构造法解题一例
用构造法解题(含解答)+-
用构造法解题归类作者：贺峰当我们在对所碰到的数学命题认真的观察、仔细的分析前提下，依托所掌握的知识背景，充分发挥想像力，进行灵巧的构思，在已知与未知之间建立起一个优美的数学模型。
通过对此模型的研究，达到完成解决命题的目的。
这种方法称为构造法。
一、 构造几何图形通过构造图形去解决数学问题，充分体现了一种非常重要的数学思想方法：数形结合法。
“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，它们是数学的两大支柱。
数量关系抽象、几何图形直观。
将这两个既对立、又统一的概念巧妙地加以沟通，是研究、解决数学问题的一种重要的方法。
（1）构造直角梯形例1 设m ，n ，p 为正整数且的最小值。
求nm p p n m +=-+,0222 解：由题意，运用勾股定理的逆定理构造直角梯形，易知当m ≠n 时，AE ＞CD ，当m=n 时，AE=CD ，所以AE ≥CD 。
即0＜m+n ≤2p ，所以nm p +≥22即 nm p +的最小值为22。
（2）构造直角三角形例1 求22.50的正切函数值。
思路：我们可以借助450角的函数值，通过构造等腰直角三角形支解决。
同样这种题目也可以变为求150的正切值，请同学们自己支思考并解决。
（3）构造矩形例 1 凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，且AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FG 的长度为。
、、、、、232231225，求这个八边形的周长。
思路：凸八边形的每个内角都相等，那么它们应等于135度，每个角的外角都等于45度，我们可延长八边形的边AB 、EF 与CD 、GH ，得一矩形，矩形的四个角为等腰直角三角形，据等腰直角三角形的边的关系和矩形对边相等的关系不难求出凸八边形ABCDEFGH 的周长为2910+。
评注：如果是凸八边形的内角都相等，且知道连续四边的长，可借助矩形去解决。
（4）构造等腰三角形例1 如图所示，四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BA 、CD 的延长线分别交FE 的延长线于M 、N ，求证：∠AME=∠DNE 。
用构造法解题
构 造 单 位 圆
ｎ ６ｃ ｃ ６＋ ＋ ｃ ＞一１：
例 ４ 已 知 ｓｎ ＋ｓｎ Ａ ＋ｓｎ Ａ ：ａ． ｉＡ ｉ３ ｉ５
舭 较
图
当ｂ ｃ ＋ ≠０时
） ６ ｃ ｘ ｂ ＋ 为 关 ＝（ ＋ ） ＋ ｃ ｌ
ｃ ｓ ｃ ｓＡ＋ ｏ５ ６ 求 证 ： ｂ 时 ， ｏ Ａ＋ ｏ ３ ｃ ｓＡ＝ ． 当 ≠０
≠０ ｎ 时 ， ， ≠１ 易证ｑ － 故佴 一 …＜ １ １ ＇ ｌ ｌ ０ ＜ ＜ ＝
１ 所 以 （ 帆 ）＞ ＋ ， 当ｎ＝ 或 ｘ Ｏ时 ， ， １ “１ 艇 且 ｌ ＝
（托 ） １ ， １ ＋
了 １ －１ ０７ ＞－ ．
问 题 运 学模 型 ， 从而 找到 一 条绕 过障 碍 的新 途径 ． 田 证 明 （ ） ． １略
用 这种 依据 题 设 特点 ， 借 已知 条 件 中 的元 构 假
注： 对涉 及 正整 数ｎ 的不 等 式 ． 考虑 可
构造 数 列证 明．
素为 “ 件 ”依 托 已知数 学关 系 为“ 元 ， 支架 ” ．
常 解 规 法 劣 造
（） ２ ４ （ ） ｏ ｎ ＝ｈ＋ｂ ＋ Ⅱ ， 造 函 数 ｃ ｃ ＋１ 构
ｔ ｎ Ａ： ａ３ 旦
．
于 一 次 函数 ． （）６ ＋ｃ ｌ （＋ ） 的 ＿ １ ＝ 押 ６ ＋ ＝ １６ ・ 厂
构 造 方 程
榭
（＿） １ｃ．因为ｌｌ１ ｌｌ１所以ｌｂＯ１ ＜， ＜ ， ｂ ｃ ＋＞ ，一
ｂ
Ｊ
例 １设 实数 Ⅱｂ ｃ 足 （ ） （ ） ，， 满 ・
点 ． 过构 造 函数 并 利用 函数 知识 来 证 明 通 不 等式 问 题是 一 种有 效 的方 法．
应用“构造法”解题例析
应用“构造法”巧解数学问题例析河北省隆化县职业中学 曹瑞民（068150）构造法是初中数学的一种重要的数学方法，利用构造法可以巧妙的解决数学中的很多难题。
一、构造矛盾，巧证几何题例1、 求证：两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。
证明：如图1，已知∆ABC ，BD 、CE 分别是ACB ABC ∠∠,的平分线。
BD=CE ，要证AB=AC 。
假设AB ,AC ≠不妨设AB>AC,则有ACB ∠>ABC ∠ A因而ACE ∠>ABD ∠构造ECF ∠=ABD ∠. F设CF 分别交AB 、BD 于G ，则CEF BFG ∆≈∆。
E G D 即BF ：CF=BG ：CE但BF>CF ∴BG>CE B C BD>BG ∴ BD>CE (图1)这显然与已知BD=CE 相矛盾，故AB ≠AC 的假设不成立，而必有AB=AC 。
二、构造对偶式，巧求非对称式的值例2、设x 21x 是方程x 2＋5x ＋2=0的两根，不解方程；求21x x 的值。
分析：21x x 是非对称式，构造其对偶式12x x （即将21x x 中的2,1x x 互换位置）以后，组合成对称式再进行运算。
22124)5(2)(11,221212212122211221=--=-+=+=+∴==x x x x x x x x x x y y y x x y x x 则解：设即2y 2－21y ＋2=0,解之得 4175212,1±=y 三、构造方程，巧解几何最值问题例2、 如图2，平行四边形MNPQ 的一边在ABC ∆的边BC 上， A 另两个顶点分别在AB ，AC 上。
M H N 求证：平行四边形MNPQ 的面积的最大值为ABC ∆面积的一半。
