第29讲-平面向量的数量积及其应用(解析版)2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

第29讲-平面向量的数量积及其应用

一、 考情分析

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

二、 知识梳理

1.两个向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a

和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉.

(2)范围：向量夹角〈a ，b 〉的范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉.

(3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝π2，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .

2.向量在轴上的正射影

已知向量a 和轴l (如图)，作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1

，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.

OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l

，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos__θ.

3.向量的数量积

(1)平面向量的数量积的定义：

|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.

①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.

②模：|a|＝a·a＝x21＋y21.

③夹角：cos θ＝a·b

|a||b|＝

x1x2＋y1y2

x21＋y21·x22＋y22

.

④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.

4.平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

[微点提醒]

1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.

2.平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.

(3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.

三、 经典例题

考点一 平面向量数量积的运算

【例1-1】

（2020·汉中市龙岗学校高三其他（理））在锐角ABC 中，602B AB AC =︒-=，，则AB AC ⋅的取值范围为（ ）

A ．()0,12

B ．1

,124⎡

⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．(]0,4

D ．(]0,2

【答案】A

【解析】解：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，

∵602B AB AC BC =︒-==，，

∴13C （，），

设0A x （，）

∵ABC 是锐角三角形，

∴120A C +=︒，∴3090A ︒︒＜＜，

即A 在如图的线段DE 上（不与D E ，重合），

∴14x ＜＜，

则2211

24AB AC x x x （）⋅=-=--，

∴AB AC ⋅的范围为012（，）．

故选：A ．

【例1-2】

（2020·吉林省高三其他（文））设非零向量a ，b 满足3a b =，1cos ,3a b =，()16a a b ⋅-=，则b =（ ）

A

B C ．2 D 【答案】A 【解析】||3||a b =，1cos ,3a b 〈〉=

. 2222()9||||8||16a a b a a b b b b ∴⋅-=-⋅=-==，

||2b ∴=.

【例1-3】

（2020·福建省高三其他（文））点P 在以F 为焦点的抛物线24x y =上，5PF =，以P 为圆心，PF 为半径的圆交x 轴于,A B 两点，则AP AB ⋅=（ ）

A ．9

B ．12

C ．18

D ．32

【答案】C

【解析】设()00,P x y ，

因为抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，5PF =，

所以015y +=，即04y =，因此200416x y ==，解得：04x =±，不妨取04x =， 则()4,4P ，

因此以P 为圆心，PF 为半径的圆的方程为：()()22

4425x y -+-=，

令0y =，解得：7x =或1x =，即圆()()224425x y -+-=与x 轴的两交点为()7,0，()1,0， 不妨取()7,0A ，()10

B ,， 则()3,4AP =-，()6,0AB =-，

因此18AP AB ⋅=.

【例1-4】

（2020·福建省高三其他（文））已知向量a ，b 满足1a =，3b =，2+7a b =，则b 与a b -的夹角为（ ）