量子力学第十一章优秀课件

其中一级修正为：am (1)
1 i
0t Hm k(t)eimktdt
3.二级近似 将一级近似an(t)an (0)(t)an (1)(t)代入(A)的右边
a m ( t) a m (0 ) i1n0 t[a n (0 )( t) a n ( 1 )( t) ]H m n ( t)e i m n td t
n
n
可见，在微扰作用下，粒子从纯态 k (r )变化
到叠加态，即粒子在t 时刻处于 (r,t)，
粒子在t时刻可能处于态 1 ，或 2 ，或……
对应的几率 a 1 ( t ) 2，a 2 ( t ) 2， ……
或者说，粒子从 k 跃迁到 1 ， 2 ， ……
跃迁几率 a 1 ( t ) 2，a 2 ( t ) 2， ……
2 sin2
2 2 mk
mk t
2
随着t的增大，曲线
迅速变窄增高，疑 似δ函数
t
2 2
s in 2 m kt 2
( mk )2 2
t t2 2t1
t
2 1
t1
0
2 t2
2 t1
mk
sin2xg
lim
g
x2g
x
4H m k2sin2
W k m (t)
22
m kt 2 t 22 tH m k2
与薛定谔方程等价 为后面叙述方便， 四、an (t)的近似求解 称其为方程(A)
采用微扰法的思想——逐次逼近来求解。
1.零级近似 a n(t)a n (0 )(t)a n(0 )n k
( r ,t)( 0 )( r ,t) k ( r ) e iE ik Et/kt /
零级近似是H ˆ 0 的本征解。
量子力学第十一章
一、问题的提出
t 0 : 粒子Hamiltonian Hˆ 0 , H ˆ0n(r)Enn(r),
定态波函数 n (r,t)n (r)e iE n t/
设粒子处于定态 k ( r ) t 0 : 粒子受到微扰 Hˆ (t)的作用，H ˆ(t)H ˆ0H ˆ(t)
粒子的状态变化否？如何变化? 运动是没有原因的，但运动的改变是有原因的
隔d w 为 d2 Em内H m 的k2 末态E m 的 E 跃k迁速E m 率d ：E m
态密度：单 位能量间隔 内的状态数
总的跃迁速率 w 2 H m k2E m E kE m d E m
w2Hm k 2Ek——费米黄金规则
跃迁几率与态密度成正比。
§11.3周期微扰 共振吸收与共振发射
一、周期微扰 H ˆ(t) H 0 ˆ,(t)H ˆ(tT),tt 0 0
二、状态变化与跃迁
t 0 时，要知道系统的状态，需求解含时间的 薛定谔方程：
i (r,t)Hˆ(t)(r,t) (rt,0)k(r)
一般不能通过时空 变量分离来求解
n(r)完备
瞬时本征值和本征态
( r ,t ) b n ( t )n ( r ) a n ( t ) e i E n t/ n ( r )
n
方程左乘
m* (r)后做全空n 间积分
i dam (t)e iE nt/ dt
an(t)H m n(t)e iE nt/
n
其中Hm n(t)mH ˆ(t)n , 记 mn(EmEn)/
i
dam(t) dt
n
an(t)Hm n(t)eimnt
am(0)mk
i (r,t)Hˆ(t)(r,t) (rt,0)k(r)
m k
m k
跃迁速率 w k m (t)2 H m k2 E mE k
在常微扰作用下，只有当末态能量 Em Ek (初 态能量)的情况下，才有可观的跃迁发生。
(EmEk)是常微扰作用下体系能量守恒的反映。 具有连续能谱的粒子的弹性散射属于这种情况。
二、费米黄金规则
初态 k , t 0时受常微扰Hˆ 作用跃迁到能量间
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.一级近似
将零级近似 an(t)an(0)(t)代入(A)的右边
dam(t)1
dt i n
an (0)(t)Hm n(t)eim nt
a m (t) a m (0 ) i1n 0 ta n (0 )(t)H m n(t)e i m n td t
1 i
0t Hm k(t)eimktdt
a m ( t ) 的一级近似：am(t)am (0)(t)am (1)(t),
跃迁速率: wkm(t)dWkdtm(t)
§11.2 常微扰 黄金规则
一、常微扰作用下的跃迁几率和跃迁速率
常微扰
Hˆ (t)
0, Hˆ ,
t 0 t 0
跃迁几率
e i m k t
W k m (t)1 2 0 tH m ke i m ktd t2H m 2 k2
te i m ktd t2
0
4
H m k
三、解Schro dinger方程转化为求a n ( t ) 将(r,t)的展开式代入Schro dinger方程
i d a n (t)e iE n t/ n d t
n (r)E n a n (t)e iE n t/
n
n (r)
an(t)eiEnt/ H ˆ0 n(r) an(t)eiEnt/ H ˆ(t)n(r)
e iE k t/ k (r )a m ( 1 )( t) e iE m t/ m (r )
m
在 Hˆ ( t )作用下，粒子由纯态 k (r ) 变化为 (r ,t)
其中处于 m (r )的几率
a (1) m
(t
)
2
。
跃迁几率：W k m (t)a m (1 )(t)21 2 0 tH m k(t)ei m n td t2
得二级近似：a m (t) a m (0 )(t) a m (1 )(t) a m (2 )(t)
其中二级修正：
am (2)(t)i1n 0 tan(1)(t)H m n(t)eim ntdt
五、跃迁几率与跃迁速率
一级近似下 : (r,t) a m (t)e iE m t/ m (r)
m
Em Ek 时， mk 0 。若 mk，则
例如 Hˆ ( t ) Fˆ(r)costFˆ(r)(eit eit) 比如单色光
2
e 跃迁几率 Wkm(t)12 0tmkeitdt2 i(mk )t
Fmk2 42
(e t i(mk)t
2
ei(mk)t)dt
0
Fmk 2
ei(mk)t
1ei(mk)t
2
1
42 mk mk
二、共振跃迁
1.共振吸收（受激吸收末）态能量大于初态能量