函数的动点最值问题探析

评 注 这 是 一 道 充 分 利 用对 称 思 想 和 函 数 性 质
及 的知识 面广 ，所 使用 的数学 思想方法 也 比较 全 面 ．平常 训 练 时 ，不要 一味 搞“ 题海 战 术” ，要 善于 归 纳 、 总 结 ，掌 握 基 本类 型 和解 题 方 法 ，提 高 复 习效
（） ３ 因为 点 Ｐ是 定点 ， 以 Ｏ 所 Ｐ是定 长 ， 以 Ｏ 所 Ｑ
最 小 时平 行 四边形 Ｏ Ｃ Ｐ Ｑ的周长 最小 ．设 Ｑ ｎ， ， （ Ｊ
由勾股 定理 可 得 ，
＝ ＋ ＝ ～ ）＋ ， （一 兰 ４ 当 三）
最 大 ，最后 利 用三 角形 相似 使 问题得 解 ．
‘ ．
Ｏ Ｃ Ｐ Ｑ周长 的最 小值 是 ２Ｏ Ｏ ） ２ ５ ２： ４ ＋ （Ｐ＋ Ｑ ＝ （ ＋ ） ２５ ４． ４ 评 注 本 题 是 以正 比例 函数 和 反 比例 函 数 为 背
景 的动点 最值 压轴 题 ，解决 （ ） 的关键 是把 求平行 ３
’ ．
．
ｃ 口 ｃ＝ ｛， ３ ＋ ， ＝ ＋ Ｑ 一 （一） ＝ 卵
垂线 段 最短 ；④ 定 圆 的所有 弦 中 ，直 径最 长 。
，
一
（ ）写 出正 比 １
例
＝
，
１ 如 图 ， 抛 物 线
ｙ
、
、 、
（
例 函 数 和 反 比例 函
数 的 关系 式 ；
、
一
÷ ！ ２的 顶 点 为 ～ ＋
斗
４，与 Ｙ轴 交于 点 Ｂ．
（ ）求点 ，点 Ｂ的坐 １
设Ｐ点的坐标为（ ÷ 一ｍ ３， ｍ， ２ ＋） ４
１
则Ｑ点的坐标为（ 一 ＋） ｍ，去 ３，
Ｐ ．设 直线 ＡＣ的表 达 式为 Ｙ＝ ＋ ｂ．
贝６ ２ｂ ｕ３ ．ｋ ｆ １ －
＋
：
一
＝
。解 得 ＝ 一 ’
， ｂ＝－ ． ２
，
福 建 中学数 学
２ｌ 年 第 １ ０ １ ０期
一
点 ， Ｑ为 坐 标 平
｜ Ｌ
面 上一 动点 ，Ｐ Ａ垂
直于 Ｘ ，Ｑ 轴 Ｂ垂 直 于 Ｙ轴 ，垂 足 分 别
是 ， ．
，
三 ，两边 之 差小 于 第 三 边 ；② 两点 之 间 ，线 段 最 边
口
ｌＴ
９
、
短 ；③连 结 直线 外一 点 和直线 上 各点 的 所有线 段 中 ，
（ 一） ４， １的抛 物 线 交 Ｙ轴 于 Ａ点 ，交 Ｘ轴 于 Ｂ ， Ｃ两 点 （ Ｂ在 点 Ｃ的左侧 ） 点 ， 已知 Ａ点 坐标为 （ ，） ０ ３． （）求 此抛物 线 的解 １
析式；
．
｜
Ｄ
例 ４ 已知 ：抛物线 Ｙ ａ 一 （ ≠ ） ＝ｘ＋ ２ ０ 的对称 ａ 轴为 ＝ ｌ 与 ｘ 一， 轴交于 ，Ｂ两点， Ｙ轴交于点 与
标．
Ｂ
、
（ ） 当点 Ｑ在 直线 ＭＯ上运 动 时 ，直 线 ＭＯ 上 ２ 是 否 存 在 这 样 的点 Ｑ ，使 得 ￣ Ｂ 与 Ａ Ａ Ｘ Ｑ Ｏ Ｏ Ｐ面 积 相
／
（ ）若 点 Ｐ是 ｘ轴 上任 ２
