地理信息系统下的空间分析-第七章_三维数据的空间分析方法
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式中，Di表示第i（1 i 3）对三角形顶点之间的表面
距离，S表示三角形的表面积，P表示三角形周长的一半。
7.2 体积计算
体积通常是指空间曲面与基准平面之间的空间的体积。
基准平面一般是水平面，基准平面的高度不同，计算出 的空间曲面的体积就不同，
当高度上升时，空间曲面的高度可能低于基准平面，此 时出现负的体积。
)1/
2
dxdy
A
一般地说，上式无法直接计算，常用的方法是近似计算。
积分的近似计算方法很多(有关计算方法的著作对此都有详细
全面的讨论)，比较常用的方法是抛物线求积方法，亦称辛卜
生方法（Simpson），
该方法的基本思想是：先用二次抛物面逼近面积计算函数， 进而将抛物面的表面积计算转换为函数值计算。
2、分解为三角形的计算方法 将正方形格网DEM的每个格网分解为三角形，利用计 算三角形的表面积的海伦公式分别计算分解的每个三角形 的面积，然后累加得到正方形格网DEM的面积。 计算公式如下：
7.3.2 基于格网数据单元的坡度计算 单独一个点上的坡度并无多大用处，通常总是计算基
本格网单元上的平均坡度。
平均坡度的计算可以通过计算若干点位上的坡度，然 后取其平均值。
但更常用的方法是在基本格网单元上用最小二乘逼近 的方法拟合一个平面，然后计算其平均坡度。
（1）三角形格网 在三角形格网上，最小二乘逼近的平面与插值方法的
P (a b c) / 2
其中，a，b，c的长度是根据数据点 P1，P2，P3的高程值h1，h2，h3以及
△， P1 P2 P3的边长a ' ，b '，c'计算得到。
，
a (a'2 (h1 h2 )2 )1/ 2
b (b'2 (h2 h3 )2 )1/ 2
c (c'2 (h3 h1 ) 2 )1/ 2
7.1.2 正方形格网上表面积的计算
1、曲面拟合重积分计算法
正方形格网上的曲面片表面积的计算问题要复杂得多， 正方形格网上最简单的曲面模型为双线性多项式，其拟合 面是一曲面，无法以简单的公式计算其曲面积。
根据数学分析，某定义域A上，空间单值曲面的面积由
以下重积分计算： S
(1
f
2 x
f
2 y
7.3.1 单个点的坡度计算
空间曲面的坡度是点位的函数，除非曲面是一平面， 否则曲面上不同位置的坡度是不相等的，
给定点位的坡度是曲面上该点的法线方向N与垂直方 向Z之间的夹角a，如图所示。
由数学分析知，对于曲面上给定点（x0，y0，z0）的切 平面方程为：
f x (x0 , y0 )( x x0 ) f y (x0 , y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0
2 x
(
x0
,
y0
)
f
2 y
(x0
,
y0
)
1)
1/
2
由坡度的概念知0°≦a≦90°，故由上式比较容易确 定坡度值。
对于特殊的应用场合，例如对于Z=a0+ a1x+ a2y(三角形 格网上的曲面拟合)，其三角形格网单元上的曲面为一平 面，平面上的坡度处处相等，
可以直接计算如下：
a arccos(a12 a22 1)1/ 2
1、基于三角形格网的体积计算 三角形格网的基本格网的体积计算方法如下：
V S A (h1 h2 h3 ) / 3
其中，SA是基底格网三角形A的面积。如图(a)所示。
2、基于正方形格网的体积计算
正方形格网的基本格网的体积计算方法如下：
V S A (h1 h2 h3 h4 ) / 4 (7.11)
该点的法线方程为：
f
1 x
(
x0
,
y0 )(x
x0 )
f
1 y
(x0
,
y0 )(y
y0 )
(z
z0 )
，
其方向数为f x (x0 , y0 ) ，f y (x0 , y0 ) 和－1，垂直方向Z的方 向数为0，0，1，则Biblioteka ： cosa 1f
2 x
( x0
,
y0
)
f
2 y
( x0
,
y0
)
1
a
arc
cos(f
第七章 三维空间分析
主要内容：
