2018年高考秘籍-破解导数压轴题策略：1.导数不等式的证明-构造函数法

导数中的不等式证明

【考点点睛】 放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。

命题角度1 构造函数

命题角度2 放缩法

命题角度3 切线法

命题角度4 二元或多元不等式的证明思路

命题角度5 函数凹凸性的应用

在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.

【考点突破】

命题角度1 构造函数

【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数()ln 11,()x x ae f x g x bx x e x

=-=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直．

（1）求,a b 的值；

（2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x

+≥

． 【解析】（1）1a b ==-； （2）1()x e g x x e x =-

++，()2ln 1()10x x e f x g x x x x e x

+≥⇔---+≥， 令()()()2()1h x f x g x x x =+-≥，则

()ln 11x x e h x x x e x

=-

--+， ………﹝构造“左减右”的函数，并注意到()10h =﹞ ()2221ln 1ln 11x x

x e x e h x x e x x e -'=-+++=++， 因为1x ≥，所以()2ln 10x x e h x x e

'=++>， 所以()h x 在[)1.+∞单调递增，()()10h x h ≥=，即ln 110x x e x x e x

---+≥， 所以当1x ≥时，()2()f x g x x +≥． 【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.