数学分析练习题1.1

练习题1.1

January 21,2013

1

第一章实数和数列极限1.1

数轴1.1.1反证法。设r =m

n 是有理数，w 是无理数。

若r +w =p

q ，则w =p q −m n =pn −qm qn 为有理数，与题设相悖

联系“有理数域”的概念，即加减乘除四则运算封闭，用反证法。

1.1.2根据“对任意实数，总有r n →x ”，仿照本节的方法构造一个有理数列p

q q →∞即得证；利用此有理数列和例1的结论构造p <√p 2+1

1.1.3反证法。3√2=m

n 于是m 3=2n 3,利用奇偶性：m 为偶数则m 3=(2p )3=2n 3，4p 3=n 3n 也为偶数；

而m

约分为最简形式后不可能都为偶数。

1.1.4反证法。利用例1的结论，(√2+√3)2=5+2√6不是完全平方数，即得证。

1.1.5

(0,0)是有理点。反证法。直接展开，x 2−2√2x +y 2=0，按照第1题结论，上式左边是无理数，而右边是

零。1.1.6

当ab ≤0时，取等号；当ab >0时，||a |−|b ||

a ，

b 符号相同，则a >0。1.1.8

数轴上，x 到−1的距离小于其到1的距离。1.1.9归纳法。n =2时成立，设|n ∑i =1a i | n ∑i =1

|a i |，于是|

n ∑i =1a i |=|n ∑i =1a i +a n +1| |n ∑i =1a i |+|a n +1| n ∑i =1|a i |+|a n +1|=n +1∑i =1|a i |1.1.10按a b,a =b 讨论即证。max (a ,b )=a +b 2+|a −b |2表示从a,b 的中点出发，向前（数轴正向）一半的a,b 间距，正好是a,b 中较大者。min (a ,b )=a +b 2−|a −b |2表示从a,b 的中点出发，向后（数轴负向）一半的a,b 间距，正好是a,b 中较小者。1.1.11证明：

m a i b i

M b i m a i Mb i m n ∑i =1b i n ∑i =1a i M n ∑

i =1b i

因为b1,b2,···,b n都是正数，

n

∑

i=1

b i>0,所以

m

a1+a2+···+a n

b1+b2+···+b n

M

1.1.12归纳法。n=2显然；设(1+x)n>1+nx,又x>−1,则

(1+x)n(1+x)>(1+nx)(1+x)>1+(n+1)x 1.1.13由对称性，只需考察0 x

x m(y n−x n)+y m(x n−y n) 0

(x m−y m)(y n−x n) 0