微元法的应用

第六章微元法的应用 (2)
§6.1 微元法 (2)
§6.2 定积分在几何学中的应用 (4)
§6.3 定积分在物理学中的应用 (9)
§6.4 定积分在其它领域的应用 (11)
总结与提高 (14)
复习题六 .......................................................................................................... 错误!未定义书签。

第六章 微元法的应用
如阿基米德一个根本的那个人的、牛顿与高斯这样的最伟大的数学家，总是不偏不倚地把理论与应用结合起来。

——克莱因
“微元法”就是根据定积分的定义抽象出来的将实际问题转化成定积分的一种简单直接方法,就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量．通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。

在处理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法.这是一种深刻的思维方法,是先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体. 微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用．本章我们首先重点讨论定积分在几何上的应用；其次，讨论它在物理、力学方面的一些应用．最后再讨论在工程技术以及经济学方面的应用．
§6.1 微元法
6.1.1 微元法的原理
定积分概念的引入，体现了一种思想，它就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之分，曲顶的图形可以看成是平顶的，“不均匀”的可以看成是“均匀”的。

简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”；的思想.
直观的看，对于图所示图形的面积时，在[a , b ]上任取一点x ，此处任给一个“宽度”x ∆，那么这个微小的“矩形”的面积为
dx x f x x f dS )()(=∆=
此时我们把dx x f dS )(=称为“面积微元”。

把这些微小的面积全部累加起来，就是整个图形的面积了。

这种累加通过什么来实现呢？当然就是通过积分，它就是
⎰=b
a
dx x f S )(
这些问题可化为定积分来计算的待求量A 有两个特点：一是对区间的可加性，这一特点是容易看出的；关键在于另一特点，即找任一部分量的表达式：
()A f x x x ε∆=∆+∆
（6.1.1）
然而，人们往往根据问题的几何或物理特征，自然的将注意力集中于找()f x x ∆这一项。

但不要忘记，这一项与A ∆之差在0x ∆→时，应是比x ∆高阶的无穷小量（即舍弃的部分更微小），借用微分的记号，将这一项记为
()dA f x dx = （6.1.2）
这个量dA 称为待求量A 的元素或微元。

用定积分解决实际问题的关键就在于求出微
图6.1.1 微元法的意义
元。

设()f x 在[,]a b 上连续，则它的变动上限定积分
()()x
a
U x f t dt
=⎰ （6.1.3）
是()f x 的一个原函数，即()()dU x f x dx =.于是，
()b
b
a
a
f x dx dU U
==⎰
⎰ （6.1.4）
这表明连续函数()f x 的定积分就是（6.1.1）的微分的定积分.
由理论依据（6.1.2）可知，所求总量A 就是其微分()dU f x dx =从a 到b 的无限积累（即积分）()b
a
U f x dx =
⎰
，这种取微元()f x dx 计算积分或原函数的方法称为微元法.
如，求变速直线运动的质点的运行路程的时候，我们在T 0到T 1的时间内，任取一个时间值t ，再任给一个时间增量t ∆，那么在这个非常短暂的时间内（t ∆内）质点作匀速运动，质点的速度为v ( t )，其运行的路程当然就是
dt t v t t v dS )()(=∆=
()dS v t dt =就是“路程微元”
，把它们全部累加起来之后就是： ⎰
=
1
)(T T dt
t v S
用这样的思想方法，将来我们还可以得出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等等。

这是一种解决实际问题非常有效、可行的好方法。

6.1.2 微元法的主要步骤
设想有一个函数()F x , 所求量A 可以表示为: ()()A F b F a =-，然后实际进行以下三步:
第一步取dx , 并确定它的变化区间[,]a b ;
第二步设想把[,]a b 分成许多个小区间, 取其中任一个小区间[,]x x dx +, 相应于这个小区间的部分量A ∆ 能近似地表示为()f x 与dx 的乘积),就把()f x dx 称为量A 的微元并记作dA , 即
()A dA f x dx ∆≈=
第三步在区间[,]a b 上积分, 得到()()()b
a
A f x dx F b F a =
=-⎰
Q =ba
这里的关键和难点是求dA , 在解决具体问题时本着dA 是A ∆的线性主部的原则, 这样计算的A 为精确值。

