电路方程的矩阵形式内容总结

第14章 网络方程的矩阵形式

14-1 图14-1所示图G 的关联矩阵A 。

图14-1

解

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A =------⎡⎣⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎤⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥12345111

00000000

1

1

1

000

000011110010010001

0010010

14-2 已知图G 的关联矩阵如下，画出图G 。

解

()1)

5

图14-3

14-3 图14-3所示电路的图中，可写出独立的KCL 、KVL 方程数分别是几个？ 解 4个，3个；

14-4 含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。

电路如图14-4（a ）所示，图中元件的下标代表支路编号，图14-4（b ）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。

图14-4（a）图14-4（b）解由图14-4（b）得节点关联矩阵A,

节点电压的列向量，

支路电流的列向量，

支路电压的列向量，

支路导纳矩阵，

节点导纳矩阵，

结点电压方程的矩阵形式为：

14-5对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。电路如图14-5（a）所示，以为状态变量，列出电路的状态方程。

图14-5（a）图14-5（b）解方法1直观法

KVL：

KCL ：

；

消去：；；

代入上式：

然后整理成矩阵形式（略）。

方法2系统法

选图（b）中支路1 、 3 、 4 、 6 为树支

含电感单连支回路的KVL ：

含电容单树支割集的KCL ：

14-6求图14-6所示电路的状态方程。

解设u c ,i1，i2为状态变量

其中：

从以上方程中消去非状态量，得：

写成矩阵形式：

14-7 有向图G 如图所示，以结点5为参考点，列出其关联矩阵A ；若取树（4,6, 9,10）列出基本回路矩阵f B 和基本割集矩阵f Q 。

解

111100100002010100-1001A=300000-11-11040

0101

011-⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪

⎪

----⎝⎭

f 1000000

1

1

101000011110010000110B 00010010010000100011000001

1011-⎛⎫ ⎪

-- ⎪ ⎪

--=

⎪

-- ⎪ ⎪

- ⎪

⎪--⎝

⎭

题

14-7图

题14-6图

4010101100061110000100911101100101011

0111000

1f Q -⎛⎫

⎪- ⎪=

⎪--

⎪-⎝⎭

14-8 已知某网络的某一指定树的基本割集矩阵

123456

011100111010101001f Q -⎛⎫ ⎪=- ⎪

⎪⎝⎭ （1) 写出同一树的基本回路矩阵

f

Q

（2）绘出原网络的有向拓扑图，指出上述树支。

（3）写出该有向图的全阶关联矩阵A.

解 （1)基本回路矩阵

100011010110001111f Q --⎛⎫ ⎪=- ⎪

⎪--⎝⎭

（2）有向拓扑图如图所示。 （3）全阶关联矩阵

1100110210100130100114011100A ⎛⎫ ⎪--- ⎪=

⎪- ⎪--⎝⎭

14-9 已知平面网络N 的有向图G 的关联矩阵为

1110000

021000100300111004000101

1A ⎛⎫ ⎪- ⎪=

⎪-- ⎪--⎝⎭

(1)绘出A 对应的有向图G;(2)选取树T （1,2,3,4）列出相应的f B 和f Q 。

解 （1）有向图如图所示

（从关联矩阵可以看出，图中应有5个结点，7条支路，与第5个结点相连的应有2（流进）、3流出、6（流出）、7（流进））

（2）基本回路矩阵f B

题14-8图 有向拓扑图

题14-9有向图

510011106010001170010011f B --⎛⎫ ⎪=-- ⎪

⎪⎝⎭

1、2、3、4为树支，5、6、7为连支，单连支回路5（1、2、3、5）、6（3、4、6）、7（3、4、7）以

连支方向为回路绕行方向。

基本割集矩阵f Q

1100

100021000100311100104011000

1f Q -⎛⎫ ⎪ ⎪=

⎪- ⎪-⎝⎭

基本割集矩阵，割集1（1、5）、2（2、5)、3（3、5、6、7）、4（4、6、7）。以树支方向为割集方向。 14-10 已知某有向图的基本回路矩阵

100110101000110010110f B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪

⎪⎝⎭

列出该有向图G 的全阶关联矩阵和对应同一树的基本割集矩

阵。

解 从基本回路矩阵可以看出，以连支1、2、3组成单连支回路。回路1（1、4、5、7）、2（2、6、7）、3（3、5、6）。可得有向图。根据有向图可得全阶关联矩阵A 。

1100000

1210

0100030

0111004000011150

1

10010A -⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪

=-- ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

1、2、3为连支，则4、5、6、7为树支。基本割集矩阵，割集4（1、4)、5（1、3、5)、6（2、3、6)、7（1、2、7）。树支4、5、6、7在前，连支1、2、3在后。

41

000100501001016001001170

0011

10f Q -⎛⎫

⎪- ⎪=

⎪

- ⎪-⎝⎭

14-11 列写图示电路以

2C u 、3C u 、4L i 、5

L i 为状态变量的状态方程的矩阵形式和以1u 和3C i 为

输出为变量的输出方程。已知

11R =Ω,22C F =,33C F =,44L H =,55L H =.

解 以电压源、电容为树。

题14-11图

题14-10有向图