分析：题设中出现两个相关图形——平行四边形，三角形；结论是证明面积最值问题，面积问题自然联想到作高AG ， 与两个图形面积有关的元素有四个：MN 、HG 、BC 、AG 。
构造法求数列通项公式典型例题解析
构造法求数列通项公式典型例题解析构造法是一种求解数列通项公式的技巧，它可以在给定数列中发现出某些共同的特征，从而构建出数列的通项公式。
这种技巧的本质是人们通过观察数列的特点，并尝试推测通项的类型、公式和系数，从而找到数列的通项公式。
二、构造法的应用1.比数列的通项公式对于等比数列来说，它的通项公式的结构为：a_n = a_1 q^(n-1)其中a_1是数列的第一项，q是数列的公比。
为了求出等比数列的通项公式，我们可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项乘以某个常数，也就是公比q得到的，所以q可以用以下的公式表示：q = a_2/a_1接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。
2.差数列的通项公式对于等差数列来说，它的通项公式的结构为：a_n = a_1 + (n-1)d其中a_1是数列的第一项，d是数列的公差。
为了求出等差数列的通项公式，我们也可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项加上某个常数，也就是公差d得到的，所以d可以用以下的公式表示：d = a_2 - a_1接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。
三、构造法的优点1.以让我们省去求解数列通项公式的一系列步骤，使用构造法求解数列通项公式的过程简单易懂，用时也短。
2.造法可以使我们更加清晰地观察数列的特征，从而更快地找到数列的通项公式。
3.造法可以使我们在求解特定的数列时，能够更加得心应手地把握数列的变化规律。
四、典型例题解析1. 例题一已知一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...(1)该数列的通项公式解：由题意可知，该数列是等差数列，我们可以用构造法求解。
我们可以观察数列的前几项，a_1 = 2, a_2 = 5，根据d = a_2 - a_1原理，我们可以求出公差d = 3.因此，该数列的通项公式为：a_n = 2 + (n-1)3，即a_n = 2 + 3n - 32. 例题二已知一个等比数列：2, 6, 18, 54, ...(1)该数列的通项公式解：由题意可知，该数列是等比数列，我们可以用构造法求解。
初中解题技巧之构造法专题
7.已知 (b-c)2=(a-b)(c-a)且a≠0，则 =______。
8.（2012•郴州）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．
（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
例2当x=_____时，分式 无意义；当x=______时，此分式的值为零。
解要使此分式无意义，只需x2-7x–8=0，解之得x1=8，x2=-1，即当x=8或x=-1时，该分式无意义。
要使该分式的值为零，只须分子x2–1=0且分母x2-7x–8≠0；由x2–1=0，得x=±1，但当x=-1时，分母x2-7x-8=0，分式无意义。故当x=1时，此分式的值为零。
综上所述，知 =2。
8.解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元，
y=20x+80（100-x）=8000-60x；（2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100-x），根据题意得：
100-x≥3x 20x+80(100-x)≤6620，
一．某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“方程” 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？
解：原方程整理得（a-4）x=15-b
∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0
分别解得a=4，b=15
二．构建几何图形
对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
数列构造法例题
数列构造法例题数列构造法是一种常用的数学解题方法，通常用于解决一些看似复杂或难以直接解决的问题。
其核心思想是将原问题转化为一个数列问题，通过数列的性质或规律来求解。
下面我将给出一个数列构造法的例题及其解答。
例题：求方程 (x^2 + y^2 = 2019) 在整数范围内的解的个数。
解答：首先，观察方程 (x^2 + y^2 = 2019)，我们注意到2019是一个奇数，因此它不能表示为两个整数的平方和（因为两个整数的平方和总是偶数）。
但是，如果我们考虑方程 (x^2 + y^2 + z^2 = 2019)，那么它可能有整数解。
为了找到这些解，我们可以尝试构造一个数列。
考虑以下数列：(1^2, 2^2 - 1, 3^2 - 2^2, 4^2 - 3^2, \ldots, n^2 - (n-1)^2, \ldots)这个数列的每一项都可以表示为 (n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1)，这是一个等差数列，其首项为1，公差为2。
现在，我们尝试将2019表示为这个数列中几项的和。