6.1.3 微元法的使用条件
据以上分析，可以用定积分来解决的确实际问题中的所求量A 应符合下列条件：
（1）A 是与一个变量的变化区间],[b a 有关的量； （2）A 对于区间],[b a 具有可加性；
（3）局部量i A ∆的近似值可表示为,)(i i x f ∆ξ这里)(x f 是实际问题选择的函数.
§6.2 定积分在几何学中的应用
6.2.1直角坐标系下平面图形的面积
由定积分的几何意义，连续曲线 )0()(≥=x f y 与直线 x a b b x a x ,)(,>== 轴所围成的曲边梯形的面积为
⎰=b
a
dx x f A )(
若)(x f y = 在 ],[b a 上不都是非负的，则所围成的面积为
⎰=b
a
dx x f A |)(|
一般的，由两条连续曲线 )(,)(2211x f y x f y == 及直线)(,a b b x a x >==所围成的平面图形称为-X 型图形，其面积为
⎰-=b
a
dx x f x f A )]()([12
而由两条连续曲线 1122(),()x g y x g y == 及直线,()y c y d d c ==>所围成的平
面图形称为-Y 型平面图形其面积为：⎰
-=d
c
dy y g y g A )]()([12
上述结果用微元法分析如下：如图6.2.1可选取积分变量为x ，并可确定x 的变化区间为[a , b ]，在[a , b ]上任取一小区间 [x , x+d x ]，它对应的小条形区域的面积近似等于dx x g x f )()(-，故面积元素为
dx x g x f dA )()(-=，
所以()()b a
A f x g x dx =
-⎰
图6.2.1
同理，当平面图形是由连续曲线)()(y x y x ψϕ==，与直线d y c y ==，以及y 轴所围时(
图6.2.1)，其面积为
()()d
c
A y y dy φψ=-⎰
例1 试求由1
,,2y y x x x
=
==所围成的图形的面积. 解 如图，[1,2]x ∈，这是一个典型的-X 型图形，所以面积微元1()dA x dx x
=-，于是所求面积
2
1
13
()ln 22
A x dx x =-=-⎰
例2 求由曲线x = y 2以及直线y = x -2 所围的平面图形的面积（如右图）。

解 这是一个典型的Y —型平面图形。

由⎩
⎨⎧-==2
2x y y x 解得它们的交点坐标是：(1, -1)；(4, 2)
因此所求的平面图形的面积为：
(){}dy y y S ⎰
--+=2
1
2
22
132
3122
1
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=y y y
2
9
67310=+=
在平面图形的面积计算过程当中，对图形进行适当的分割有时是必要的。

我们所求面积的图形就好比一块大蛋糕，必要的时候，我们就得拿起小刀，对这块“蛋糕”进行分割，把它切割成符合我们要求的形状，然后再求出每小块“蛋糕”的面积，最后把它们加起来就是
整块“蛋糕”的面积了。

6.2.2 已知平行截面面积的几何体的体积
现在我们看下面一个空间立体，假设我们知道它在x 处截面面积为S(x)，可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式的思想求出它的体积？
如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积。

我们继续用微元法导出公式。

在[a , b ]上任取一点x ，并且任给x 的一个增量x ∆，这样就得到一个非常薄的薄片，这个小薄片我们可以近似地把它看成柱体，于是这个微小的柱体体积为：
y
图6.2.2
图6.2.3
dV =S (x )x ∆= A (x )dx
把这些小体积加起来，就是我们要求的体积。

