离散数学 格与布尔代数

b
我们先看右图的例子：
d∨(b∧e)=d∨c=d
a e
d c
(d∨b)∧(d∨e) =a∧e=e 而 d≤e 即
d∨(b∧e) ≤ (d∨b)∧(d∨e)
证明：⑴ 因 a≤a∨b，a≤a∨c 所以 a ≤(a∨b)∧(a∨c)
又因 b∧c≤b≤ a∨b，b∧c≤c≤ a∨c
所以 b∧c ≤(a∨b)∧(a∨c)
四.格的同态与同构
1.定义：设<A1,≤1> 和<A2, ≤2>是两个格，由它们诱导 的代数系统分别是<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>，如果存 在映射 f:A1A2 ，使得对任何a,b∈A1，有
f(a∨1b)=f(a)∨2f(b) f(a∧1b)=f(a)∧2f(b) 则称f是<A1,∨1,∧1>到 <A2,∨2,∧2>的同态映射。 也称<f(A1),≤2>是<A1,≤1> 的同态像。 如果 f 是双射的，就称f是<A1,∨1,∧1>到 <A2,∨2,∧2>， 的格同构，也称格<A1,≤1> 和<A2, ≤2>同构。
24。 36。 12。
y是B的极小元y∈B∧x(x∈B∧x≤y)
６。
y是B的极大元y∈B∧x(x∈B∧y≤x) 例如{2,3,6}的极小元:2,3 极大元:6
２。 ３。 １。
2.B的最小元与最大元 y是B的最小元y∈B∧x(x∈By≤x) y是B的最大元y∈B∧x(x∈Bx≤y) {2,3,6}的最小元:无 最大元: 6 B如果有最小元(最大元), 则是唯一的。 3.B的下界与上界
P’: a∨b≥a
{a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a
三. 格的性质
<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。a,b,c,d∈A 1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b
此性质由运算∨和∧的定义直接得证。 2.如果a≤b，c≤d，则 a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。 证明：如果a≤b，又b≤b∨d，由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得 c≤b∨d, 这说明b∨d是 {a,c} 的一个上界，而a∨c是 {a,c} 的最小上
a) 先证 a≤1b f (a)≤2f(b) 任取a,b∈A1,设a≤1b ，由格同态保序性得
f(a)≤2 f(b) b)再证f (a)≤2f(b) a≤1b 设 f(a)≤2f(b)， 于是有
f(a) = f(a)∧2f(b) = f(a∧1b) 因f 是双射，所以 a=a∧1b 所以 a≤1b 最后得 a≤1b f (a)≤2f(b) 。
c
d
c
e
a b
d e
2. 格同态的保序性
定理：设f是格<A1,≤1> 到<A2, ≤2> 的同态映射，则对任 何a,b∈A1，如果a≤1b，则 f(a)≤2f(b)。 证明：令<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>是格<A1,≤1> 和
<A2, ≤2>诱导的代数系统，任取a,b∈A1，设a≤1b， 则 a∧1b=a f(a∧1b)=f(a) 即 f(a)∧2f(b)=f(a) 而 f(a)∧2f(b) ≤2f(b) 所以 f(a)≤2f(b). 3. 格同构的保序性
于是有 a∨(b∧c) ≤(a∨b)∧(a∨c) 。
由对偶原理得 a∧(b∨c)≥ (a∧b)∨(a∧c) 。
即 (a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。
8. a≤b a∨b=b a∧b=a 证明：⑴先证明a≤b a∧b=a
先证a≤b a∧b=a 由 a≤b，又a≤a 所以a≤a∧b 又由a∧b的定义有a∧b≤a 由反对称得 a∧b=a 再证 a∧b=a a≤b 由 a∧b=a 则 a=a∧b ≤b。 综上得 a≤b a∨b=b ⑵下面证明a≤b a∨b=b 先证a≤b a∨b=b 由 a≤b，又b≤b 所以 a∨b≤ b 又因为 b≤a∨b 由反对称得 a∨b=b 再证 a∨b=b a≤b 由 a∨b=b 因 a≤ a∨b 所以 a≤b。 综上得 a≤b a∨b=b
例：<A,≤>，A={1,2,3,6}, ≤是A上整除关系。
<P(E),>，E={a,b}
它们诱导的代数系统分别是<A,∨,∧>和<P(E),∪,∩>
其中∨和∧分别是求两个数的最小公倍数和最大公约数.
