立体几何(理)习题精选精讲

应用法向量解决有关立体几何问题

前面我们学习了用向量解决立体几何的有关问题，可以看出，用向量求两条异面直线所成的角，证明两条直线平行、垂直等问题时，有不可比拟的优越性，但在求异面直线间的距离，平行平面间的距离，直线与平面所成的角，二面角等问题时却显得捉襟见肘，故而我们引入法向量来解决此类问题。 所谓法向量，指与向量或平面垂直的的向量。 即：的法向量叫，则若a n a n

⊥的法向量叫，则若ααn n

⊥

一、 用法向量求异面直线间的距离

如图，a 、b 为异面直线，E 、F 为异面直线上任意的两点，n

为a 、b 的公共法

向量，则a 、b 间

的距离为

d = 例1、 如图，已知ABCD 是正方形，ABCD PD 面⊥，

PD=AB=1，E 、E 分别是PB 、PD 中点，求异面直线AF 与CE 间的距离。

解析：如图建立空间直角坐标系，则：A （1，0，0），B （1，1，

0），C

（0，1，0），P （0，0，1），E

)21,21,21(，F )2

1,0,0( )21,21,21(-=AE ，)21

,1,0(-=CF ，又设AE ，CF 的公

垂线

的方向向量为),,(z y x n =

，则：

2

10

21

2121=+-=∙=++-=∙z y n z y x AE n

⇒

x z y x 23==)

2,1,3

()2,,3(1

−−→−=∴=y y y y n 令

714

)0,21,21()2,1,3(14

1=∙==∴d 间的距离与 二、 用法向量求点到直线的距离

如图，E 为面α外任意的一点，F 为α内任意一点，n

为的法向量，则，E 到平面的距离为

d =

例2、如图，ABCD 为边长为4的正方形，GC ⊥平面ABCD ，GC=2，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，求点P 到平面EFG 的距离.

解析：如图建立空间直角坐标系，则：A （4，4，0），B （0，4，0），D （4，0，0），E （4，2，0），F （2，4，0），G （0，0，2）。 设平面EFG

的一个法向量为n

=（x,y,z ），则：0

)2,4,2(),,(0)0,2,2(),,=-∙=∙=-∙=∙z y x n z y x n

（⇒

z

y

z y x 3==

)3,1,1()3,,(1

−−→−=∴=y y y y n 令

11112)0,0,2()3,1,1(11

1=∙==∴d EFG B 的距离到平面点 （直线与平面的距离及平面与平面间的距离类同与点到平面的距离，请读者自己验证，这里不再赘述）

三、 用法向量求直线与平面所成的角

如图，直线EF 交平面α于F ，n

为的一个法向量，则直线EF 与平面α

所成的角为

n -=

2

π

θ

例3、如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，3,1,61===

AD AA AB ，E 、F 分别是AB ，

C 1

D 1的中点，求：（1）、A 1B 1与面A 1EF 所成的角。（2）、B C 1到面A 1EF 的距离 。 解：如图建立空间直角坐标系，则，A （

3，0，0）

，C （0，6，0），B （3，6，0），C 1（0，

6，0）

，D 1（0，0，1），A 1（3，0，1），E （3，2

6

，0），F （0，

2

6

，1）。

（1）、设平面

A 1EF

的一个法向量为

n

=（x,y,z ），则：

0)1,2

6

,

0(),,(0)1,0,3(),,1=-∙=∙=-∙=∙z y x E A n z y x EF n

（)3,2

,1()3,2,(1−−→−=∴=x x x x n 令 ，故3

36

6120cos =

⨯+=n ，因此，A 1B 1与面A 1EF 所成的角为

3

3

arccos

2

-π

。

用向量法研究立体几何问题

1.1、用传统方法解决立体几何问题与用向量法解决立体几何问题之比较

用传统方法解决立体几何问题，通常都必须添加辅助线，并且要经过各种手段进行转化，它具有较大的灵活性，学生掌握起来比较困难。空间向量的引入，给传统的立体几何内容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性，是数形结合的一个很好的桥梁。而空间向量是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，为学生处理某些立体几何问题提供了的新视角。借助空间向量这一工具，可以降低思维难度，增加了可操作性，从而减轻了学生负担，使他们对立体几何更容易产生兴趣。下面举例说明： 例 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，E 、F

分别是BB 1、CD 的中点. (I)求AE 与D 1F 所成的角 (II)证明面AED ⊥面A 1FD 1

解: (I)取AB 中点G,连结A 1G,FG. 因为F 是CD 的中点,所以GF 、AD 平行且相等, 又A 1D 1、AD 平行且相等,所以GF 、A 1D 1平行且相等, 故GFD 1A 1是平行四边形,A 1G∥D 1F.

A 1

C 1

D

A