第三章 误差传播定律的应用

σ
2 h
= S ⋅σ
2 km
取C公里观测高差的方差为单位权方差， 即 公里观测高差的方差为单位权方差，
σ
P
=
2 0
= C
σ
Cσ
2
2 km
按权的定义式，可得： 按权的定义式，可得：
hi
σ σ
2 0 2 hi
=
Siσ
km 2 km
=
C Si
第三章
误差传播定律的应用
3.4
水准测量高差的精度
例2 水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 则该水准路线 长度不应超过多少公里？ 长度不应超过多少公里？ 解：由公式： 由公式：
)
N
1 1 1 L1 + L 2 + ... + L N N N
应用协方差传播率公式得 ：
σ
2 x
=
σ
N
2
σ
x
=
σ
N
第三章
误差传播定律的应用
3.3 等精度独立观测算术平均值的精度
若取C次观测值的算术平均值为单位权观测值,即取: 若取C次观测值的算术平均值为单位权观测值,即取:
σ
2 0
=
σ
C
2
按定权公式可得算术平均值的权: 按定权公式可得算术平均值的权:
Ph =
再由权的定义式 可得
P
h
C 4 1 = = S 64 16
σ 02 = 2 σh
σh =
σ0
Ph
= 4 mm
答：64公里观测高差的中误差为4mm。 64公里观测高差的中误差为4mm。 公里观测高差的中误差为
第三章
误差传播定律的应用
3.4
水准测量高差的精度
在平坦地区测得两段观测高差及水准路线的长分别为： 例4 在平坦地区测得两段观测高差及水准路线的长分别为： h1=10.125米 S1=3.8公里 h2=-8.375米 S2=5.5公里 公里， 公里， h1=10.125米，S1=3.8公里，h2=-8.375米，S2=5.5公里，设每 一测站的观测精度相同，那么h1 h2哪一个权大 哪一个权大？ 一测站的观测精度相同，那么h1 和h2哪一个权大？哪一个精 度高？ 度高？ 解：由水准测量的定权公式知，水准测量的权与路线长 由水准测量的定权公式知， 度成反比,因为S2大于S1,所以,h1的权比h2的权大,h1精度高。 S2大于S1,所以,h1的权比h2的权大,h1精度高 度成反比,因为S2大于S1,所以,h1的权比h2的权大,h1精度高。
[W
W n
]
A (图2) 图
B
W
代入上式得： 代入上式得：
此式即为菲列罗公式
第三章
误差传播定律的应用
3.3 等精度独立观测算术平均值的精度
设L1,L2,…,Ln为一组等精度的独立观测值(方差均为σ2) , ,L 为一组等精度的独立观测值(方差均为σ 其算术平均值为 ：
1 x = N
=
(L 1
+ L 2 + ... + L N
利用误差传播定律得： 利用误差传播定律得：
m
2 hAB
= (
∂h 2 ) m ∂D
2 D
+ (
∂h 2 2 ) mα ∂α
mα
2 = ( tg α ) 2 m D + D 2 (se c α ) 4 (
ρ ''
)2
实际测量中,D的误差很小, 实际测量中,D的误差很小,第一项忽略不计 ,D的误差很小 又因为竖直角α一般较小, secα≈1 又因为竖直角α一般较小,故secα≈1，得：
1 2
倍
第三章
误差传播定律源自文库应用
设第i个三角形的闭合差为W 设第i个三角形的闭合差为Wi则：
W
i
= Ai + B i + C i − 1 8 0 o
C
的中误差均为m, m,则 的中误差为： 因Ai、Bi、Ci的中误差均为m,则Wi的中误差为：
mW =
m
3 m 即：
= ±
闭合差为真误差,则闭合差的中误差为： 闭合差为真误差 则闭合差的中误差为： 则闭合差的中误差为
Y
的中误差为： 的中误差为：
mY =
f12 m12 + f12 m12 + ... + f12 m12
第三章
误差传播定律的应用
3.2 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式) 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式)
国家二等三角网
(图1)
第三章
误差传播定律的应用
3.2 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式) 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式)
解：由公式 ：
可得
σ
N =
2 x
=
2 2 x
σ
N
2
σ σ
6 = 2
2 2
= 9
答：至少应测9测回 至少应测9
第三章
误差传播定律的应用
3.4
水准测量高差的精度
B A
h1
TP1
TP3
h2
TP2
(图3) 图
hi
hn
设水准测量中每一测站观测高差h 的精度相同， 设水准测量中每一测站观测高差hi的精度相同，其中误差 则具有N 均为 σ 站 ,则具有N个测站的水准路线的总高差为 :
