高中数学人教A版必修第一册《.诱导公式(第二课时)》课件
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5.3 诱导公式
第二课时
新知探究
问题1 通过圆关于原点、x轴、y轴对称，我们得到了诱导公 式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对 称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．
公式二
sin（π＋α）＝－sin α， cos（π＋α）＝－cos α，
tan（π＋α）＝tan α．
2
2
证明：（1）sin( 32π
α)
sin
π
(
π 2
α)
sin(
π 2
α)
cos
α；
（2）cos(
3π 2
α)
cos
π
(
π 2
α)
cos(
π 2
α)
sin
α
．
高中数学人教A版(必)必 修修 第第 一一 册《册《 .诱.诱导 导 公公 式式 （ （ 第第 二二 课 课 时时 ））》 》 课课 件件
新知探究
追问1 如图，点P1关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角β与 角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？
β 2kπ ( π α)(k Z) 2
公式五
sin( π α) cos α 2
cos( π α) sin α 2
新知探究
追问2 如图，点P1关于直线y＝x的对称点P5，再作P5关于y轴的对称 点P6，又能得到什么结论？以OP6为终边的角β与角α有什么关系？角β 与角α的三角函数值之间有什么关系？
sin（37°＋α）的值．
所以cos β＝ 1 sin2 θ ＝ 1 (1)2 ＝ 2 6 ．
5
5
所以sin（37°＋α）＝sin γ＝ 2 6 ． 5
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0～2的角的三 角函数
用公式二或四、五、六
锐角的三角函 数
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新知探究
例1 证明：（1）sin(3Байду номын сангаас α) cos α ；（2）cos(3π α) sin α ．
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新知探究
例3 已知sin（53°－α）＝ 1 ，且－270°＜α＜－90°，求 5
sin（37°＋α）的值．
cos(π α)sin(3π α)sin(π α)sin(9π α)
2
解：原式
sin 2
α cos α
cos(
π 2
α)
(cosα)sin α(sin α)sin( π α)
sin α cos α
tan α ．
2
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由sin β＝1 ＞0，得143°＜β＜ 180°． 5
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新知探究
例3 已知sin（53°－α）＝ 1 ，且－270°＜α＜－90°，求 5
β 2kπ ( π α)(k Z) 2
公式六
sin( π α) cos α 2
cos( π α) sin α 2
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新知探究
追问4 除了上面的两次对称关系，角 π α 的终边与角α的终边还具 2
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新知探究
sin(2π α)cos(π α)cos( π α)cos(11π α)
例2
化简：
2
2
．
有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？
角α的终边旋转 π 角，就得到角 π α 的终边．
2
2
如图，由两个三角形全等易得点P8与P1坐标 间关系，进一步可得公式六．
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解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．
于是sin γ＝sin（90°－β）＝cos β．
因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜ 323°．
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β 2kπ ( π α)(k Z) 2
公式六
sin( π α) cos α 2
cos( π α) sin α 2
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新知探究
追问3 如图，点P1关于直线y＝x的对称点P7，再作P7关于y轴的对称 点P6，又能得到什么结论？以OP6为终边的角β与角α有什么关系？角β 与角α的三角函数值之间有什么关系？
新知探究
问题2 回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化 为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五 或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如 图所示可以在变成锐角的过程中发生作用．
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新知探究
问题2 回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化 为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五 或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？
任意角的三角 用公式三或一 任意正角的
函数
三角函数
用公式一
第二课时
新知探究
问题1 通过圆关于原点、x轴、y轴对称，我们得到了诱导公 式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对 称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．
公式二
sin（π＋α）＝－sin α， cos（π＋α）＝－cos α，
tan（π＋α）＝tan α．
2
2
证明：（1）sin( 32π
α)
sin
π
(
π 2
α)
sin(
π 2
α)
cos
α；
（2）cos(
3π 2
α)
cos
π
(
π 2
α)
cos(
π 2
α)
sin
α
．
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新知探究
追问1 如图，点P1关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角β与 角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？
β 2kπ ( π α)(k Z) 2
公式五
sin( π α) cos α 2
cos( π α) sin α 2
新知探究
追问2 如图，点P1关于直线y＝x的对称点P5，再作P5关于y轴的对称 点P6，又能得到什么结论？以OP6为终边的角β与角α有什么关系？角β 与角α的三角函数值之间有什么关系？
sin（37°＋α）的值．
所以cos β＝ 1 sin2 θ ＝ 1 (1)2 ＝ 2 6 ．
5
5
所以sin（37°＋α）＝sin γ＝ 2 6 ． 5
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0～2的角的三 角函数
用公式二或四、五、六
锐角的三角函 数
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例1 证明：（1）sin(3Байду номын сангаас α) cos α ；（2）cos(3π α) sin α ．
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例3 已知sin（53°－α）＝ 1 ，且－270°＜α＜－90°，求 5
sin（37°＋α）的值．
cos(π α)sin(3π α)sin(π α)sin(9π α)
2
解：原式
sin 2
α cos α
cos(
π 2
α)
(cosα)sin α(sin α)sin( π α)
sin α cos α
tan α ．
2
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由sin β＝1 ＞0，得143°＜β＜ 180°． 5
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例3 已知sin（53°－α）＝ 1 ，且－270°＜α＜－90°，求 5
β 2kπ ( π α)(k Z) 2
公式六
sin( π α) cos α 2
cos( π α) sin α 2
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追问4 除了上面的两次对称关系，角 π α 的终边与角α的终边还具 2
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新知探究
sin(2π α)cos(π α)cos( π α)cos(11π α)
例2
化简：
2
2
．
有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？
角α的终边旋转 π 角，就得到角 π α 的终边．
2
2
如图，由两个三角形全等易得点P8与P1坐标 间关系，进一步可得公式六．
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解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．
于是sin γ＝sin（90°－β）＝cos β．
因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜ 323°．
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β 2kπ ( π α)(k Z) 2
公式六
sin( π α) cos α 2
cos( π α) sin α 2
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新知探究
追问3 如图，点P1关于直线y＝x的对称点P7，再作P7关于y轴的对称 点P6，又能得到什么结论？以OP6为终边的角β与角α有什么关系？角β 与角α的三角函数值之间有什么关系？
新知探究
问题2 回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化 为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五 或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如 图所示可以在变成锐角的过程中发生作用．
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问题2 回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化 为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五 或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？
任意角的三角 用公式三或一 任意正角的
函数
三角函数
用公式一