它就是： ()b
a
V S x dx =
⎰。

这里，体积的计算的关键是求截面面积S(x) , 常用的方法先画出草图，分析图象求出S(x).
例 3 求两圆柱2
2
2
2
2
2
,a z x a y x =+=+ 所围的立体体积 先画出两圆柱的图象，图中看到的是所求立体的八分之一的图像, 该立体被平面ξ=x （因为两圆柱半径相同）所截的截面, 是一个边长为22ξ-a 的正方形, 所以截面面积 22
)(ξξ-=a S ,考虑到是8 个卦限，所以有
30
2
2
316
)(8a dx x a V a
=-=⎰
再看一个例题
例4一半径为a 的圆柱体，用与底面交角为α的平面
去截该圆柱体，并且截面过底圆直径，求截下部分的几何体体积。

解 如下图建立坐标系。

在[-a , a ]上任取一点x ，那么在这一点垂直x 轴的截面为一个
直角三角形，其面积为
A (x )=
2
1
AB ×BE 而22OA OB AB -=；αtan AB BE =，所以：
()
αtan 2
1
)(22x a x A -=
所以，所求的体积为
⎰
⎰
---==a
a
a
a dx x a dx x A V 22 )(tan 2
1
)(α
=ααtan 3231tan 21332a x x a a
a =⎪⎭⎫ ⎝
⎛-- 由分析和上面几个例题看出，只要知道了截面面积函数就可以用定积分来解决立体的体积计算问题。

6.2.3 旋转体的体积
设一平面图形以x=a ；x=b ；y=0以及y=f (x )为边界，求该图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积。

其实这是一个求X —型平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积问题。

我们用“微元法”的思想，来解决这一问题。

在[a , b ]上任取一点x ，再任给一个自变量的增量x ∆，
y
图6.2.6 旋转体的体积
得到一个细长条，该细长条我们可以把它看成矩形，该矩形的宽为x ∆ ，高为f (x )，那么这个小“矩形”绕x 轴旋转一周的旋转体就是一个圆柱体，不过，这个圆柱体非常的薄，其厚度就是x ∆，圆柱体体积是：
体积 = 底面积×高
于是小圆柱体的体积微元是：
dx x f x x f dV )( )( 22ππ=∆=
再把这些微小的圆柱体体积累加起来，也就是积分，所以所求的体积为
⎰
=b
a
x dx x f V 2)(π
这样旋转出来的旋转体如图所示。

例5 求由曲线y = x 2和x = y 2所围的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积。

解 设所求体积为V ，由于上边界为x = y 2，下边界为y = x 2，则所求的体积为：“以x=0；x=1；y=0和x y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积”与“以x=0；x=1；y=0和2y x =围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积”之差。

即
πππ10
3
1
41
0 =
-
=⎰
⎰dx x xdx V 例5 求圆222)(a y b x =+-绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.
解 此旋转体为一圆环体(图5-16). 圆的方程可表示为：
左半圆221)(y a b y g x --==； 右半圆222)(y a b y g x -+==， 所求体积为左半圆,右半圆分别与直线a y -=、a y =以及y 轴旋转一周所形成的两个
旋转体的体积之差, 即 2
222
2
2212
[]()()48cos a
a
a
a
V g y g y dy b a y dy b a t dt π
π
ππ--=-=-=⎰
⎰⎰
b a t t
b a dt t b a 2202022]2sin 2
1[4)2cos 1(422ππππ
π
=+=
+=
⎰ 6.2.4 直角坐标平面曲线的弧长 1.曲线方程()y f x =情形
设曲线弧由直角坐标方程()()y f x a x b =≤≤给出，其中 在[],a b 上具有一阶
连续导数。

