有限元法的原理

权函数的积分为0。－－“加权余量法”的来由。
设加权函数为：wj ; w*j
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余数的定义：
目标函数：
wj R d w*j R d， j 1,2,....
加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 效果较好的、运用较多的是迦辽金法：
2/4 2.数值求解方法
1. 基本思想：
以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够 接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。
2. 基本方法：
尝试函数，基 函数，形函数
1. 假设一个近似解，该解为一组（形式上）简单函数 ψi 的线性组合
来表示，线性组合的系数就是一组待定系数 Ci
Fj
w jq d
虽然元素值还需要积分、 微分的求得，还难以借助 计算机求解，但至少化为
了代数方程组。
bj w*j s d
通过选择合适的加权函数 和尝试函数可以大大简化
矩阵元素的矩阵方程。
有限元方法就是如此
5. 加权余量法的进一步优化（边界条件的处理）
适当的选取加权函数，并对加权余数积分进行处理，可使某些边界条 件从加权余数的表达式中消失，从而简化矩阵方程及其系数的求解。
降了微分阶数，等于降了近似解（尝试函数）的连续性要求，从而扩展了 其选择范围
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
代入后：
Fj(R)
w j 2 d
w jq d
2
w
* j
n
d
2 w*j h d
w j
d
1 w j n d
2 w j n d
w jq d
令加权余数为0即可得到求解原微分方程的一组代数方程：
Fj(R) wj d wjq d 2 wjh d 0
j 1,2,3,...n
这里加权函数只有一个了，进一步，用迦辽金法，选加权函数为尝试函数本身
n
w j
，且有近似解表达式：
j
Ci i
i 1
n
j （
Ci
i）d ＝
n
Ci i i 1
简单函数，一般选用 简单形式的函数，一 旦选定就是已知的了
待定系数是真 正的求解目标
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设 法使其最小的方法。
加权余量法误差（即余数）的定义：
问题的自 由度
边场界域上内：: RR（）2
n
n
{[ w j( i )d]Ci}
{[
w*j ( i )d]Ci}
w jq d
w
* j
s
d
i 1
i 1
n
[ wj( i )d ] [ w*j( i )d ] Ci wjq d w*js d
i1
有j个代数方程， 通常等于待定系
数个数
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
的选取是有技巧的。
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
一般化偏微分方程： ( ) q
线性微分算子
() s
则其余数为：
R ( ) () ( ) q
R ( ) () ( ) s
令加权余数为0，构建代数方程：
n
其中： Ci i i 1
Fj(R) w j[( ) q] d w*j[ ( ) s] d 0
jq
d
2
jh
d
i 1
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
n
j （
Ci
i）d ＝
j
q
d
2
jh
d
i 1
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
n
[
j
i
d] Ci＝
jq
d
2
jh
d
i 1
对比简化前的代数方程：已经大大简化，关键是边界条件项全部消失，微积 分计算也降阶、简化
2.结合问题，写出余数表达式：
2
（）＝ Ci xi＝C1x1 C2 x2 i 1
：R （） （）
在x 0处：（）x0＝( C1x1 C2x2 ) x0
在x d处：（）xd＝( C1x1 C2 x2 ) xd
在x 0处：（）x0＝0
在x 0处：R
＝0
x0
在x d处：（）xd＝10
在x d处：R xd＝( C1d1 C2d 2 ) 10
2. 然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解 和近似解 间误差的目标函数 F
3. 用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了 待定系数，从而也就得到了问题的近似解。
2/4 2.数值求解方法
目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得构成近似解的待定系数。
C2d 2 0 ( C1d 2 C2d 3 10d ) d 2C1 d 2(1 d )C2 10d 0
3. 加权余量法－－例1
3. 加权余数表达式：
j 2时,又得到一个代数方程：
F2(R)
2 R
d
2 R
d
d 0
x2
( 2C2
)d
| x0 x2 ((C1x1 C2 x2 ) x0 0) d
wj＝w*j＝ j
即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数：
关于函数的函数， 称为：泛函数，或
泛函
Fj(R)
j
R
d
j R
d，
令 Fj(R) 0 则余数最小， 趋于
上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
通过尝试函数，简化加权余数后：
Fj(R)
w j (2 q) d
2
w*j
(
n
h)
d
w j2 d
w jq d
2
w
* j
n
d
2 w*j h d
j 1,2,3,.....n
上式第一项，由格林第一定律得：
w j2
d
w j d
1 w j n d
2 w j n d
3. 加权余量法－－例1
