2016.统计学复习-极限定理

极限定理

抽样推断理论基础：大数定律与中心极限定理

一．本节解决的问题：

Q1:何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？大数定理

Q2:为何能以样本均值作为总体期望的估计？频率估计概率。

样本均值估计总体期望

Q3:为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？中心极限定理

Q4:大样本统计推断的理论基础是什么？正态分布与概率论

大样本推断基础

二．大数定理

指的是大量随机变量的平均结果具有稳定性的一系列定理的总称

1.贝努里大数定理

这一定理表明，当试验在不变的条件下重复进行很多次时，随机事件出现的频率在它的概率附近摆动；只要试验次数n足够大，事件出现的频率就趋于其概率。

说明三个维度：

一维：贝努里大数定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件的概率P,即随着样本容量的增加，样本成数或比率将以接近1的概率，接近总体成数或比率。

二维：回答Q1

三维：点估计原理（用样本统计量的某个取值直接估计总体的估计值。）

2.契比雪夫大数定理

说明三个维度：

一维：契比雪夫大数定理的含义，随着样本容量的增加，样本平均数将以接近1的概率接近总体平均数或总体数学期望，即大量随机变量平均的结果具有稳定性。

二维：回答Q2

三维：点估计原理

3.大数定理在抽样调查中的作用：

当观察次数很大时，样本平均数（或频率）就逐渐趋于某个常数，所以大数定理在抽样调查中有着重要作用。

（1）为抽样调查奠定了理论基础。随机变量总体的平均数往往是未知的，我们可以从这个总体中抽取少量单位作为样本，计算平均数，推断总体平均数。

（2）是我们通过偶然现象揭示必然性、规律性的工具。使我们可以抽取某个随机样本来科学地推断总体全貌，指导抽样调查工作。

三．中心极限定理：

是指随机变量系列的极限分布逐渐近于正态分布的一系列定理的总称

1.独立同分布中心极限定理

告诉我们无论服从何分布，当样本容量足够大时样本平均数近似服从如下正态分布：

2.二次分布中心极限定理

当n 时，样本成数趋于总体成数为P,方差为的正态分布。

3.中心极限定理在抽样调查中的作用

（1）确定了样本推断总体的可能性。中心极限定理说明样本平均数的分布可以近似地看做总体平均数为其期望值，以为其均方差的正态分布。无论总体是否服从何种分布，当观察值足够多时，其均值就趋于正态分布。

（2）确定了样本平均数与总体平均数之差的可能范围，用样本平均数推断总体平均数，总是存在一定的误差，但通过中心极限定理可以确定抽样极限误差在确定范围内的概率保证程度。

（3）确定了样本标准差替代总体标准差的可能性。抽样误差公式中的是总体标准差，中心极限定理证明了样本的单位数充分大时，可以用样本标准差替代总体标准差。