由于这是一个等差数列，我们可以使用求和公式来找到所需的项数。
等差数列的求和公式为：(S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n))其中 (S) 是数列的和，(n) 是项数，(a_1) 是首项，(a_n) 是第 (n) 项。
为了找到使 (S = 2019) 的 (n)，我们可以将 (a_n) 表示为 (2n - 1)，然后将 (S) 和 (a_1) 代入求和公式：(2019 = \frac{n}{2}(1 + 2n - 1))(2019 = n^2)由此，我们得到 (n = \sqrt{2019})，但因为我们只考虑整数解，所以 (n) 必须是整数。
最接近 (\sqrt{2019}) 的整数是44（因为 (44^2 = 1936) 且 (45^2 = 2025)）。
因此，我们可以将2019表示为前44项的和，加上最后一项 (45^2 - 44^2 = 89)。
构造法解题举例1
构造法解题举例构造法是解决数学问题的思想方法之一。
在解题时，除了运用常规方法外，还可以运用构造法解决，下面举例说明：一、 构造函数法例1、设a 、b 、c ∈R +且a+b>c ，求证：c c b b a a +>+++111 证明：∵a 、b ∈R + ∴b b a a +++11＞b a b b a a +++++11＝ba b a +++1 a+b ∈R +，c ∈R +且a+b ＞c 要证原不等式成立，只需证明函数f(x)=x x +1在(0，+∞)上是增函数即可 事实上f(x)=x x x +-+=+-+111111 设0<x 1<x 2，则1111x +-+＜2111x +-+即f(x 1) ＜ f(x 2)， 因此函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，于是得证例2、解不等式11213-+>+x x .解：构造函数f(x)=11213++-+x x ,则其定义域为{x|x ≥31-，x ∈R} 只要求出f(x)＞0的x 的取值即可，而f(x)=0无解，函数图象与x 轴无交点，取0∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,31，知f(0)=1＞0 ∴当x ≥31-时，f(x)＞0恒成立 ∴原不等式的解为{x|x ≥31-，x ∈R} 二、构造数列法例3、已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=3a n +2，求a n解：a n+1=3a n +2得a n+1+1=3（a n +1）故{a n +1}为首项a 1+1=2+1=3，公比q=3的等比数列∴a n +1=3·3n-1=3n ，故a n =3n -1 n ∈N*例4、若n ∈N*，求证：111312111+>+++++n n 证明：构造数列{x n }这里x n =111312111+-+++++n n 则 x n+1=22111312111+-+++++++n n n ∵x n+1-x n =0)21(212121>+++++=+-+++n n n n n n n∴x n+1＞x n ，即{x n }是单调递增数列，x n ＞x n-1＞…＞x 2＞x 1而x 1=22122111-=-+＞0，∴x n ＞0 即111312111+>+++++n n 三、构造恒等式法例5、求证：022110n k m k n m k nm k n m k n m C C C C C C C C C ++++=--+ 证明：构造恒等式(1+x)m+n =(1+x)m (1+x)n∵(1+x)m+n 展开式中x k 的系数是k n m C +(1+x)m (1+x)n 展开式中x k 的系数是022110nk m k n m k n m k n m C C C C C C C C ++++-- ，比较恒等式两边x k 的系数得：022110n k m k n m k n m k n m k n m C C C C C C C C C ++++=--+四、构造方程组例6：设f(x)=(x 2+x -1)9(2x+1)4，求：f(x)的展开式中奇数项系数和 解：设f(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 22x 22，分别赋值，让x=1和x=-1得 f(1)=a 0+a 1+a 2+…+a 22=81，f(-1)=a 0-a 1+a 2- a 3+a 4-…-a 21+a 22=-1设A= a 0+a 2+a 4+…+a 22，B= a 1+a 3+a 5+…+a 21，则得到方程组⎩⎨⎧-=-=+181B A B A 解得⎩⎨⎧==4140B A 因此f(x)的展开式中奇数项系数和为40五、构造复数例7：求函数f(x)=4)4(25)3(22+-++-x x 的最小值 解：设z 1=(3-x)+5i ，z 2=(x -4)+2i∵|z 1|+|z 2|≥|z 1+z 2|，∴4)4(25)3(22+-++-x x ≥|-1+7i|=25 即函数f(x)=4)4(25)3(22+-++-x x 的最小值为25。
构造法举例问题回答
构造法举例构造法是一种解决问题的方法，它可以帮助人们在解决问题时将问题分解成小的部分，并且通过分析和理解这些小的部分来找到解决问题的方法。
构造法可以应用于各种不同的问题领域，包括工程、数学、科学和计算机科学等领域。
一个常见的应用构造法的例子是在计算机科学中使用递归算法。
递归算法是通过将问题分解成较小的子问题来解决问题的方法。
每次递归时，算法会将问题规模减小，直到问题的规模足够小，可以很容易地求解。
例如，我们可以使用递归算法来计算斐波那契数列。