例1.两极电容板内部电场分布问题： 根据问题特点将3维问题简化为2维， 进一步简化为1维。 该问题是静态电场问题， 偏微分方程和边界条件：
2 0 0 0; d 10;
3. 加权余量法－－例1
加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解：
理论上任意选取， 操作中越简单越好
Ci xi＝C1x1
C2
x
2＝10 d
x
加权余量法求解流程：
1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定
系数，从而确定近似解
3. 加权余量法－－例1
该静态电场问题的真解（解析解：）
真解与近似解相同是由于尝试 函数选择的刚好，通常是有差 别的，如选用三角函数，但求 解过程会复杂，可见尝试函数
微分降阶，简化计算
还有积分（求 和），梯度
（差分），有 限元将作处理
对称矩阵，简化计算 根据情况源矩阵、边界矩阵可能为0
6. 简化后加权余量法 例2
例1中的静电场问题，变为两电极板接地，中间充满电荷。
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
对拉普拉斯方 程和帕松方程
问题适合
n
[
j
i
d]
Ci＝
jq
d
2
jh
d
i 1
代数方程写成矩阵形式：
对称矩阵，简 化计算
k11
3. 加权余量法－－例1
3. 加权余数表达式：
Fj(R)
j
R
d
j R
d，j
1,2
j 1时,得到一个代数方程：
F1( R ) 1R d 1R d
d
0 x( 2C2 )d
| x0 x( ( C1x1 C2 x2 ) x0 0 ) d
| xd x( ( C1x1 C2 x2 ) xd 10 ) d
第三讲
1.偏微分方程求解－－有限元法的原 理（加权余量法和变分法）
2
A
2A t 2
J
2
2
t 2
1. 解析法
应用范围有限，适用于理论求解，但有强烈的物理含义（常系数微分方程） 某些复杂问题，很考虑根本找不到解析解
2. 数值法
工程实际中应用广泛，复杂场域问题，但物理含义不很清楚。任何问题总可 以找到数值解（数学方法）
以有源静电场问题为例（帕松方程）
21
g
q
h
n 2
1
2
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
由近似解表述的加权余数为：
Fj(R) w j R d w*j R d
w j ( ) d w*j (（） （）) d
w j (2 2 ) d
1
w
* j
(（1）
| xd x2 ((C1x1 C2 x2 ) xd 10) d
2 3
C2 d
3
0
(C1d
3
C2d
4
10d
2
)
d 3C1
d3(2 3
d )C2
10d 2
0
3. 加权余量法－－例1
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解
解得：C1＝10 / d；C2＝0
2
近似解： （）＝
i 1
i xi (i 1,2)
n
2
Ci i Ci xi C11 C2 2 C1x1 C2 x2
i 1
i 1
2.结合问题，写出余数表达式：
: R 2 2
2C2
2 2 ( 2 Ci xi ) 2 (C1x1) 2 (C2 x2 )
i 1
0 2C2
2 0
3. 加权余量法－－例1
两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢 量的方程可以分解到各个分量上变为标量方程。
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法
在求解场域内，偏微分方程的真解为 ，近似解为 它由一组简单函数
ψi 的线性组合表达，表达中有待定系数 Ci 即：
近似解
问题的自 由度
2 w*j
n
d
2 w*j h d
w j d w jq d 2 w jh d
如
选取
加权
函数
：w
＝
j
w
*，则上式被大大简化
j
由于近似解在1类边界 上常数，所以此项为0
选取特殊加权函数后，两 项和为0
第二类边界条件也消失了，说 明已经自动满足了
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的 数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述
2
A
2A t 2
J
2
2
t 2
1 g(1)
t
2 (2) 2 h(2)
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
（1）)
d
注意余数的实质
2
w*j
(
n
（2）)
d
w j (2 q) d
1
w
* j
(（1）
g)
d
2
w
* j
(
n
h) d
n
其中近似解： Ci i ，理论上尝试函数可任意选，
i 1
但适当的选取（作限制）可简化计算,
常常选取 i，使得 ＝g，则第一类边界条件自动满足
可使上式第二项消失
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
系数矩
阵n×n
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
矩阵元素值：
K
ji
w j( i )d
w*j ( i )d
k12
k1 j
k1n c1
f1 b1
kij k ji j i d
ki1
kn1
ki2 kn2
kij knj
kin
c j
fj
b j
Βιβλιοθήκη Baidu
knn cn fn bn
f
＝
j
jq
d
bj
2
jh
d
小结：简化后1、2类边界条件自动满足； （尝试函数、加权函数选取）
2 （）
注意：一般余数并不表示近似解与真解间的代数差（场域内），加权余 量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数），来代表近似解 整体接近偏微分方程真解的程度。
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数，以使余数和该加