1、表面积计算 2、体积计算 3、坡度、坡向计算 4、剖面分析 5、可视性分析 6、水文分析
7.1 三角形格网上的表面积计算
基于三角形格网的曲面插值一般使用一次多项式模型 (Z=a0+a1X+a2Y），计算三角格网上的曲面片的面积时， 首先将其转换成平面片，然后通过计算平面片的面积来计 算曲面片的面积。
平面是一致的，因为已知数据点与平面方程的待定系数个 数相等。
例如，如果用Z=a0+ a1x+ a2y来拟合三角形格网上的曲 面，坡度可以直接利用如下公式计算：
a
arccos(a12
a
2 2
1) 1/ 2
（2）正方形格网
对于正方形格网单元，平面拟合采用最小二乘逼近方 法。
在计算坡度时，如果在3*3的DEM网格窗口进行，窗 口在DEM数据矩阵中连续移动，然后完成整幅图的计算 工作。
在对地形数据的处理中， 当体积为正时，工程中称 之为“挖方”，体积为负 时，称之为“填方”，
图中的阴影部分为“填 方”。
体积的计算通常也是近似方法。由于空间曲面的表 示方法不同，近似计算的方法也不一样。
以下分别给出基于三角形格网和正方形格网的体 积计算方法。
其基本思想均是：基底面积(三角形或正方形)乘以 格网点曲面高度的均值，区域总体积是这些基本格网 体积之和。
其中，SA是基底格网正方形A的面积。如图(b)所示。
7.3 坡度计算
如果打算在山上建造一座房子，那就首先想知道哪里 是比较平坦的地方；如果要设计滑雪娱乐场，并且要把它 建在不同的坡度上。对于这些问题都需要考虑坡度。
坡度是地形描述中常用的参数，是一个具有方向与大 小的矢量。
作为地形的一个特征信息，坡度能间接表示地形的起 伏形态，在农业、交通、规划以及各类工程中有着很大的 用途，如，在农业土地开发中，坡度大于25°的土地一般 被认为是不宜开发的。
如图所示，P1 P2 P3构成的三角形上的曲面片，P1’ P2’ P3’ 为使用一次多项式模型拟合得到的平面片，计算曲面片的 面积其实是计算拟合后的平面片的面积，利用海伦公式计 算面积，公式如下：
S [P(P a)(P b)(P c)]1/ 2
P (a b c) / 2
S [P(P a)(P b)(P c)]1/ 2
tan( ) [( z )2 ( z )2 ]1/ 2
距离，S表示三角形的表面积，P表示三角形周长的一半。
7.2 体积计算
体积通常是指空间曲面与基准平面之间的空间的体积。
基准平面一般是水平面，基准平面的高度不同，计算出 的空间曲面的体积就不同，
当高度上升时，空间曲面的高度可能低于基准平面，此 时出现负的体积。
)1/
2
dxdy
A
一般地说，上式无法直接计算，常用的方法是近似计算。
积分的近似计算方法很多(有关计算方法的著作对此都有详细
全面的讨论)，比较常用的方法是抛物线求积方法，亦称辛卜
生方法（Simpson），
该方法的基本思想是：先用二次抛物面逼近面积计算函数， 进而将抛物面的表面积计算转换为函数值计算。
2、分解为三角形的计算方法 将正方形格网DEM的每个格网分解为三角形，利用计 算三角形的表面积的海伦公式分别计算分解的每个三角形 的面积，然后累加得到正方形格网DEM的面积。 计算公式如下：
7.3.2 基于格网数据单元的坡度计算 单独一个点上的坡度并无多大用处，通常总是计算基
本格网单元上的平均坡度。
平均坡度的计算可以通过计算若干点位上的坡度，然 后取其平均值。
但更常用的方法是在基本格网单元上用最小二乘逼近 的方法拟合一个平面，然后计算其平均坡度。
（1）三角形格网 在三角形格网上，最小二乘逼近的平面与插值方法的
P (a b c) / 2
其中，a，b，c的长度是根据数据点 P1，P2，P3的高程值h1，h2，h3以及
△， P1 P2 P3的边长a ' ，b '，c'计算得到。
，
a (a'2 (h1 h2 )2 )1/ 2
b (b'2 (h2 h3 )2 )1/ 2
c (c'2 (h3 h1 ) 2 )1/ 2
7.1.2 正方形格网上表面积的计算
1、曲面拟合重积分计算法
正方形格网上的曲面片表面积的计算问题要复杂得多， 正方形格网上最简单的曲面模型为双线性多项式，其拟合 面是一曲面，无法以简单的公式计算其曲面积。
