熊伟编《运筹学》习题二详细解答

习题二

1 •某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150

单位，C不少于180单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分. 已知六种食物

每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示.（1）试建立此人在满足健康需要的基础

上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A , B , C三种营养成分•试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型.

表 2-22

1 X j j

min Z 0.5% 0.4X0.8X30 .9x40.3X50.2X6

13x125x214X3 40X48X5 11X6 80

24x19x230X325X412X5 15X6 150

18x17x221X3 34X410X5 180

x1> x2、

X、X4、

X、

X6 0

(2 )设V i为第i种单位营养的价格，则数学模型为max w 80y1 150 y

2180 y3

13V1 24 y2 18y3 0.5

25y1 9y

2 7y3

0.4

14y1 30 y

221y3

0.8

40y1 25y2 34 y3 0.9

8y1 12y2 10y3 0.3

11y1 15y2 0.5

力，丫2”30

2 •写出下列线性规划的对偶问题

max 2X14X2min w % 4y2

八X1 3X2 1 ”y1 y2 2

（1）

X15X2 4 3y1 5y2 4

X1,X2 0 y1, y2 0

min w 9% 6y 2 2y 3+5y 4 10 y 5 3y i 6y 2 y 3 g 衣 2 对偶问题为：

2y i 2y 2 3 y i 5y 2 出 6 6y i y 2 2y 3

7

y i 无约束；y 2 0, y 3, 0, y 4 0, X 5 0

3 .考虑线性规划

mi nZ 12X 1

20X 2

X 1 4X 2 4 X 1 5X 2

2 2X 1 3X 2

7

X 1, X 2 0

(1) 说明原问题与对偶问题都有最优解； ⑵通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解; ⑶利用公式C B B^1求原问题的最优解； (4)

利用互补松弛条件求原问题的最优解.

【解】(1)原问题的对偶问题为

maxw 4% 2y 2 7y 3 y i y 2 2y 3

12

min Z 2x i X 2 3x 3 x 1 2X 2

10

(2)

1 2

X i 3X 2 X 3

8

X ,X 无约束，X 0

maxw 10y i 8y 2 y i y 2

2 【解】2y i 3y 2

1

y 2 3

叶无约束；y 2 0

maxZ

X 1 2X 2

4X 3 3X 4

10X 1

X 2 X 3 4X 4

8

(3)

7X 1 6X 2 2X 3 5X 4 10

4X 1 8X 2 6X 3 X 4 6

X 1,X 2 0,X 3 0,X 4无约束

min w 8y 1 10y 2 6y 3

【解】

10 y 1 7y 2 4y 3

1 y 1 6y

2 8y

3 2 y 1 2y 2 6y 3

4 4y 1 5y 2 y 3

3

y 1 无约束；y 2 0, y 3 0 max Z 2X -I 3X 2 6X 3 7X 4

3X -I 2X 2 X 3 6X 4 9 6X -I 5X 3 X 4

X 1 2X 2 X 3 6

2X 4

5 X 1 10

X 1

0, X 2,X 3, X 4无约束

max Z

2X -I 3X 2 6X 3 7X 4

3X 1 2X 2 X 3 6X 4 9 6X -| 5X 3 X 4

6

【解】 X 1 2X 2 X 3 2X 4

2

X -I 5 X -I

10

X - 0, X , X , X 无约束

4y i 5y 3*20

y j 0,j 1,2,3

容易看出原问题和对偶问题都有可行解，女口X = (2, 1)、Y = (1 , 0, 1)，由定理2.4知都有

最优解。

(2)对偶问题最优单纯形表为

Y (4/5,0,28/5) 2.6X=(16/5 1/5), Z= 42.4

1 4 1

(3) C B=(7,4), B 1 3

5

2

5

-X (7,4) 3

5

2

5 5 5 5

(4)由y1、y3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式

x-i 4x2 4

2x1 3x2 7

得到原问题的最优解为X=(16/5 , 1/5)。

4•证明下列线性规划问题无最优解

min Z 为2x2 2x3

2x1 x2 2x3 3

x1 2x2 3x3 2

x1 ,x20,x3无约束

证明：首先看到该问题存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为

maxw 3y1 2y2

2y1 y2 1

y1 2y2 2

2y1 3y2 2

y20,%无约束

由约束条件①②知yc 0,由约束条件③当y2> 0知y1> 1,对偶问题无可行解，因此原问题也无最优解(无界解)。

5.已知线性规划