ 20世纪40年代以来） 原子能应用、计算机的发明、空间技术的兴起、 广义函数论、微分拓扑、模糊数学、计算数学…
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（老）教练说：
训练从今天开始，训练场上没有更 多的安慰，训练场上不存在风和日丽， 训练场上摔破头皮还要被申斥。 朋友语：既来之则安之；
抱怨解决不了任何问题； 是金子总会发光。
态度决定一切！！！
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学习要求
1、调整状态，适应新环境
自由时间多；上课时间长、进度快； 自我管理…
2、注意学习方法
高等数学
主讲：凌巍炜
江西应用技术职业学院 数学教研室 制作
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一道有意义的计算题！
• • • • • 如果令 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 分别等于百分之 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 那么 Hard work （努力工作） H+A+R+D+W+O+R+K= 8+1+18+4+23+15+18+11 = 98% Knowledge（知识） K+N+O+W+L+E+D+G+E = 11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96% Love（爱情） L+O+V+E = 12+15+22+5 = 54% Luck（好运） L+U+C+K = 12+21+3+11 = 47%
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3、第三次数学危机与集合论
罗素悖论 1902年 1918年 理发师悖论
将萨维尔村上有刮脸习惯的所有人分成两类， 一类是自己给自己刮脸的人，另一类是自己不给 自己刮脸的人。该村有一个有刮脸习惯的理发师 给自己规定：“给而且只给村子里那些自己不给 自己刮脸的人刮脸。”试问：“这个理发师属于 上述两类人中的哪一类？”（这理发师自己给自 己刮不刮脸？）
预习：重点、难点、疑点心中有数，培养自学能力
听课：积极、主动思考 记笔记：重点、疑点、应注意的问题
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学习要求
复习：1）钻进去，找问题；2）钻出来，理头绪 做作业：“眼过十遍不如手过一遍”
答疑：相互交流的好时机
总评成绩： 平时30% 考试70%（期中30%，期末70%）
不搞题海战术，要多思考，
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1
y
悬链线
o
-1 -0.5 0 0.5 1
x
1.5
因为只有这样才能使绳子的总பைடு நூலகம்能最小， 从而使绳子最稳定！
光的传播：
反射定律：
v1 v2 折射定律： sin sin
为什么？ 因为光懂得:只有这样才能使传播 时的用时最少！ 数学是什么？
领悟精神实质
犹如练拳与练功
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一、数学是什么？ 蜂巢：由一个个正六边形组成。为什么？ 因为蜜蜂懂得:只有这 样才能用最少的建筑 材料营造最大的居住 空间。
一条柔软的绳子两端固 定，使其自然下垂，这 条绳子形成什么样的曲 线？ x x a a y (e e a ) 2 h (a ) g 为什么？
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形容词“短的”是短的。 形容词“中文的”是中文的。 形容词“多音节的”是多音节的。 （这三个例子称为属于第一类的）
“长的”不是长的形容词。 “英文的”不是英文的形容词。 “单音节的”不是单音节的形容词。 （这后三个例子称为属于第二类的） 问：形容词“属于第二类的” 是属于第一类的形容词还是属于第二类的形容词？
初等数学主要采用形式逻辑的方法，静止地、 孤立地、一个一个问题进行研究； 高等数学却不然，它不是个别地讨论问题， 而是普遍地解决问题。
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小结：高数思想
问题1：求变速直线运动的瞬时速度（微观）
s 匀速直线运动： v t
匀速直线运动： S=vt
导数 微分 积分
问题2：求变速直线运动的位移问题（宏观）
（3）数学是一种工具、一种思维的工具
诺贝尔化学奖获得者哈特曼的晶体结构研究：… 哈特曼在获得诺贝尔奖后说过：“其实我这一生只学过一门 化学，那就是大学一年级时所学的的化学。” 然而哈特曼却用数学解决了困扰许多化学家40多年的难题！ 诺贝尔经济学奖获得者阿洛的一般均衡模型：… 哈佛大学的一位数学教授看了阿洛的论文后说：“他用的数