斐波那契数列是一个序列，其中每个数都是前两个数的和。
例如，斐波那契数列的前几个数字是 0、1、1、2、3、5、8、13、21，等等。
要计算斐波那契数列的第 n 个数字，我们可以使用以下递归函数：def fibonacci(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)在这个函数中，我们首先检查 n 是否为 0 或 1。
如果 n 是 0 或 1，我们可以直接返回它本身。
否则，我们可以将问题分解成两个较小的问题，分别计算斐波那契数列的第 n-1 个和第 n-2 个数字，然后将它们相加。
通过递归的方式，我们可以将复杂的问题分解成较小的子问题，并且每个子问题都可以很容易地求解。
通过找到子问题的解决方法，我们可以很容易地解决原始问题，并且避免求解较大的问题。
因此，递归算法是一种非常强大的解决问题的方法，可以应用于各种不同的领域。
除此之外，构造法还可以应用于工程领域。
例如，在建造大型建筑物时，建筑师需要将整个结构分解成小的部分，并且在每个部分中使用材料和支撑结构来实现它。
同样地，在编写软件代码时，程序员需要将整个程序分解成小的部分，并且在每个部分中使用不同的函数和算法来实现它。
总之，构造法是一种非常有用的解决问题的方法，可以应用于各种不同的领域。
通过将问题分解成小的子问题，并且通过理解每个子问题来找到解决问题的方法，我们可以避免求解较大的问题，并且提高解决问题的效率。
用构造法解题
用构造法解题构造法，即构造出使用公式或定理的条件，或对所解题目赋于几何意义，或构造出题目所满足的条件的具体事例来验证结论的正确性或推翻结论等手段来解题的方法，若在解题时能灵活运用，可收到事半功倍的效果.本文将结合几个典型的例题谈一谈用构造法解题的规律，以此抛砖引玉.一、数形结合，构造几何意义 例１．求函数xx y cos 2sin 1--=的值域. 分析：联想斜率公式为 1212x x y y k --= ，不妨把函数y 理解为过定点Ｐ( 2 , １ )和动点Ｑ(cos x, sin x )的直线Ｌ的斜率k 的取值范围.而点Ｑ又在圆Ｃ：x 2 + y 2 = 1上，设直线Ｌ的方程为：y －１= k (x －2)，直线Ｌ与圆Ｃ有公共点，由 ⎩⎨⎧-=-=+)2(1122x k y y x 消去y 得：0)44()42()1(2222=-+-++k k x k k x k ，再由 △＝ 0)44)(1(4)42(2222≥-+--k k k k k解得: 340≤≤k ，所以函数的值域为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0 例２．求函数1365222+-++-=x x x x y 的最小值. 分析：联想两点间距离公式，可将函数变形为：222)20()3()20()1(++-+-+-=x x y ，理解为Ｍ(x ，0)与Ａ(1，2)和Ｂ(3，－2)的距离之和. 又点Ｍ是x 轴上一动点，也即在x 轴上找一点Ｍ使Ｍ与Ａ的距离和Ｍ与Ｂ的距离之和最小值。
点Ａ和Ｂ分别在x 轴的上、下两侧，连ＡＢ与x 轴交点即为Ｍ，ＡＢ间距离就是函数的最小值，为 ()()52223122=++-注1、要灵活运用数形结合的方法，必须对解析几何中的公式及其各种变形有相当深刻的认识，也要对所求解的问题的数、式、形等特征有比较准确的把握. 敢于联想，善于联想是构造法的关键.二、构造平均值不等式例3．求函数y=sin2x cosx 的最大值分析：是乘积的形式，不难想到用基本不等式，可变形为y=2sinx cos 2x ＝2(1－sin 2x)sin x ，式中两个x 的余弦项一个是二次，另一个是一次，其和不是定值，再变形y=2934]sin )sin 1([2sin )sin 1(33222222=-=-x x x x 例4．已知a 、b ∈Ｒ＋，且a+b=1，求2121+++b a 的最大值. 分析：可将21+a 理解为 n m ⋅ ，其中m= a + 21 ，n =1，所以有 21+a 2121++≤a ；同理21+b 2121++≤b ，两式相加得 2121+++b a 223=++≤b a (等号成立的条件是a=b=1/2).若有兴趣，不妨再求 3121+++b a 的最大值. 注2：正确使用不等式求最值的关健是构造即凑定值（各项的和或积是定值），所用技巧一般有乘以一个常数、开平方（或开立方）再平方（或再立方），例3便是一典型例子；等号成立，既是正确解题的基础，也是分析问题的突破口（仔细体会例４及其思考题）.三、构造方程与函数例5． 已知(z －x)2－4(x －y)(y －z)=0，求证x ，y ，z 成等差数列.分析：由已知可知，关于t 的方程(x －y)t 2 + (z －x) t +(y －z)=0有两个相等的实根，易验证t １= t 2 =1是方程的根. 由韦达定理 1=t 1 ·t 2 = yx z y -- ，即x －y ＝y －z ，也即x ，y ，z 成等差数列. 例6．已知：(x+2y)5 + x 5 + 2x+2y=0，求x+y 的值。
专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)