6
{a,b}
Af P(E) 6 {a,b}
2
3
{a}
{b}
3 {b}
1
f(2∨3)=f(6)={a,b}
24。 36。 12。 ６。
２。 ３。 １。
y是B的下界y∈A∧x(x∈By≤x)
y是B的上界y∈A∧x(x∈Bx≤y)
{2,3,6}的下界:1 上界: 6,12,24,364.B的最大来自界(下确界)与最小上界(上确界)
y是B的最大下界(下确界)：B的所有下界x,有x≤y。
y是B的最小上界(上确界)：B的所有上界x,有y≤x。
再证 f(a)∧2f(b)≤2 f(c) ： 由于f(a),f(b)∈A2 , 又∧2封闭，得 f(a)∧2f(b)∈A2 , 又由f:A1A2是双射，必有d∈A1, 使得 f(a)∧2f(b)=f(d) 所以 f(d)≤2f(a)，f(d)≤2f(b) 由已知得： d≤1a，d≤1b ，于是 d≤1a∧1b=c ， 即 d≤1c，于是 f(d)≤2f(c) 即 f(a)∧2f(b)≤2 f(c) -----⑵ 由⑴⑵得 f(a)∧2f(b)=f(c) ，即 f(a∧1b)=f(a)∧2f(b) 。
2 {a}
Φ
1 Φ
f(2)∪f(3)={a}∪{b}={a,b}
f(2∧3)=f(1)=Φ f(2)∩f(3)={a}∩{b}=Φ
f(2∨6)=f(6)={a,b} f(2)∪f(6)={a}∪{a,b}={a,b}
f(2∧6)=f(2)={a} f(2)∪f(6)={a}∪{a,b}={a}
……
因为全序中任何两个元素x,y，要么x≤y, 要么y≤x。 如果x≤y，则{x,y}的最大下界为x，最小上界为y。 如果y≤x，则{x,y}的最大下界为y，最小上界为 x 。 即这{x,y}的最大下界为较小元素，最小上界为较大元素.
3. 由格诱导的代数系统
设<A, ≤>是格,在A上定义二元运算∨和∧为:a,b∈A
界，所以 a∨c≤b∨d。 类似可证 a∧c≤b∧d。 推论：在一个格中，任意 a,b,c∈A，如果b≤c，则
a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。 此性质称为格的保序性。
3. ∨和∧都满足交换律。即 a∨b=b∨a，a∧b=b∧a 此性质由运算∨和∧的定义直接得证。
4. ∨和∧都满足幂等律。即 a∨a=a a∧a=a 证明：由性质1, a≤a∨a (再证a∨a≤a)
定理：设两个格为<A1,≤1>和<A2, ≤2> ，f是A1到A2的双射， 则f是<A1,≤1> 到<A2, ≤2>的格同构，当且仅当 对任意a,b∈A1，a≤1b f (a)≤2f(b)
证明：令<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>是格<A1,≤1> 和 <A2, ≤2>诱导的代数系统，
1) 必要性：已知 f是格<A1,≤1> 到<A2, ≤2> 的 同构映射，（往证：任取a,b∈A1, a≤1b f (a)≤2f(b) ）
引理： <A,∨,∧>是代数系统，如果∨和∧是满足吸 收律的二元运算，则∨和∧必满足幂等律。
证明：任取a,b∈A 因为 ∨和∧满足吸收律。 于是有
a∨( a∧b) =a ------⑴ a∧(a∨b) =a -------⑵。 由于上式中的b是任意的，可以令b=a∨b 并代入⑴ 式得
a∨(a∧(a∨b)) =a 由⑵式得 a∨a=a 同理可证a∧a=a
设<A,≤>是格，≤的逆关系记作≥，≥也是偏序关系。
<A, ≥>也是格，<A,≥>的Hasse图是将<A,≤>的Hasse图
颠倒180º即可。
格的对偶原理：设P是对任何格都为真的命题，如果将
P中的≤换成≥，∧换成∨，∨换成∧，就得到命题P’ ,
称P’为P的对偶命题，则P’对任何格也是为真的命题。
例如：P: a∧b≤a
第七章 格与布尔代数
布尔代数是计算机逻辑设计的基础，它是由格引出的，
格又是从偏序集引出的。所以我们先回顾一下偏序集。
<A,≤>是偏序集:≤是A上自反,反对称和传递关系(偏序).
偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来.
例如A={1,2,3,6,12,24,36}, ≤是A上的整除关系 其Hasse图如图所示，BA B≠Φ 1.B的极小元与极大元
又由≤自反有a≤a，这说明a是a的上界，而a∨a是a 的最小上界，所以 a∨a≤ a。 最后由≤反对称得 a∨a=a 。
由对偶原理得 a∧a=a
5. ∨和∧都满足结合律。即 (a∨b)∨c =a∨(b∨c)，(a∧b)∧c =a∧(b∧c)
证明：⑴先证明(a∨b)∨c ≤a∨(b∨c) 因 a≤ a∨(b∨c) ， b≤b∨c ≤ a∨(b∨c) 所以 a∨b≤a∨(b∨c) 又 c≤b∨c ≤ a∨(b∨c) 于是有 (a∨b)∨c ≤a∨(b∨c)
<B,≤><C,≤>
。 12 6。
６。 ２。 ３。
2。
１。
。 １5。
10
3。 5。
１。
1。 4。 3。