现在用元素法来计算这曲线弧的长度.
取横坐标 为积分变量，它的变化区间为[],a b .曲线)(x f y =上对应于[],a b 上任一
1
x
y
2y x =
y x
=图6.2.7
O b -a
g 1(y ) g 2(y )
y a
图6.2.8
x
小区间],[dx x x +的一段弧的长度 可以用该曲现在点))(,(x f x 出的切线上相应的一
小段的长度来近似代替. 而这相应切线段的长度为
以此作为弧长元素
，即
dx y ds 21'+=
以dx y 21'+为被积表达式，在区间 ],[b a 上做定积分，变得所求得弧长.
曲线段弧
的长度为
dx y s b
a
⎰'+=21
2.参数方程情形
设曲线弧由参数方程
βαψϕ≤≤⎩
⎨
⎧==t t y t x )()
( 给出，其中)(t ϕ ，)(t ψ 在],[βα上具有一阶连续导数。

现在来计算这曲线弧的长度.
取参数为积分变量，它的变化区间为],[βα .相应],[βα上任一小区间],[t t t ∆+ 的小弧段的长度的近似值及弧长元素为
于是，曲线段弧
的长度为
6.2.4 旋转体的侧面积
设函数)(x f y =在闭区间],[b a 连续，求其绕x 轴旋转所得的旋转体的侧面积. 在],[b a 任取小区间],[dx x x +，以左端点x 所对应的函数值y 为半径作圆，这圆的周长y π2与小区间所对应的弧长ds 的乘积，近似代替该小区间所对应的弧段绕x 轴旋转所得的曲面面积.所以，旋转体的侧面积元素可表示为dx y y yds dA 2122'+==ππ；所以旋转体的侧面积为
⎰'+=b
a
dx y y As 212π.
例6 求半径为r 的球面面积. 解 球面可看作上半圆周x r y -=
2绕x 轴旋转一周而形成的旋转曲面.取积分变量
为x ，其区间为],[r r -.任取小区间],[],[r r dx x x -⊂+，于是侧面积面积元素为
2221dA yds y dx ππ'==+
2222
212x
r x dx rdx r x
ππ-=-+
=- 侧面积为 ⎰-==r
r r dx r A ππ42.
习题6.2
1. 求抛物线 x y =2
与直线 032=--y x 所围的平面图形的面积. 2. 求由曲线 2 , 0 , 1==-=x y x xy 围成的平面图形的面积. 3. 求由抛物线 x y =2
与直线 032=--y x 所围平面图形的面积. 4.求底面半径为r ，高为h 的直圆锥的体积.
5. 求由抛物线2x y =,直线2=x 及x 轴所围平面图形分别绕x 轴、
y 轴旋转所得立体的
体积V .
6求悬链线2
x
x e e y -+= 介于1-=x 和1=x 之间的一段弧长.
6.3 定积分在物理学中的应用
“微元法”是研究物理问题时所采用的一种特殊的分析方法,它是把研究对象分割为无限多个无限小的部分,或把物理过程分解成无限多个无限小的部分,然后抽取其中的一部分加以研究,通过对所抽取的这一部分的研究,就可以认知整体或全过程的性质和规律,它实质就是“从复合到单一,再从单一到复合”的综合分析思维方法。

6.3.1 变力沿直线所作的功
从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F 作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s 时,力F 对物体所作的功是 FS W =.如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题.
例1 把一个带电量为 的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为2r
q
k F =（ 是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从
处沿 轴移动到)(b a b r <=处时，计算电场力 对它所做得功.
解 在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取 为积分变量，它的变化区间为 ，在
上任取一小区间 ，当单位正电荷从 移动
到
时，由库仑定律1
，电场力对它所作的功近似于
dr r
kq
2，从而得功元素为
1库仑定律：真空中两个点电荷之间相互作用的电力，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们的距离的二次
方成反比，作用力的方向在它们的连线上。