根据数学分析，某定义域A上，空间单值曲面的面积由
以下重积分计算： S
(1
f
2 x
f
2 y
7.3.1 单个点的坡度计算
空间曲面的坡度是点位的函数，除非曲面是一平面， 否则曲面上不同位置的坡度是不相等的，
给定点位的坡度是曲面上该点的法线方向N与垂直方 向Z之间的夹角a，如图所示。
由数学分析知，对于曲面上给定点（x0，y0，z0）的切 平面方程为：
f x (x0 , y0 )( x x0 ) f y (x0 , y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0
2 x
(
x0
,
y0
)
f
2 y
(x0
,
y0
)
1)
1/
2
由坡度的概念知0°≦a≦90°，故由上式比较容易确 定坡度值。
对于特殊的应用场合，例如对于Z=a0+ a1x+ a2y(三角形 格网上的曲面拟合)，其三角形格网单元上的曲面为一平 面，平面上的坡度处处相等，
可以直接计算如下：
a arccos(a12 a22 1)1/ 2
1、基于三角形格网的体积计算 三角形格网的基本格网的体积计算方法如下：
V S A (h1 h2 h3 ) / 3
其中，SA是基底格网三角形A的面积。如图(a)所示。
2、基于正方形格网的体积计算
正方形格网的基本格网的体积计算方法如下：
V S A (h1 h2 h3 h4 ) / 4 (7.11)
该点的法线方程为：
f
1 x
(
x0
,
y0 )(x
x0 )
f
1 y
(x0
,
y0 )(y
y0 )
(z
z0 )
，
其方向数为f x (x0 , y0 ) ，f y (x0 , y0 ) 和－1，垂直方向Z的方 向数为0，0，1，则Biblioteka ： cosa 1f
2 x
( x0
,
y0
)
f
2 y
( x0
,
y0
)
1
a
arc
cos(f
第七章 三维空间分析
主要内容：
1、表面积计算 2、体积计算 3、坡度、坡向计算 4、剖面分析 5、可视性分析 6、水文分析
7.1 三角形格网上的表面积计算
基于三角形格网的曲面插值一般使用一次多项式模型 (Z=a0+a1X+a2Y），计算三角格网上的曲面片的面积时， 首先将其转换成平面片，然后通过计算平面片的面积来计 算曲面片的面积。
平面是一致的，因为已知数据点与平面方程的待定系数个 数相等。
例如，如果用Z=a0+ a1x+ a2y来拟合三角形格网上的曲 面，坡度可以直接利用如下公式计算：
a
arccos(a12
a
2 2
1) 1/ 2
（2）正方形格网
对于正方形格网单元，平面拟合采用最小二乘逼近方 法。
在计算坡度时，如果在3*3的DEM网格窗口进行，窗 口在DEM数据矩阵中连续移动，然后完成整幅图的计算 工作。
在对地形数据的处理中， 当体积为正时，工程中称 之为“挖方”，体积为负 时，称之为“填方”，
图中的阴影部分为“填 方”。
体积的计算通常也是近似方法。由于空间曲面的表 示方法不同，近似计算的方法也不一样。
以下分别给出基于三角形格网和正方形格网的体 积计算方法。
其基本思想均是：基底面积(三角形或正方形)乘以 格网点曲面高度的均值，区域总体积是这些基本格网 体积之和。
其中，SA是基底格网正方形A的面积。如图(b)所示。
7.3 坡度计算
如果打算在山上建造一座房子，那就首先想知道哪里 是比较平坦的地方；如果要设计滑雪娱乐场，并且要把它 建在不同的坡度上。对于这些问题都需要考虑坡度。
坡度是地形描述中常用的参数，是一个具有方向与大 小的矢量。
作为地形的一个特征信息，坡度能间接表示地形的起 伏形态，在农业、交通、规划以及各类工程中有着很大的 用途，如，在农业土地开发中，坡度大于25°的土地一般 被认为是不宜开发的。
如图所示，P1 P2 P3构成的三角形上的曲面片，P1’ P2’ P3’ 为使用一次多项式模型拟合得到的平面片，计算曲面片的 面积其实是计算拟合后的平面片的面积，利用海伦公式计 算面积，公式如下：
S [P(P a)(P b)(P c)]1/ 2
P (a b c) / 2
S [P(P a)(P b)(P c)]1/ 2
tan( ) [( z )2 ( z )2 ]1/ 2