专题06构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n k b b b a c a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列{}n a 中,12a =,21n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【解析】取以12a =为底的对数(不能取c 为底,因为1c =,不能作为对数的底数),得到1222loglogn n a a +=,122log 2log n n aa+=,设2log n an b =,则有12n n b b +=,所以{}n b 是以112log 1ab ==为首项,2为公比的等比数列,所以12n n b -=,所以12log =2n an -,122n n a -=.【经典例题2】数列{}n a 中,11a =,212n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取11a =为底数的对数了吧),得到12222loglogn n a a +=,12222log log 2log n n a a +=+,122log 12log n n a a +=+设2log n an b =,则有1=12n n b b ++,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出1+1=2(1)n n b b ++,所以{}1n b +是以111b +=为首项,2为公比的等比数列,所以112n n b -+=,所以1=21n n b --,12log =21n a n --,1212n n a --=.【经典例题3】已知12a =,点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图像上,其中*n N ∈,求数列{}n a 的通项公式.【解析】将()1,n n a a +代入函数得212n n n a a a +=+,()2211211n n n n a a a a ++=++=+,即()2111n n a a ++=+两边同时取以3为底的对数,得()()21111113333loglog log 2log n nn n a a a a ++++++=⇒=(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为113log a +,113a +=,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以(){}13log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,即()113log 12na n +-=⨯,1213n n a -+=,1231n n a -=-.【经典例题4】在数列{}n a 中,11a =,当2n 时,有2142n n n a a a +=++,求数列{}n a 的通项公式.【解析】由2142n n n a a a +=++,得21244n n n a a a ++=++,即()2122n n a a ++=+,两边同取以3为底的对数,得()212233loglog n n a a +++=,即()12233log 2log nn a a +++=,所以数列(){}23log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,()213log 2nan +-=,1223n n a -+=,即1232n n a -=-.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .【经典例题1】已知数列{}n a 满足()*12211,3,32n n n a a a a a n ++===-∈N ,求数列{}n a 的通项公式.【解析】由()1111322n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-⇒-=-,故{}1n n a a +-是以212a a -=为首项,2为公比的等比数列,即()112122n n n n a a a a -+-=-=,接下来就是叠加法啦,1121...22n n n a a a a --⎫-=⎪⎬⎪-=⎭全部相加得:122nn a a -=-,所以21nn a =-.【经典例题2】已知数列{}n a 中,11a =,22a =,212133n n n a a a ++=+,求数列{}n a 的通项公式。
学会使用构造法，巧解初中几何题
学会使用构造法，巧解初中几何题
辅助线在几何的解题中应用非常广泛，在解题时，正确的添加辅助线，可以挖掘题目中隐藏的条件，让我们在解题的过程中，有一种“柳暗花明”的感觉，不知同学们是否有过这种体会？
今天我分享一种辅助线的作法——构造法，那么什么是构造法呢？我想就是根据题目中的已知条件，构造成我们熟悉的图形，如含30º角的直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。
再利用这些特殊图形的相关结论、性质对问题进行求解。
下面结合例题进行详细讲解
例1.构造等腰三角形
如图，AB//CD，∠1=∠2，E是BC的中点。
求证：AD=AB+CD。
证明:延长DE与AB的延长线交于点F
∵AB//CD，∠1=∠2
∴∠2=∠F=∠1，∠EBF=∠DCE
又∵E是BC的中点
∴CE=BE
∴△DCE≌△FBE(AAS)
∴D C=BF
∵∠1=∠2
∴AD=AF=AB＋BF
∴AD=AB＋CD
[思路小结]
根据题意，要求不在同一条直线上的线段和相等，我们必须将线段转化到同一条直线上，再证明相等就容易多了。
本题就是利用构造法，通过作辅助线构造一个等腰三角形，利用等腰三角形两个底角相等，那么底角所对应的边也相等的性质，将三个线段转化到一条线段，再求解。
例2.构造30º的直角三角形
[思路小结]
通过作辅助线延长CD至E，使DE=DC，连接BE；构造直角三角形，证明△BDE≌△ADC，BE=AC，∠E=∠ACD=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BE=2BC，最后得AC=2BC.