即：
22
1r
q kq F =
其中k 为静电力常量， k =9.0×10 9 N m 2/c 2
2
kq dW dr r =
于是所求的为
6.3.2 静止液体的压力
物理学知道，深为h 处液体的压强为gh p ρ=，其中ρ是液体的密度，kg N g /8.9=. 设有一面积A 为的平板，水平地放置在液体中深为h 处，则平板一侧所受的压力为
ghA pA F ρ==.
如果平板垂直放在液体中，那么由于液体的深度不同，就不能用上面的公式计算平板一侧所受的压力，需要定积分来求解. 下面举例说明..
例2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m 和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。

解 如图6.3.2, 以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作 轴,取 为积分变量，它的变化范围为
.在
上任取一个小区间
,闸门上相应于该小区间的
窄条各点处所受到水的压强近似于)/(2
m kN xg ,这窄条的长度近似为5
10x
-,高度为 ,
因而这一窄条的一侧所受的水压力近似为
这就是压力元素，于是所求的压力为
6.3.3 引力的计算
由万有引力定律知道，质量分别为21,m m 相距为r 的两质点间的引力的大小为2
2
1r m m G
F =，其中
G 为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向.
如要计算一细棒对一质点的引力，由于细棒上各点与该物质的距离是变化的，并且各点对该物质的引力方向也是变化的，所以就不能用上面公式来计算。

下面举例说明用微元法计算它的方法：
例3 设有一根长度为 、线密度为 的均匀细直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点。

试计
算该棒对质点
的引力
图6.3.2
图6.3.1
图6.3.3
解 取坐标系如图6.3.3所示，使棒位于 轴上，质点
位于 轴上，棒的中点为原点 ，取 为积分变量，它的变化区间为,22l l ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.在,22l l ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上任取一小区间[],y y y +∆ ，把细直棒上相应于[],y y y +∆ 的一段近似的看成质点，其质量为dy ρ ，与 相距22r a y =
+ ，因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 的引力 的大小为22m dy F k
a y ρ∆≈+，从而求出 在水平方向分力x F ∆的近似值，即细直棒对质点 的引力在水平方向分力x F 的元素为
2/322)
(y a dy am k
dF x +-=ρ 于是得到引力在水平方向的分力为
上式中的负号表示x F 指向 轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为0y F =.
习题6.3
1.一贮油罐装有密度为3
3/1096.0m kg ⨯=ρ的油料.为了便于清理，罐的下部侧面开有半径mm R 380=的圆孔，孔中心距液面mm h 6800=孔口挡板用螺钉铆紧，已知每个螺钉能承受kN 9.4的力.问至少需要多少个螺钉？
2.古埃及大金字塔为一正四棱锥，设高为125m ，塔基为230m ×230m 的正方形，传说历时20年才建成。

