2017届江苏省南京市高三年级学情调研数学试题

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）
1．{0，1}2．23．804．5．56．4
7．8．19.－1 10．611．3n－112．[－2，8]
13．14．[2，]
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
（1）若点P的坐标为(1，)，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率
e∈[，]，求实数λ的取值范围．
19．（本小题满分16分）
已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝．
……………………4分
从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．……………………6分
（2）由（1）知，S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．
S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)．……………………8分
由S′(x)＝0，解得x＝．
从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时，S′(x)＜0．
因此S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减．……………………11分
所以当x＝，S(x)取得最大值．
答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．……………………14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，
所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B．若点A的横坐标是，点B的纵坐标是．
（1）求cos(α－β)的值；
（2）求α＋β的值．
15．（本小题满分14分）
解：因为锐角α的终边与单位圆交于A，且点A的横坐标是，
所以，由任意角的三角函数的定义可知，cosα＝，
从而sinα＝＝．……………………2分
因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，
所以sinβ＝，从而cosβ＝－＝－．……………………4分
（1）cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B的正弦值为，求的值．
23．（本小题满分10分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响．现由甲先投．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．
南京市2017届高三年级学情调研
由题意，得4a＝8，解得a＝2．……………………2分
因为点P的坐标为(1，)，所以＋＝1，
解得b2＝3．
所以椭圆C的方程为＋＝1．……………………5分
（2）方法一：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．设Q(x1，y1)．
因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)．……………………7分
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．
（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．
17．（本小题满分14分）
如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Sm2．设∠AOC＝xrad．
参考公式：
柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2－x≤0}，则A∩B＝▲．
2．设复数z满足(z＋i)i＝－3＋4i (i为虚数单位)，
（3）当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点是x1和x2(x1＜x2)．
求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2．
南京市2017届高三年级学情调研
数学附加题2016.09
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ．
12．已知函数f(x)＝ 当x∈(－∞，m]时，f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m的取值范围是▲．
13.在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在AB上，＝．若·＝3，则AC的长是▲．
14．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝()x ．若存在
x0∈[，1]，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，则实数a的取值范围是▲．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB为圆O的一条弦，C为圆O外一点．CA，CB分别交圆O于D，E两点．
若AB＝AC，EF⊥AC于点F，求证：F为线段DC的中点．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是线段PC的中点．
（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；
（2）若点F在线段PB上，使得二面角F－DE－
数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
17．（本小题满分14分）
解：（1）因为扇形AOC的半径为40 m，∠AOC＝xrad，
所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．……………………2分
在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，
所以△COD的面积S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．
5．右图是一个算法的流程图，则输出k的值是▲．
6．设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b．
若a∥c，则实数x的值是▲．
7．某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某、地
出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是▲．
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1（a＞0）的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a的值是▲．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A＝，B＝，设M＝AB．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的特征值．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为＝2cosθ，直线l的极坐标方程为sin(θ＋)＝m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．
D．选修4—5：不等式选讲
解不等式|x－1|＋2|x|≤4x．
①求数列{bn}的通项公式；
②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R．
（1）当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
（2）当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；
＝×(－)＋×＝－．……………………8分
（2）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×(－)＋×＝．……………………11分
因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(，)，
所以α＋β＝．……………………14分
16．（本小题满分14分）
证明：（1）如图，连结A1C．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．
9．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是▲．
10．已知圆柱M的底面半径为2，高为6；圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为▲．
11．各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn．若a2－a5＝－78，S3＝13，则数列{an}的通项公式an＝▲．
南京市2017届高三年级学情调研
数学2016.09
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝＝－3．……………………14分
因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．
所以λ的取值范围为[，5]．……………………16分
方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．
因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)．……………………7分
因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y＝(x＋c)．
由得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．
因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，)．设Q(x1，y1)，
则x1＋c＝－，即－c－x1＝．……………………11分
因为＝λ，
所以λ＝＝＝＝＝＝－3．……………………14分
因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．
因为F1(－c，0)，所以＝(－2c，－)，＝(x1＋c，y1)．
由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1，
解得x1＝－c，y1＝－，所以Q(－c，－)．……………………11分
因为点Q在椭圆上，所以()2e2＋＝1，
即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，
因为λ＋1≠0，
则z的模为▲．
3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的汽车有▲辆．
4．若函数f(x)＝sin(ωx＋) (ω＞0)的最小正周期为π，
则f()的值是▲．
所以λ的取值范围为[，5]．……………………16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）设数列{an}的公差为d，则d＞0．
又AD平面ABC，所以CC1⊥AD．……………………8分
因为AD⊥DC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，
所以AD⊥平面BB1C1C．……………………10分
又BC平面BB1C1C，所以AD⊥BC．……………………12分
又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD．…………ห้องสมุดไป่ตู้………14分
又因为N为线段AC1的中点，
所以A1C与AC1相交于点N，
即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．………………2分
因为M为线段A1B的中点，
所以MN∥BC．………………4分
又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C．……………………6分
（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．