Ｈ ＼户 、
等？ 如 果 存在 ，请 求 出点 的坐 标 ，如 果 不 存 在 ，请
当 ｍ＝３ ， Ａ ＡＣ的面 积 最大 为 ． 时 Ｐ
４
四边 形 Ｏ Ｃ Ｐ Ｑ的最小 周长 转化 为求 ＯＱ的最 小值 ， 从
而利 用 勾 股定 理得 出 ＯＱ ＝” ＋ ，并对 ” ＋ 配
一
此时，Ｐ 点的坐标为（，｛ ． ３一 ４ ）
评 注 这 是一 道 以 二 次 函 数 为 背 景 的 动 点 最 值 压 轴题 ，它 考 查 了 函数 、 方程 、 相 似三 角 形 、三 角 形 面积 、 圆等 知识 ，考 查 了数 型 结合 、待 定系 数 法 等 数学 思 想方法 ．解 决本 题 （）的关键 是利 用点 的 ３ 坐标 求 出 Ｐ 的长 ， 后利 用三 角形 面积公 式 建立 函 Ｑ 而 数模 型 ，再 根据 二 次函数 的增 减性 求得最 值 问题 ．
Ｃ， 其中Ａ － ，１ （ ０． ３
、
Ｕ
（ ）求这 条抛 物线 的函数表 达 式 ． １
（）已知在对 称 轴 上存在 一点 Ｐ ，使得 Ａ Ｂ ２ ＰＣ 的周 长最小 ．请求 出点 Ｐ的坐 标 ． （ ）在 （）条 件下 ，若 点 Ｄ是 线段 Ｏ ３ ２ Ｃ上 的一
个 动点 （ 不与 点 Ｄ、点 ｃ重合 ） ．过点 Ｄ 作 Ｄ ／ ｃ Ｅ／Ｐ
△ ｃ 的 面 积 最 大 ？ 并 求 出 此 时 Ｐ 点 的 坐 标 和
Ｃ的最 大面积 ．
１
交 轴 于 点 Ｅ 连 接 尸 ， 砸 ．设 Ｃ 的长 为 ｍ ， ． Ｄ Ｄ ＡＤ Ｐ Ｅ的面 积 为 ． ｓ与 之 间的 函数 关系 式 ． 求 试
说 明 Ｓ是否 存在 最 大值 ，
（） ２ 过点 作线段 Ａ Ｂ的垂线交抛物线于点 Ｄ ， 如果 以点 ｃ为 圆心 的 圆与 直线 肋 相切 ， 判 断抛物 请 线 的对 称 轴 ， ＱＣ有怎样 的位 置 关系 ， 与 并给 出证 明 ； （ ）已知 点 Ｐ是抛 物线 上 的一个 动点 ，且位 于 ３ Ａ ， Ｃ两点 之 间 ，问 ：当点 Ｐ运 动到什 么位 置 时 ，
２ ．运 用代 数证 法 解 函数 的动 点最值 问题
一
元二 次 方 程根 的判 别 式 已不再 列 入 中考 考 试
试题 的热 点 ．这类 题 目探 索性 强 、 综合 性 高 ，能 考
查 学 生 的数 学建 模 、数 形 结合 、 归 纳猜 想和 分 类 讨
内容 ，因此利 用代 数证 法解 函数 的动点 最值 问题 时 ，
（ ）存在 ．理 由 ： ’Ａ Ｄ Ａ Ａ ． ３ ． ＯＥ ‘ Ｏ Ｃ
． ．
ＯＥ ＝ ３一
，
＝
，
＝
ｓ
～
一Ｓ／ １ － Ｌｔ ４，
＿
九
＝
一
３（ ， ） ・ ”一１ ＋
解 题 方 法 ，它 是 对考 生综合 能 力 的全 面 考查 ，所 涉
・ ・
一
三０ ．一ｌ， ＝ ・ ＜ 当 时
