最新数学归纳法练习题

精品文档
2.3数学归纳法
第1课时数学归纳法
n2＋1对于n≥>nn的自然数n1．用数学归纳法证明“2都成立”时，第一步证0明中的起始值n应取0()．
A．2 B．3 C．5 D．6
n252＋132>55时，2＝时2＝>n1＋不成立，当n＝n解析当取1、2、3、4n2＋1的nn值为5，故选26，第一个能使2C. >答案C
?n＋3??n＋4?(n∈N3)＝)，验证n2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋2＋1时，左边应取的项是＝．() ＋2 B A．1 ．14
3＋D2C．1＋＋3 ．1＋2＋解析等式左边的数是从1加到n＋3.
当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.
答案D
111(n∈N)，那么f(n＋＋＋＋…＋1)－f(n)等于13．设f(n)＝32＋1－3n()．
111 B. A.＋n31＋23n3n＋11111D.＋＋ C. ＋
n323n＋＋＋3n＋13n123n111解析∵f(n)＝，1＋＋＋…＋321n3－111111＋＋＋＋＋＋…＋，11)nf∵(＋＝
n3321n31n3＋32＋－n精品文档．
精品文档
111. ＋＋(n)＝∴f(n＋1)－f n32＋13n3n＋D
答案
4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…2，则当n＝k＋1时，表达式为(k＋1)________．＋k(3k＋1)＝k2＋2)＋1)(k1)(3k ＋4)＝(k＋…＋4＋2×7k(3k＋1)＋(k＋答案1×5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
答案π
6．用数学归纳法证明：
111111＋＋…＋＝＋＋…＋. n＋2＋n1n?2n－1?·2＋n1×32×n4111＝，右边＝1n＝时，左边＝，等式成立．证明(1)当222×1*)时，等式成立，即N ＝k(k∈(2)假设当n111111＋＋…＋＝＋＋…＋. k22k＋kk＋2k
－1?·21×23×14?则当n＝k＋1时，
1111＋＋…＋＋?＋2??2kk?2k＋1
×123×24?k－1?·21111＝＋＋…＋＋
k2?22k＋?2k＋k＋11k＋??2111111??－??＋＋＋…＋＋＝
22k＋k1＋2k21＋32k＋k＋k??11111＋＋…＋＋＋＝
k22k＋1k＋232kk＋＋21111＋＋…＋＋.即当n＝＝k ＋1时，?1k＋?＋＋k?k＋1?111?k＋?＋1?k＋?＋2?k＋?等式成立．
*，等式成立．∈N(1)(2)根据可知，对一切n**)时命题成立，则有n＝k∈(＝在∈)((若命题7．AnnN)n kk N＋1时命题成立．现精品文档．
精品文档
*)时命题成立，则有n∈N知命题对n＝n(00()．
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n的正整数不成立，对大于或等于n的正整数都成立00C．命题对小于n的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n的正整数都00成立D．以上说法都不正确
*)时命题成立，则有n＝n N＋1时命题成立；在n(解析由已知得n＝nn∈000＝n ＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n＋1)＋1时命题也成立，依此00类推，可知选C.
答案C
n*)，从∈N(2n－1)()＝2n·1·3·…·3)8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋…(n＋nn＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为
()．
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
2k2k＋1＋3D. C. 1kk＋＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k ＋1)，故选B.
答案B
2＋n＋1(n∈N)的过程中的错误：9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n＋2＋k＋k＝
1，那么2N)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝证明假设当n k(k∈＋22＋(k＋1)＋1，即当n＝kkk1＋k＋＋2(k＋1)＝(＋1)＋k＋4＋…＋2＋2(k1)＝＋1时等式也成
立．因此对于任何n∈N等式都成立．__________________. ＋答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立
n12－＋n)时，从n＝k＝n＋1)(2＋2)(33)…(＋n)2到n·(n＋用数学归纳法证明10．(1＝k＋1左边需要添加的因式是________．
解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，
精品文档．
精品文档
当n＝k＋1时，
左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，
由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)．
答案2k＋2
11．用数学归纳法证明
n?n＋1??2n＋1?*222＝(n∈N)1．＋2 ＋…＋n62＝1，1时，左边＝1 证明(1)当n＝1×?1＋1?×?2×1＋1?＝1，右边＝
6等式成立．
*)时等式成立，即k∈N(2)假设当n＝k(k?k＋1??2k＋1?222＝＋…＋1k＋2
6那么，
2222 1)(k＋…＋k＋1＋＋2k?k＋1??2k＋1?2＝＋(k＋1) 62?＋1＋?6?k?k＋1??2k＋1k＝62＋7k＋6????k＋12k＝
6?k＋1??k＋2??2k＋3?＝6?k＋1?[?k＋1?＋1][2?k＋1?＋1]，＝ 6
＋1时等式也成立．＝即当n k*根据(1)N都成立．∈和(2)，可知等式对任何n
1*，用已知正数数列创新拓展．12(){＝S2，且S项和为中，前)∈n}(a N n＋a n nnnn a 精品文档．
精品文档1. －nna数学归纳法证明：－＝n
当n时．＝1证明(1)11??＋a?? a＝S＝，111a2??1
2>0)，∴a＝1(a n1
，＝∴a＝11，又1－01
时，结论成立．＝1∴n* )假设(2)n＝k(k∈N时，结论成立，1. －k即a＝k－k ＋1时，当n＝k
－Sa＝S k1k1k＋＋
1111????＋a＋a????＝－1k k＋aa22????k1k＋11??11??＋k－k－1＋a????－＝1k＋a221k－k－????1k＋
11??＋a??－＝k1k＋a2??1k＋2 >0)，1－k(a＝a1∴a－＋2k a＝0，解得k＋
n k1k11k＋＋＋n＝k＋1时，结论成立．∴
*都有a＝n－n∈可知，对由(1)(2)n N－1. n
精品文档．。