竖直、水平面内圆周运动中的临界问题和周期性问题

水平面内圆周运动中的临界问题

一、圆周运动问题的解题步骤：

1、确定研究对象

2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径

3、分析研究对象的受力情况，画受力图

4、确定向心力的来源

5、由牛顿第二定律r T

m r m r v m ma F n n 222)2(π

ω====……列方程求解 二、临界问题常见类型：

1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有

绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动

三、竖直面内的圆周运动的临界问题

1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力

① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：

mg=mv 2

/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力

②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）

例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=，绳子长度为l=60cm ，求：

（g 取10m/s 2

）

A 、最高点水不留出的最小速度

B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力 答案：（1）s m /6 （2）

变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少小球的受力情况分别如何(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少

2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：

汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度

gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，

因为桥面不能对汽车产生拉力．

例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。今给小物体一个水平初速度0v Rg = ）

A.沿球面下滑至 M 点

B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动

3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题

物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态．

（一）轻杆模型

如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动．

(1)能过最高点的临界条件是：0v =．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力mg N =．

(2)当0v Rg

mg O

(3)当v Rg =时，N ＝0，此为轻杆不受弹力的临界条件． (4)当v Rg >

时，N 随v 的增大而增大，且N 为拉力指向圆心，

例3、如图所示，有一长为L 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C 点位于O 点正下方，且到O 点的距离为1.9L 。不计空气阻力。(1)求小球通过最高点A 时的速度v A ;(2)若小球通过最低点B 时，细线对小球的拉力T 恰好为小球重力的6倍，且小球经过B 点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C 点的距离。

解：(1)小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A 点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有：

mg=

2A v m

L

解得:

A v gL =。

(2)小球在B 点时根据牛顿第二定律有

T-mg=m 2

B v L

其中T=6mg

解得小球在B 点的速度大小为vB=

5gL

细线断裂后，小球从B 点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得:

竖直方向上1.9L-L=21gt

2

(2分) 水平方向上x=vBt

(2分) 解得:x=3L

(2分)

即小球落地点到C 点的距离为3L 。 答案:(1)

gL

(2)3L

㈡管道模型

质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r 远小于球的圆周运动的半径R)，如图所示．小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况：

(1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为Rg v =

．

(2)当Rg v <时，对下管壁有压力，此时R

v m mg N 2

-=，故mg N <<0。

(3)当Rg v >时，对上管壁有压力，此时mg R

v m N -=2

。 实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型．

例4、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0。设A 球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1，m 2，R 与v 0应满足关系式是 。 解：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A 球在圆管最低点必受向上弹力N 1，此时两球对圆管的合力为零，m 2必受圆管向下的弹力N 2，且N 1=N 2。 据牛顿第二定律A 球在圆管的最低点有：

R v m mg N 2011=- 同理m 2在最高点有： R

v m mg N 2

122=+

m 2球由最高点到最低点机械能守恒： 2

221222

1212v m v m gR m =+

21N N =

由上述方程可得：1

2120)5(m m gR m m v -+=

【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。 四、水平面内圆周运动中的临界问题： 解决圆周运动中临界问题的一般方法 1、对物体进行受力分析

2、找到其中可以变化的力以及它的临界值

3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值

4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值

例5、水平转盘上放有质量为m 的物快，当物块到转轴的距离为r 时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度是多大

解：由

r m mg 2

ωμ= 得：

r g

μω=

O’

A