佟 Ａ Ｐ予 Ｈ 。’ 出ｏ Ｈ ＬＯ △ Ｐ～△ Ｐ． Ｈ
．
．
于 Ｑ ｌ．ｌ（・ ２ 是 ＝∞Ｂ＝ １， 圭 ｏ圭伪） ：
＝
专×ｌ１ ． ＝， 得 ±． Ｉ２ ，・ ｌ 解 ＝２ ｌ ＝ ．
．
Ｂ ０ 。 ｏ Ｐ
：
．
Ｏ ：４， Ｐ
Ｐ ４，。 （ ０． ）
１
（ ）因为 Ｂ ２ Ｃ的长 度
一
ｃ于点 Ｑ ，可 求 出 ｃ的解 析 式为 Ｙ＝一 ＋３．
１
定 ，所 以 Ａ Ｂ Ｐ Ｃ周长 最
小 ，就 是 Ｐ ｃ＋Ｐ Ｂ要 最小 ．Ｂ点关 于对 称轴 的对 称点 是 Ａ点 ， Ａ Ｃ与 对 称 轴 ＝一 的交 点 即为 所 求 的点 １
方 ，利 用 ａ ０求得 Ｏ Ｑ的最小 值使 得 问题得 解 ．
３ ．运用函数性质解函数的动点最值问题 利 用 函数性 质 解 函 数 动点 最 值 问题 很 受命 题 者
的青 睐 ，在各 地 中考 试 题 中屡 见 不 鲜 ．解 答 这类 题 目的关键 是分 析 运 动变 化 过程 ，用 参变 量 的代数 式 描 述 点 的运 动 过程 ，把 动 点视 为 静 点参 与 运 算 ，列 出关 于 参 变量 的 函数 关 系 式 ，同时 考虑 自变 量 的取 值 范 围 ，再 根据 函数 的性 质 求 出最 值 问题 ．
福 建 中学数 学
２１ 年 第 １ ０ １ ０期
函数 的 动 点 最 值 问题 探 析
杨育 明 福 建省 安溪 县 崇文 中学 （ ６ ４ ４ ３ ２３ ）
函 数和 最 值 问题 是初 中数 学 重 点 内容 之 一 ，将
函数 的动 点 问 题与 最 值 问 题相 结 合 更 是 近年 来 中考
＼
若存在 ，请求出最大值 ；
若不 存在 ，请 说 明理 由．
｜
一 ／
（） 抛物线为Ｙ ÷ ２＋ ． １解 ： ｘ ３ 斗
（ ）答 ， ＱＣ相 交 ． ２ 与
解
（）抛物线的解 １
一 ＇
析式为Ｙ ＋ ２ ＝ ；一．
ｊ ｊ
（ ）解 如 图，过点 Ｐ作平行于 轴的直线交 ３
常考虑的方法有 ：① 口 ≥ ０，② Ｉ ０，③ √ ０ ａ Ｉ 口 ，
④ 运 用配 方法 求 二次三 项 式 的最值 ． 例 ２ 如 图 ，已知 正 比例 函数 和反 比例 函数 的 图
象都 经 过 点 Ｍ（２ ～ ），且 Ｐ一 ， ２ 为 双 曲线 上 的 一，１ （１一 ）
解 （ ） Ａ － ，） Ｂ ０ ２ ． １ （２ ３ ， （ ， ）
（ ） 当点 Ｐ 是 Ａ 的延 长 线 与 Ｘ轴 交 点 时 ， ２ Ｂ
一
解
（）正 比例 函数 解析 式为 Ｙ＝ ， １
ＰＢ ＝ ＡＢ ：
当点 Ｐ是 ｘ 上又 异于 Ａ 轴 Ｂ的延 长线 与 Ｘ 的交 轴
反 比例 函数 解析 式为 Ｙ＝ ． 二
点时 ， 点 Ｐ ， Ｂ构 成 的三 角形 中 ， Ａ—Ｐ 在 Ａ， Ｐ Ｂ＜Ａ Ｂ．
综 上所述 ： Ｐ Ａ—Ｐ Ｂ≤Ａ Ｂ．
（）设Ｑｍ， ） ２ （ ÷ｍ ，