例3.构造等边三角形。
构造法举例
构造法举例构造法是一种解决数学问题的方法，它可以通过构造出一个合适的对象来证明所要证明的结论。
下面我们来举几个例子。
例一：证明所有奇数的平方都是奇数。
我们可以通过构造来证明这个结论。
假设n是一个奇数，那么n可以表示为2m+1的形式，其中m是一个整数。
那么n的平方可以表示为 (2m+1)^2=4m^2+4m+1 的形式，显然它是一个奇数。
例二：证明对于任何正整数n，都存在一个质数p，使得p>n。
我们可以通过构造来证明这个结论。
假设存在一个正整数n，对于所有的质数p，都满足p<=n，那么考虑p1,p2,p3,...,pk是所有小于等于n的质数，那么n!+1不是质数，因为它可以被p1,p2,p3,...,pk 中的某一个质数整除，但是这个质数不在p1,p2,p3,...,pk中，因为它比它们都大。
例三：证明正整数n可以表示为三个整数的平方和的形式当且仅当n不是形如4^k(8m+7)的数。
我们可以通过构造来证明这个结论。
首先证明当n不是形如4^k(8m+7)的数时，n可以表示为三个整数的平方和的形式。
对于任意的正整数n，有n=1^2+n^2+0^2，因此n可以表示为三个整数的平方和的形式。
接下来证明当n是形如4^k(8m+7)的数时，n不能表示为三个整数的平方和的形式。
假设n可以表示为a^2+b^2+c^2的形式，其中a,b,c为正整数。
那么取模4，显然a^2+b^2+c^2模4的余数只能是0,1,2,3中的一个，而形如4^k(8m+7)的数模4余数为3，因此n不能表示为三个整数的平方和的形式。
通过构造法，我们可以将抽象的数学问题转化为具体的对象，从而更加直观地理解和证明数学结论。
最不利构造解题技巧
最不利构造解题技巧解题技巧是提高解决问题能力的重要方式。
在解决复杂问题时，我们经常需要采用最不利构造解题技巧来找出问题的本质，这是一种高效的思维方法。
本文将介绍最不利构造解题技巧，并提供相关的应用示例。
一、最不利构造解题技巧概述最不利构造解题技巧是一种通过寻找问题的最坏情况，以揭示问题的本质和关键点的思维方法。
通过假设问题发生最不利的情况，我们可以更全面地分析和解决问题，以确保提供可行的解决方案。
二、最不利构造解题技巧的应用最不利构造解题技巧可应用于各种问题领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。
下面将以数学问题为例，介绍最不利构造解题技巧的应用。
例1：最不利构造法求解不等式对于不等式问题，我们可以通过最不利构造解题技巧来找到不等式的最小值或最大值。
以求解不等式 "x^2 + 3x + k > 0" 为例，我们可以假设不等式的解最小化，即取等号的情况。
假设 "x^2 + 3x + k = 0"，我们可以通过求解方程得到最不利情况下的解。
解方程 "x^2 + 3x + k = 0" 的求解结果为 x = (-3 ± √(9 - 4k)) / 2。
为了使不等式 "x^2 + 3x + k > 0" 成立，我们需要使 k 的取值范围满足不等式 9 - 4k > 0。
通过分析求解结果，我们得出结论：在不等式 "x^2 + 3x + k > 0" 中，当 k < 9/4 时，不等式成立。
因此，我们可以得出结论：不等式 "x^2 +3x + k > 0" 的最小解为 k < 9/4。
通过最不利构造解题技巧，我们在求解不等式问题时通过假设最小解来确定问题的解空间，进而得到问题的解答。
例2：最不利构造法求解最短路径问题最不利构造解题技巧在图论中也有广泛的应用，例如求解最短路径问题。
高考数学-构造法求数列通项7例
高考数学-构造法求数列通项公式7题例1 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3……)，求a n .例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n-1=0(n ≥2);a 1=21,求通项a n .例3 已知函数f(x)=42-x (x ≤-2).(1)求f -1(x),(2)若a 1=1,a n =-f -1(a n-1),求数列{a n }的通项公式.例4 已知函数f(x)=(x +2)2(x>0),设正项数列{a n }的首项a 1=2,前n 项和S n 满足S n =f(S n-1)(n ≥2且n ∈N *),求通项a n .例5 已知数列{a n }中,a 1=1,且a n+1=3a n -1(n ∈N *),求a n .例6 已知正项数列{a n }的前项和S n 满足S n =21(a n +n a 1)，求通项a n .例7 已知数列{a n }中，a 1=2,a n =2211+--n n a a (n ≥2)，求通项a n .构造法求数列通项公式7题答案例1 解析：∵a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n∴(n+2)S n=n(S n+1-S n )，整理得nS n+1=2(n+1)S n ,即11++n S n =2·nS n，故数列{nS n}是以11S =a 1=1为首项，2为公比的等比数列，即nS n=2n-1,S n =n ·2n-1，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n ·2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2,当n=1时也适合，故a n =(n+1)·2n-2n ∈N *.