尖子生培优 实数及其运算讲义及答案
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实数及其运算培优
知识导引
1、实数的有关概念
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数0 整数和分数统称为有理数，；无限不循环的小数叫无理数；有理数和无理数统称为实数． 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；倒数：乘积为1的两个数互为倒数；绝对值：在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离．
2、实数的运算
实数的运算法则同有理数一样；运算顺序：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，右括号的先算括号里的数；运算律：加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、分配律．
3、整数部分、小数部分
在日常生活与生产实际中，有时并不要求某个量或某个结果的准确值，而只需要取出它的整数部分，由此定义了一种叫做“取整”的运算，即取出不超过实数x 的最大整数，记为
[x ] ．在数轴上就是取出实数x 对应点左边最近的整数点（包括x 本身）．这里[x ]＝x －a ，
[x ] ＋a ＝x ，其中[x ]是一个整数，a 是0或者一个正的纯小数．a 称为实数的小数部分，记为{x }，通常有x ＝[x ] ＋{x }．
关于取整运算常用的一些性质：
（1）x －1＜[x ]≤x ，[x ]≤x ＜[x ]＋1；
（2）如果x ≤y ，那么[x ]≤[y ]；
（3）[x ] ＋[y ] ≤[x ＋y ]，{x }＋{x }≥{x ＋y }．
4、课题学习
对实数部分课题学习的考查，主要以规律探索、阅读理解、定义新运算等形式呈现． 典例精析
例1：在数0.456，π-，3.14，7-
，0，0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），4，－1，
117中，无理数有 个．
例2：计算：（1）103)21()2008(8-+--π （2）
20)23(2510+--+
例3：现规定一种新的运算“*”，b a b a =*，如93232==*，则
321*＝ ．
例3—1：规定运算：b a b a -=*)(，其中a 、b 为实数，则7)37(+*＝ ．
例3—2：定义运算“※”为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）．（1）求5※7和7※5；（2）求12※（3※4）和（12※3）※4；（3）这个运算“※”有交换律和结合律吗？
例4：若实数x 、y 满足0)3(22=-++y x ，则22)(y x +-的值是 ．
例4—1：若x 、y 为实数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为（ ）
A 、0
B 、
21 C 、2 D 、不能确定
例5：若
731-的整数部分是a ，小数部分是b ，求ab a )71(2++的值．
探究活动
例：数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：12++b a ．例如把（3，－2）放入其中，就会得到81)2(32=+-+．现将实数对（－2，
3）放入其中得到实数m ，再将实数对（m ，1）放入其中后，得到的实数是 ．
学力训练 A 组 务实基础 1、化简311--的结果是（ ）
A 、3-
B 、32-
C 、3
D 、32+
2、下列说法中，正确的个数有（ ）
①一个实数的平方根有两个，它们互为相反数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③负数没有立方根；④立方根是这个数本身的数共有三个；⑤平方根等于其本身的数是0和1．
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
3、若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ） A 、a ≥0 B、a ≤0 C 、a ＝0 D 、a ≠0
4、数轴上两点A ，B 分别表示实数32和632+，则这两个点的距离是（ ）
A 、634+
B 、34
C 、6
D 、634-
5、（1）把下列各数填入相应的集合中．
0.456，2
3π-，0)(π-，3.14，－0.80108，0，0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），4，－1．
（2）任意写出3个无理数： ．
（3）下面给出四种说法：①无限小数都是无理数；②有限小数都是有理数；③无理数是无限小数；④有理数是有限小数．其中正确的说法是： （写出序号）．
6、（1）2-的相反数是 ，绝对值是 ；
（2）比较大小：3.14 π，2- 2