（1）上帝是按数学的法则创造世界的， 数学的规律是宇宙格局的精髓， 数学是开启宇宙奥妙之门的钥匙。 （2）数学是一种语言，是一切科学的共同语言 伽利略：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学 语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在 黑暗的迷宫里游荡，什么也看不清。” 爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了难题，他求 助于研究数学的朋友格洛斯曼，后者将黎曼关于弯 曲空间的研究工作告诉了他，才使广义相对论的研 究得以继续。
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什么能使得生活变得圆满？
是 Money（金钱）吗? ... M+O+N+E+Y = 13+15+14+5+25 = 72% 是 Leadership（领导能力）吗? ... L+E+A+D+E+R+S+H+I+P = 12+5+1+4+5+18+19+9+16 = 89% 那么，什么能使生活变成100%的圆满呢？ ATTITUDE（心态） A+T+T+I+T+U+D+E = 1+20+20+9+20+21+4+5 = 100%
高等数学 以微积分为主要内容的学科
同 济 版 的 教 材 的 基 本 结 构
高等数学
微分学
一 元 函 数 微 分 学 多 元 函 数 微 分 学
积分学
一 元 函 数 积 分 学 多 元 函 数 积 分 学
空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
无 穷 级 数
微 分 方 程
三、微积分的基本思想和方法
S曲边
1 1 1 1 lim S n lim (1 )( 2 ) . n 6 n n n 3
曲 边 问 题
在小范围内
直边问题
初 数 等 学
缩小范围直至0
取极限
近似解
极限概念是微积分的“源”！
初等数学与高等数学的区别： 研究常量 研究规则 的几何形体 研究变量 研究不规则 的几何形体
y
o
x
用小矩形面积之和代替曲边形的面积
S曲边
1 2 1 2 2 1 n1 2 1 Sn ( ) ( ) ( ) n n n n n n 1 [1 2 ( n 1) ] 3 n
2 2 2
1 ( n 1) n ( 2n 1) 1 1 1 3 (1 )( 2 ), n 6 6 n n
4.圆弧边图形（均匀弯曲）；
5.有限次四则运算。 两大分支： 1.几何学； 2.代数学。
变量数学和近代数学时期：
法国数学家Descartes引进了直角坐标系。 伟大功绩：实现了几何与代数间的一一对应。 1. 点(几何基本元素)与有序数组(代数基本元素) 的一一对应。 （静态对应） 2. 动点的轨迹(几何基本元素)与二元方程(代数基本元素) 的一一对应。 （动态对应）
Newton和Leibniz各自独立的创造了微积分 Newton应用微积分的方法证明了
Kepler行星运动三定律： 1.行星以椭圆轨道绕太阳旋转，太阳在椭圆的一个焦点上。 2.在相同的时间里，行星的向径扫过相同的面积. 3.行星公转周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方比是常数. Newton进一步指出：这些定律是能量守恒、角动能守恒 的具体表现形式。 Leibniz德国数学家,实现了微积分内容与形式的完美统一。 微积分的方法迅速的在天文学、力学、物理学和工程技术 中被广泛应用。
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2、学习高等数学（微积分）的两种用途
（1）工具——后续课程、考研 微积分对许多工程技术的重要性就象 望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样
微积分是学好其它理工课程（如大学物理、
力学、电工基础、经济学等）的基础，也是 学好专业课的工具（自动化专业的同学曾说 “到后来大家拼的是数学”）
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位的自然数
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2、严谨的逻辑性 严格性对于数学家，就如道德之对于人
3、广泛的应用性 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭
之速、 化工之巧、地球之变、生物
之谜、 日用之繁，无处不用数学。
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七、数学史中的三次数学危机
1、第一次数学危机与无理数的发现 发生在古希腊时期，毕达哥拉斯学派 基本信条：宇宙间的一切现象都能归结为 整数或整数比 希伯索斯发现等腰直角三角形斜边与一直角边之比 （正方形对角线与一边之比）不能用 所谓的整数比来表示。 限制了代数，强调几何。把代数与几何看成不相干
平均速度： V s gt 1 gt t 2 s 1 速度： v( t ) lim V lim lim ( gt gt ) gt t 0 t t 0 t 0 2
非 匀 速 问 题
在小范围内
匀速问题
初 数 等 学
缩小范围直至0
取极限
近似解
例2 计算由 y=0 , x=1 , y x 2 所围成的曲边形的面积。 将区间[0,1] n 等分，