例2 解析:当n ≥2时, a n =S n -S n-1=-2 S n S n-1,两边同除以S n S n-1得nS 1-11-n S =2,又11S =11a =2, ∴数列{nS 1}是以2为首项,2为公差的等差数列,则nS 1=2+2(n-1)=2n, S n =n 21,由a 1=21, n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 21-)1(21-n =- )1(21-n n ,二式不能合并.例3 解析:(1)f -1(x)=-42+x (x ≥0),(2)由a n=-f-1(a n-1),∴a n =421+-n a ,两边平方得an 2-a n-12=4,∴数列{a n 2}是以a 12=1为首项,公差为4的等差数列,∴a n 2=1+(n-1)4=4n-3,又a n >0,∴a n =34-n .例4解析:∵a n >0,∴S n >0,由S n =f(S n-1)=(1-n S +2)2两边开方得nS =1-n S +2,∴数列{n S }是以1S =1a =2为首项,公差d=2的等差数列,即nS =2+(n-1)2=2n,则S n =2n 2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-2,当n=1时,a 1=2也适合上式,故a n =4n-2(n ∈N *). 例5 解析:设a n+1+x=3(a n +x),则a n+1=3a n +2x,又a n+1=3a n -1,则2x=-1,即x=-21,故而a n+1-21=3(a n-21),则数列{a n-21}是以首项a 1-21=21,公比为3的等比数列,∴a n-21=21·3n-1,即a n=21·3n-1+21.例 6 解析：由S 1=a 1=21(a 1+11a )得a 1=1，又a n =S n -S n-1(n ≥2)∴S n =21(a n +na 1)=21(S n -S n-1+11--n n S S )可得S n +S n-1=11--n n S S ，即S n 2-S n-12=1,∴数列{S n 2}是首项为S 12=a 12=1,公差为1的等差数列.∴S n 2=1+(n-1)·1=n ，又S n >0，∴S n =n ,当n ≥2时，a n=S n-Sn-1=n -1-n ,当n=1时，a 1=1也适合，故通项a n=n -1-n .例7 解析：由题意知a n ≠0，在a n =2211+--n n a a 两边同时取倒数得，n a 1=1122--+n n a a =11-n a +21,即n a 1-11-n a =21,∴数列{na 1}是首项为11a ，公差为21的等差数列，∴n a 1=21+(n-1)21=2n , 则a n=n2.。
巧用构造法解题
四、构造图形 解题时,欲解(证)的问题通过几何图形描绘出来, 不仅可使问题简捷获解,而且还能给我们提供有 效的几何直观,加深对问题实质的理解。
五、构造数列 在求递推数列的通项时,我们常常是将数列 的递推式通过恒等变形后,构造一个新的等 差或等比数列求通项。
例10、已知 a1=1,a2=2,且an+2=3an+1-2an(n∈N+), 求数列的通项公式。
x+y=0
联立③、④得方程组: 解这个方程组 Nhomakorabea:x=y=0 故原命题成立。
y-x=0
二、构造函数 解题时,适当地构造一个函数,利用函数性质,往往 能使问题的解答简捷明了。
例3:已知a、b、c是△ABC的三边,S是△ABC的 面积。求证a2+b2+c2≥4 3 S
证:设AD是△ABC底边BC上的高,AD =h,BD=m ,DC=n。(如图)
六、构造复数
n 1 2
例6 已知关于x的方程 x2-(2a+1)sin(cosx)+1-4a2=0 有唯一实数解，求实数a的所有取值
三、构造恒等式 在解决某些较为复杂的疑难问题时,如果我们 选择构造一个重要的恒等式,然后借助恒等式来 解题,则往往会使问题出奇制胜获解。
例7:求证 (x+y+z)3=(-x+y+z)3十(x-y+z)3 +(x+y-z)3+24xyz
例4:求证2n ≥1+n
2
n1
构造函数f(x)=xn-1 由于 f(x)=(x-l)(xn-l+xn-2+…x+l) ≥(x-l)·n n x n 1· x n 2 x 1 =(x-1)· n
高考核心解题方法总结—第七期【构造法】-解析版
c
2
练习 1：若实数 m, n, l 满足 m n 8 和 mn l 2 16 0 两式，求证： m n l 0
m n 8
证明：讲已知条件变为：
m
n
l2
16
，
故 m,n 是一元二次方程 x2 8x (l 2 16) 0 的两个实数根。
由 82 4 l 2 16 4l 2 0 ，知 l 0, 0 。
△ ABD 的面积，则 S1 S2 S3 的最大值是
.