Y = f1 x1 + f 2 x2 + ... + f n xn + f 0
其中 x1 , x2 ...xn 为独立的直接观测量，其中误差为 m1 , m2 ...mn 为独立的直接观测量， 则 Y 的方差为： 的方差为：
2 mY = f12 m12 + f12 m12 + ... + f12 m12
§3.1
误差传播定律的回顾
1.协方差传播率的基本公式： 1.协方差传播率的基本公式： 协方差传播率的基本公式
设随机向量X的两个函数向量为: 设随机向量X的两个函数向量为:
Y=FX+F0
其误差向量为: 其误差向量为:
Z=KX+K0 ΔZ=KΔX
XX XX
ΔY=FΔX
D D =K D D =F D D =K D
第三章
误差传播定律的应用
3.5 三角高程测量高差的精度
Dtanα α v B hAB HB A HA D 大地水准面 (图4) 图
α
i
三角高程测量的基本公式为： 三角高程测量的基本公式为：
h A B = D tg α + i − v
第三章
误差传播定律的应用
3.5 三角高程测量高差的精度
h A B = D tg α + i − v
h = h 1 + h 2 + ... + h N
第三章
误差传播定律的应用
3.4
应用协方差传播公式可得 水准测量高差的精度
应用协方差传播率公式得 ：
σ
2 h
=σ
2 h1
+σ
2 h2
+L +σ
2
2 hn
= Nσ
2 站
取C个测站的观测高差的方差为单位权方差，即: 个测站的观测高差的方差为单位权方差，
σ
P
X
=
σ σ
2 0 2 X
=
σ c σ n
2 2
=
i
ni
c
上式说明，算术平均值的权与观测次数成正比。 上式说明，算术平均值的权与观测次数成正比。
第三章
误差传播定律的应用
3.3 等精度独立观测算术平均值的精度
已知某台经纬仪一测回的测角中误差为± 例1 已知某台经纬仪一测回的测角中误差为±6"，如果要使 各测回的平均值的中误差不超过±2"，则至少应测多少测回？ 各测回的平均值的中误差不超过±2"，则至少应测多少测回？
σ
可得： 可得：
2 h
= S ⋅σ
2 km
2 σh 60 2 S = 2 = 2 = 36 σ km 10
答：该水准路线长度不应超过36公里。 该水准路线长度不应超过36公里。 36公里
第三章
误差传播定律的应用
3.4
水准测量高差的精度
在相同观测条件下进行的四等水准测量中，设以4 例3 在相同观测条件下进行的四等水准测量中，设以4公里 的观测高差为单位权观测高差，已知单位权中误差为±1mm， 的观测高差为单位权观测高差，已知单位权中误差为±1mm，则64 公里观测高差的中误差等于多少？ 公里观测高差的中误差等于多少？ 1mm，S=64公里 公里， 解：根据题意知，C=4公里，σ0 = ±1mm，S=64公里，由水准 根据题意知， =4公里， 公里 测量的定权公式求64 64公里观测高差的权 测量的定权公式求64公里观测高差的权
m
2 hAB
= D
2
(
m
ρ
α
''
)2
m
h
A B
=
D
m
ρ
α
''
第三章
误差传播定律的应用
3.5 三角高程测量高差的精度
m
h
A B
=
D
m
ρ
α
''
注意： 注意：
1. 此公式仅表示单向观测高差的中误差公式。单向高差中误差 此公式仅表示单向观测高差的中误差公式。 等于竖直角的中误差乘以两点间的距离。 等于竖直角的中误差乘以两点间的距离。 2. 当竖直角观测精度一定时，高差中误差与距成正比。 当竖直角观测精度一定时，高差中误差与距成正比。 3. 若对向观测时，高差中误差应为上式结果的 若对向观测时，
第三章
误差传播定律的应用
第三章 误差传播定律的应用
湖南城市学院
市政与测绘工程学院 曹元志 讲师
第三章
误差传播定律的应用
本章主要内容
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 误差传播定律的回顾 菲列罗公式 算术平均值的精度 水准测量高差的精度 三角高程测量高差的精度
第三章
误差传播定律的应用
ZZ YZ ZY
随机向量与其函数向量间的方差传递公式为：
DYY = F
XX XX
F K K F
T T T T
第三章
误差传播定律的应用
§3.1
误差传播定律的回顾
2.线性函数的误差传播公式： 2.线性函数的误差传播公式： 线性函数的误差传播公式
设线性函数为： 设线性函数为：
Ph i
2 0
= Cσ 站
按权的定义式，可得： 按权的定义式，可得：
2 C ⋅σ 站 σ 02 C = = = 2 σ h2 N i ⋅σ 站 Ni
i
第三章
误差传播定律的应用
3.4
水准测量高差的精度
在平坦地区的水准测量中, 每公里的测站数大致相等。 在平坦地区的水准测量中, 每公里的测站数大致相等。因 2 每公里观测高差的方差相等, 此, 每公里观测高差的方差相等, 设其均为 σ km 则S公里观测高 差的方差为 差的方差为：