正弦函数的图象和性质教案

正弦函数的图像和性质

作课人 邵荣良

教学目标：

1、 知识与技能目标

通过研究正弦函数图像及其画法, 理解并掌握正弦函数的性质，运用其性质解决相关问题

2、 过程与方法目标

通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使学生对正弦函数的性质有深刻的理解， 培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归转化的数学思想方法

3、 情感态度与价值观

用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。 教学重点：

正弦函数的性质

教学难点：

正弦函数性质的理解与应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有

MP r y ==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线，

2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：

把y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线

3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)

二、讲解新课：

(1)定义域： 正弦函数的定义域是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，

(2)值域

因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，

所以｜sin x ｜≤1， 即 －1≤sin x ≤1， 也就是说，正弦函数的值域是［－1，1

其中正弦函数y = sin x ,x ∈R

①当且仅当x ＝2

π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2

π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1 (3)周期性

由sin(x ＋2k π)＝sin x ，知：

一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0)

对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期

注意：

1.周期函数定义域x ∈M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2.“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数;

3.T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

(4)奇偶性

由sin(－x )＝－sin x 可知：y ＝sin x 为奇函数

∴正弦曲线关于原点O 对称

(5)单调性

从y ＝sin x ，x ∈［－2

3,2ππ］的图象上可看出： 当x ∈［－2π，2

π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1当x ∈［2

π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2

π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2

π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－

三、讲解范例：

例1 求使正弦函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的自变量x 的集

解：令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sin Z ，

Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是｛Z ｜Z ＝2

π＋2k π，k ∈Z ｝ 由2x ＝Z ＝2

π＋2k π， 得x ＝4

π＋k π 即 使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是

｛x ｜x ＝4

π＋k π，k ∈Z ｝ 函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1

例2求函数y =x

sin 11+ 的定义域： 解：由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1

即x ≠2

3π＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠2

3π＋2k π，k ∈Z ｝ )

例3求下列三角函数的周期 1. y=sin(x+3

π) 2. y=3sin(2x +5π) 解：1. 令z= x+3π 而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z)

f [(x+2π)+

3π]=f (x+3π) ∴周期T=2π 2. 令z=2x +5π 则

f (x ) =3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5

π+2π)=3sin(524ππ++x ) =f (x +4π)

∴周期T=4π

四、课堂练习：

1． 求函数y=|sinx|的周期：

2． 直接写出函数y ＝1+x

sin 1的定义域、值域： 3． 求下列函数的最值：

(1) y=sin(3x+4π)-1 (2) y=sin 2x-4sinx+5

五、课堂小结

六、课后作业：P57习题4.8的第1题的第13、小题，第2题的第134小题，第9题的14小题。

七、板书设计（略）