若建造金字塔所用石块的密度为3210kg/m 3，试求建成这座金字塔所做的功，并由此大致估算需要多少工匠直接投入建塔工程。

3.一横放的半径为的圆柱形油桶盛有半桶油，油的密度为ρ，计算桶的圆形一侧所受的压力.
4.边长为b a ,的矩形薄片，与液面成 30角沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设b a ，液体的比重为γ，试求薄片每面所受的压力． §6.4 定积分在其它领域的应用
6.4.1平均值
许多问题常要计算连续函数在区间上的平均值，如24小时的平均气温等.
1.算术平均值
设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，将],[b a 分成n 等份，设等分点依次为
b x x x x a n ==,,,,210 ,，当n 足够大，每个小区间的长b a x n -∆=就足够小，于是可用)(i x f 近似代替小区间],[11x x x i i ∆+--上各点的函数值，n i ,,2,1 =. 于是，)(x f 在区间],[b a 的近似平均值为
∑==+++=n i i n x f n n
x f x f x f y 121)(1)()()(~ . 当0→∆x 时，y ~的极限就是)(x f 在],[b a 的平均值. 据此，以及定积分的定义，得
⎰∑∑-=-===→=→b a
n i i x n i i x dx x f a b x x f a b x f n y )(1)(1lim )(1lim 1010∆∆∆2
例1 计算从0秒到T 秒这段时间内自由落体的平均速度.
解 自由落体的速度为gt v =，所以要计算的平均速度为
2001
[]02
T
T g g T v gtdt t T T ===-⎰. 例2 设⑴交流电t I i ωsin 0=；⑵两个交流半周的整流电流|sin |0t I i ω=，求其在一个周期上的平均值I .
解 由⑴，i 的周期为2T πω
=，于是 2200000001sin sin sin 022T I I I I tdt tdt udu T ππω
ωωωππ===
=⎰⎰⎰ 由⑵，i 的周期为T πω=，于是000
2sin I I I tdt πωωωππ==⎰，平均值I 是直流电的强度，它等效于一个周期内流过的交流电量.
一般地,如果 , , 且 那么
成为函数
关于权数 在区间 上的加权平均值. 若令
, 加权平均就变成了算术平均
2.均方根
在物理学中，除讨论电流在一个周期上的平均值外，还常考虑电流)(t i 的有效值.周期性非恒定电流)(t i 的有效期规定为：当)(t i 在其一个周期内，在负载电阻R 上消耗的平均功
2由定积分中值定理()()(),(,)b a b a a b f x dx f ξξ-=∈⎰易知， )(ξf 就是)(x f 在],[b a 的平均值.
率，等于取固定值I 的直流电流在R 上消耗的功率时，称这个I 值为)(t i 的有效值.
由于固定值I 的电流在电阻R 上消耗的功率为R I 2，电流)(t i 在R 上消耗的功率为R t i )(2，它在一个周期内的平均值为201()T
i t Rdt T ⎰，所以 ⎰⎰==T T dt t i T
R dt R t i T R I 00222)()(1， 于是
220
1()T I i t dt T =⎰， 即
I =（6.3.1）
数学上，将(6.3.1)称为函数)(t i 在区间],0[T 上的均方根. 由此可见：
⑴ 没有经过整流的电流t I i ωsin 0=的有效值为
I ==； ⑵ 整流为两个交流半周的电流|sin |0t I i ω=的有效值为
I ==. 二者结果相同.这是因为消耗的功率相同，而与电流的方向无关.
6.4.2 微元法在其他领域中的应用
微元法在经济、化工、医学、生物等领域也有广泛的应用，如人口统计、心脏输出量的测定、单位时间内的血流量、化学反应物的生成、生物群落的量的计算等等。

例3（人口统计模型）某城市1990年的人口密度近似为24()20
p r r =
+表示距市中心r 公里区域内的人口数, 单位为每平方公里10 万人.试求距市中心2km 区域内的人口数. 解 假设我们从城市中心画一条射线, 把这条线上从0到2 之间分成n 个小区间, 每个小区间的长度为r ∆.每个小区间确定了一个环, 估算每个环中的人口数并把它们相加, 就得到了总人口数。

第i 个环的面积为:
()2
2221i i i r r r r r ππππ--=--∆
()2222i i i r r r r r ππ=--∆+∆
()22i r r r ππ=∆-∆
于是此环面积的线性主部为2i r r π∆.
在第i 个环内, 人口密度可看成常数, 所以此环内的人口数近似为()2i i p x r r π∆，即得微元()2dQ p x rdr π=。

故人口数
()2222202200042()2244ln 20229120
20r Q p r rdr r dr dr r r r ππππ====+≈++⎰⎰⎰ (10 万) , 即距市中心2km 区域内的人口数大约为229, 100。

总结与提高
数海撷趣
数学与文学的关系，当代国际著名的数学家丘成桐在其演讲《数学与文学的比较》中有较为细致的论述，但最引人入胜的是关于数学思想与文学意境的论述，由“如孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”的美妙意境联想到极限；从“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”体会解题的感受；旷野孤身一人诵读佳句“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下”，感受时空变换穿梭，真是其种种美的体验，不尽溢于言表。