（ ）作 直线 Ａ ３ Ｂ交 ｘ轴于 点 Ｐ ，由 （ ）可知 这 ２ 时Ｐ Ａ—Ｐ Ｂ最大 ，点 Ｐ就 是所 求 的点 ．
说 明理 由 ；
意 一 点 ，求证 ： Ｐ Ｐ Ａ～ Ｂ≤Ａ Ｂ．
（）如 图 ，当点 Ｑ在第 一象 限中 的双 曲线 上运 ３
动 时 ，作 以 Ｏ Ｐ， Ｏ Ｑ为邻 边 的平 行 四边 形 Ｏ Ｃ ， ＰＱ
求平 行 四边 形 Ｏ Ｃ Ｐ Ｑ周 长 的最小 值 ．
（） 当 Ｐ ３ Ａ—Ｐ Ｂ最大 时 ，求 点 Ｐ的坐标 ．
一
论 等能 力 ．本 文拟 剖 析 近 两年 中考 数 学试 题 中有 关 函 数 的动 点 最值 问题 ，希 望 从 中寻 找 出解 决 该 类 问
题 的基 本方 法 ．
１ ．运用几何性质解函数 的动点最值问题 利用几何性质解 函数的动点最值问题 ，常考虑 的 性 质有 ：① 三 角 形 的三 边 关 系 ：两 边 之 和 大于 第
． ， 一 一 ．． （１一 ） ’ ． ．． 一 ，三 ． ． ： 。 ２ ・ Ｊ ＝ ‘ ． 尸
・ ． ．
的周 长最 小 ，这样 不但 使 问题 解 决 简捷 明快 ，受 到 事 半 功倍 的效 果 ，同 时也 揭 示 出数 学 美 的 本质 ，给
人 以美 的享 受 ，令人 回味无 穷 ． 综 上 所 述 ，求 函数 的动 点最 值 问题 ，常 常 考 虑 利 用 几何 性 质 、代 数 证 法 、 函数 性 质 、对 称 思 想 等
－
．
．
点 Ｑ的坐 标为 （ ，） （２ 一 ） ２ １或 一 ， １ ．
评 注 解 决 本 题 的 关 键 是 利 用 三 角 形任 意 两 边
之 差小 于 第三 边这 一性 质 ， 出 Ｐ 得 Ａ—Ｐ Ｂ＜Ａ Ｂ，结合 尸是 Ａ Ｂ的延长 线 与 Ｘ 交点 时 Ｐ 轴 Ａ—Ｐ Ｂ＝Ａ Ｂ，从 而 知 道 当点 Ｐ是 Ａ Ｂ的延 长 线 与 Ｘ轴 交点 时 ， Ｐ Ａ—Ｐ Ｂ
例 ３ 如 图 ，在 平 面直 角 坐 标 系 中 ， 顶 点 为
４ ．运用对称思想解函数的动点最值 问题 初 中数 学 的对 称 性 主 要 用于 图形 的变 换 、 折叠 以及寻求最短路径等 问题上 ．将对称性与函数动点
问 题 组 合 于 直 角 坐 标 系 中是 近 几 年 中考 命 题 的 亮 点 ，这 类题 能 比较全 面 考查 学 生 的创新 能 力、 几何 变换 能力 、探 究 问题 和解 决 问题 的能力 ．
２ １ 年第 １ ０１ ０期
福 建 中学数 学
Ｊ ＝一１ ３ （ Ｐ Ｑ ｍ＋ ｍ＋３ ：一 １ ＋３ ） ｍ２ ｍ２ ２ １
－
４ ７
＝
０，即 ， 兰＝０时 ，Ｏ 最小值 ４ ・ Ｑ的最小 ｚ 一 Ｑ有 ．．Ｏ ．
ｎ ・－． Nhomakorabea．
，
值 是 ２ 由勾股 定 理 得 ， Ｏ ． Ｐ＝√ ５， ．平 行 四边 形 ’ ．