数模送货路线设计问题论文

目录

送货路线设计问题

一、问题重述

问题背景

现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方。对于送货员而言，如何在按时将货物送到的前提下，使其送货耗时最少是一个不得不考虑的问题。

基于上述情况，根据已有数据，运用数学建模的方法，对送货员的送货线路作出分析并提出合理建议是一个重要问题。准确分析进而制定出正确合理的决策，使送货员能在最短的时间内将货物送达顾客，对于提高公司名声、效益，创造和谐的社会坏境，节约能源等诸多方面都具有重要意义。

实际现状

对送货员送货路线的要求主要有以下几个特点，如：

1）送货员出于成本及节约时间的考虑，总是要使送货所用时间最省；

2）由于受设备等的限制，送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米；

3）考虑顾客对商品的需求情况，有些货物必须在指定时间前送达；

……

这些因素都影响着送货路线最优化方案的设计。

问题提出

从目标位置的实际分布情况以及上述要求出发，依据相关数据：

1）在将1~30号货物送到指定地点并返回的前提下，建立一送货员送货线路模型，使得求得的最优化方案能够达到用时最省的目的；

2）现实情况下，不同的顾客对货物的需求情况不同，有的顾客急需货物，就要求送货员在指定时间将货物送达。在进一步考虑顾客指定送货时间的情况下，制定出送货员的送货线路，使得送货员从早上8点上班开始送货，在不超过指定时间内将1~30号货物送达，并能够达到用时最省的目的；

3）在1、2的基础上，若不考虑所有货物送达时间的限制(包括前30件货物)，并要将100件货物全部送到指定地点并返回，设计最快完成路线与方式。

二、基本假设

本题给出了送货员送货地点的网络图及相关数据，要求在不同的条件下送货的最佳路线。为解决此问题，需做如下的简化和抽象：

1、由于送货指定地点的大小，与送货线路长相比，它们相对地小得多，故可以抽象的看做一个点。两指定送货地点之间的线路，省略其弯曲，抽象简化为直线段，而直线段的长即为此段线路的长度。于是线路网络图在数学上抽象为赋权图。将送货员的送货网络图中的每个指定地点看作图中的一个顶点，各指定地点之间的线路看作图中对应顶点之间的边，各线路的长度看做各条边的权。

2、问题可归结为图上的优化问题：在给定的赋权图上寻找从给定点O出发，经过图上某些或全部点后，再回到该给定点且使得所用的总时间最省的闭路线。

3、假设送货员送货过程中的时间消耗只来自于指定地点之间的行走和货物交接花费，忽略其他应突发情况（如堵车等）造成的时间消耗。

说明：以上是模型讨论过程中的全局假设，在以后的分步讨论中我们可能引入新的局部性假设。

三、符号说明及名词解释

基本符号

G 赋权图

G′与赋权图G对应的完全赋权图

V 赋权图和完全赋权图的顶点

e 赋权图和完全赋权图的边

赋权图和完全赋权图的权

赋权图上任意两顶点之间的距离

Q H回路所对应的路程

Wg 每件货物的重量

Tj 每件货物的体积

N 货物编号

Sp送货员的行进速度

T 完成任务所需时间

t限时时间控制变量

部分符号说明与名词解释

上表所列符号并不完整，我们在后续各步中引入的新符号，到时再做说明。

四、问题分析、模型建立与模型求解

问题一

问题分析

问题一要求得，在将1~30号货物送到指定

地点并返回的前提下，建立一用时最省的送货员

送货线路模型。由于1~30号货物的总重量、总

体积均未超出范围，且由MATLAB作图可以发

现1~30号货物的送达地点相对集中（如图），若

只考虑1~30号货物的送达情况，可将问题一转

化为从库房O点出发，行遍1~30号货物指定送

达地点至少一次再回到O点，使得总权（路程）图(大图见附录)

最小，即最佳旅行售货员回路的问题，然后加以修正即得到最优解。但此问题是不可解的，即无法给出最优解，只能给出一种启发式算法，得到一个较优解。因此有如下思路：

简化抽象

最佳售货员回路问题

问题的疑似最优解

修正比较

问题的近似最优解

模型建立

单个售货员的最佳旅行售货员回路的问题是一个

非常实际的问题，其本质是Hamilton回路的应用与引

申，图论提法是在一个赋权图上寻求过每一个顶点至少

一次的总权最小的路，即所谓的最短售货员回路。赋权

H图的总权最小的回路称为最短H回路。一般地，在

同一赋权图中，最短售货员回路与最短H回路不同。如图 4..

图4.1.1所示，最短售货员回路为V1V2V1V3V1，权为4，而最短H回路为V1V2V3V1，权为5。

这里我们不加证明的给出如下结论：若G=（V,E,W）中任意两个相异定点，均能满足三角不等式，则G中最短售货员回路与最短H回路相同。

对于本题中的无向赋权图G，可以应用任意顶点对之间的最短路径算法构造一个等价完全赋权图,即在G′中各顶点对之间的权由他们之间的最短路径的权代替。显然，在G′中三角不等式均能满足，于是，由G′解得的最短H回路即为原无向赋权图G的最短售货员回路。

● 4.1.2.1确立目标函数

目标函数考虑完全赋权图G′的H回路使得总权最小:

（）

其中，Q是H回路的总权，为G′中每条所走路线的权值；

由于G′中各顶点对之间的权由它们之间的最短路径的权代替，故可由

计算赋权图G中任意两点之间的最短路得到。这里我们采用Floyd算法：设G是赋权图，权为实数,|V|=n

d(i,j):i到j的距离

r(i,j)：i到j之间的插入点

输入：带权邻接矩阵

（1）赋初值：对所有

（2）更新：对所有i，j，若，则

（3）若k=n，停止。否则，转（2）

●构造约束条件

在第一问中约束条件主要考虑的是体积与重量的限制，于是有如下的约束条件：