2012年微分方程数值解考试题_A_

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北京邮电大学2011——2012学年第2学期

《微分方程数值解》期末考试试题A 卷

1.（15分）写出求解常微分方程初值问题0

00(,),,

()du

f t u t T dt u u ⎧=<≤⎪⎨⎪=⎩的欧拉（Euler）

格式，证明欧拉（Euler）法的局部截断误差的阶为2()O h .

2.（15分）若单步法1(,,)n n n n u u h t u h ϕ+=+中(,,)t u h ϕ 0(,t t T ≤≤00,h h ≤≤ (,))u ∈−∞∞关于u 满足Lipschitz 条件，即：

1212

(,,)(,,)t u h t u h L u u −≤−ϕϕϕ

其中L ϕ为与u，t 无关的常数。证明该算法稳定。

3.（15分）用待定系数法确定求解常微分方程初值问题0

00(,),,

()du

f t u t T dt u u ⎧=<≤⎪⎨⎪=⎩的

四步四阶显式格式1123555937924

()n n n n n n h

u u f f f f +−−−=+−+−.

4.（15分）对于两点边值问题2222422101310122(),(,)

(),().d u

x u x x dx

u u e ⎧−++=+∈⎪⎪

⎨⎪==+⎪⎩

1）推导上微分方程的中心差分格式。

2）假设求解区间上共有5个分点，即N＝4，写出求解该问题的中心差分格

式的矩阵形式。

5. (15分）推导初边值问题22000000(,),,(,)(),(,)(,),u u

a f x t t T t x u x x x l u t u l t t T φ⎧∂∂=+<≤⎪∂∂⎪⎪

=<<⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩

的向前差分格式和向

后差分格式。

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6. (15分）用有限体积法构造逼近方程

()u u k u k k f x x y y ⎡⎤

⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞−∇∇=−+=⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦

i

第一边值问题|(,)u x y αΓ=的五点差分格式，这里0min (,)k k x y k =≥>. 7.(10分) 学习完本课程后，你最大的收获是什么？请结合实际谈谈你对本课程的看法以及将来学习的展望。