古人将数词入诗成为佳话，而将数词用在书信中．其表情达意又另有一番滋味。

相传西汉时．卓文君与司马相如成婚不久，司马相如便辞别娇妻去京城做官。

痴情的卓文君朝思暮想，等待春丈夫的“万金”家书。

殊不知等了 5 年，等来的却只是一封写着“一二三四五六七八九十百千万”的数字家书。

聪颖过人的卓文君当然明白丈夫的意思．家书中数字无“亿”，表示丈夫已对她“无意”了，只不过没直说罢了。

卓文君知丈夫已移情另有所爱，既悲且愤又恨．当即复书如下：
一别之后，两地相思，只说是三四月，又谁知五六年，七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中拆断，十里长亭望眼欲穿。

百思想，千系念，万般无奈把郎怨。

万语千言道不尽，百无聊赖十凭栏。

九重登高看孤雁，八月中秋月圆人不园。

七月半，烧香秉烛问苍天。

六伏天，人人摇扇我心寒。

五月里，榴花如火偏遇阵阵冷雨浇。

四月间，枇杷未黄我欲对镜心意乱。

三月桃花随水流，二月风筝线儿断。

嗯！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。

在卓文君的复信里，由一写到万，又由万回到一，写得明白如话，声泪俱下，悲愤之情跃然纸上，司马相如看了诗信，被深深打动了，激起了对妻子的思念，终于破镜重圆。

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学习要求 掌握微元法的概念和方法。

会利用微元法及定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值；会利用定积分求解物理应用问题及简单的经济应用问题。

复习题六
1．曲线2y x =与直线x y =所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 21 B ． 31 C ． 61 D ． 3
2 2．曲线)22(cos ππ≤≤-
=x x y 与x 轴所围成的图形，绕x 轴旋转一周所围成旋转
体的体积为（ ） A ．2
π B ．π C ．22π D ．2π 3．曲线2,12=+=x y x 所围成的平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为（ ） A ． π1564 B ． π1532 C ． π152 D ． π15
6 4．．一物体沿x=3t 2作直线运动，所受阻力与速度的平方成正比（比例系数为k ），物体从x=0移到x=1时克服阻力所作的功为
A ． 4k
B ．2k
C ．6k
D ．8k
5曲线)(x f y =具有一阶连续导数，则曲线上相应于],[b a x ∈的一段弧长为（ ）
⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩
微元法平面图形的面积几何应用旋转体的体积函数的平均值微元法的应用应用路程物理应用做功其他应用
A ． ⎰+b a dx x f )(12
B ． ⎰-b a dx x f 1)(2
C ． ⎰+b
a dx x f |)('|1 D ． ⎰+
b a
dx x f 2)]('[1 （二）填空题
1．由曲线y=cosx 和直线 x y -=π2 所围图形的面积为 ．
2．由曲线4,3=+=
y x x y 围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ．
3．曲线)1ln(2x y -=相应于区间[0，2
1]上的一段弧的长度为 ． 5．曲线0,2,3===y x x y 所围成的图形绕y 轴旋转而成的
旋转体的体积为 ．
6．函数12+=x y 在区间[-2，4]上的平均值为 ．
（三）解答题
1． 求由曲线x y x y ==,3所围图形的面积．
2．求c 的值（c>0），使两曲线2x y =与3cx y =所围图形的
面积为3
2 3．如图6—27，设函数20,sin π
≤≤=x x y ．求：（1）t 取何值时，图中阴影部分的面
积S 1与S 2之和最大？（2）t 取何值时，图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小？
4．设平面图形式由x y x y ==,2及x y 2=所围成，求：（1）此平面图形的面积．（2）
此平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积．
5．设有一直径为8m 的半球形水池，盛满水，若将池中的水抽干，问至少需做多少功？
6．利用定积分证明，半径为r 的球体的体积为343V r π=。