解析：把图形补成长方体，从而可得长方体的体对角线为球的直径长，设三边长为：x ，y ，
z
，所以
S1
1 2
xy
，
S2
1 2
xz
，
S3
1 2
yz
，又∵
x2
y2
z2
2r 2
4
所以： 4
x2 y2
x2 z2 2
z2 y2
xy yz zx ，故 S1 S2 S3 的最大值为 2；
一解 x 2 ．仿照此解法可得到不等式： x6 (2x 3) (2x 3)3 x2 的解是
．
解析：把不等式 x6 (2x 3) (2x 3)3 x2 变形，
得到： x6 x2 2x 33 (2x 3) ，构造函数 f x x3 x ， 因为 f x 在 R 上为增函数，故 f u f v u v ， 于是可得： x2 2x 3 x ,1 3,.
整理得： cos2 C cos( A B) cos C 2 y 0 ，这可视为关于 cos C 的一元二次方程。
C 为 ABC 的内角， cos C 为实数， cos2 A B 8 y 0
则 8 y cos2 A B 1 ，得 y 1 ，即结论成立。
高中数学：用构造法解题
⾼中数学：⽤构造法解题
1、直接构造
例1、求函数的值域。
分析：由于可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最⼤、最⼩值。
解：令，则表⽰单位圆
表⽰连接定点P（2，3）与单位圆上任⼀点（，）所得直线的斜率。
显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆⼼（0，0）到这条直线的距离为1，即
所以
故
例2、已知三条不同的直线，，共点，求的值。
分析：由条件知为某⼀元⽅程的根，于是想法构造出这个⼀元⽅程，然后⽤韦达定理求值。
解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造⽅程，即
（*）
由条件知，均为关于的⼀元三次⽅程（*）的根。
由韦达定理知
2、由条件⼊⼿构造
例3、已知实数x，y，z满⾜，求证：
分析：由已知得，以x，y为根构造⼀元⼆次⽅程，再由判别式⾮负证得结论。
解：构造⼀元⼆次⽅程
其中x，y为⽅程的两实根
所以
即
故△＝0，即
3、由结论⼊⼿构造
例4、求证：若，，则
分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造⼀个恒不等式。
所以左边
故原式得证。
例5、已知实数x，y满⾜，求证：
分析：要证原式成⽴，即证
即证
由三⾓函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的⾯积之和，⽽单位圆的⾯积为，所以。
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构造法解题一例
构造法解题是数学中常用的一种解题思路，是深入分析、正确思维以及丰富联想的产物，请看下面的这道例题：
例：正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足条件a+A=b+B=c+C=k
求证：aB+bC+cA<k 2
证明一：这是一道代数不等式的证明题，可用代数法求解。
将条件式代入，有a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)<k 2，且有a 、b 、c ∈(0，k)
即：(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k 2<0
当k-a-b ≥0时，运用放缩法，取c=k ，则左边≤-ab<0；
当k-a-b<0时，运用放缩法，取c=0，则左边≤-(k-a)·(k-b)<0
得证。
下面我们可用构造法，将数形结合，得出此不等式的巧妙证法。
证明二：由求证的不等式联想到面积关系，由所设条件联想到构造以边长为k 的正三角形，如下图所示：
c
b a
C
B A L N
M Q P
由S △LRM +S △MPN +S △NQL <S △PQR 即证。
证明三：由求证的不等式联想到面积关系，由题设条件式联想到以边长为k 的正方形。
如下图所示。
bC
cA aB B b c b
a
C B
A
由图即证。
证明四：以上两种证法是联想到面积，那么联想到体积可以吗？
不妨构造棱长为k 的正方形，则有
k 3=(a+A)·(b+B)·(c+C)ss=abc+ABC+k(aB+bC+cA)
显然k 3>k(aB+bC+cA)
得证。
证明五：还可联想函数式，构造以c（或a或b）为变量字母的一次函数式： f(c)=(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k2 (0<c<k)
此函数式的图象是无端点的线段，且f(0)<0，f(k)<0
∴f(c)<0
得证。