实验6线性系统的根轨迹分析

自动控制理论实验

实验六线性系统的根轨迹分析

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153()134(22++++=S S S S S K S G ）（

实验六 线性系统的根轨迹分析

一、实验目的

1、掌握使用 MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法；

2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法。

二、 实验设备

Pc 机一台，MATLAB 软件。

三、实验内容

1、已知一负反馈系统的开环传递函数为

)15.0)(11.0()(++=S S S K

S H S G ）（ 求：1）绘制根轨迹。

2）选取根轨迹与虚轴的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益 K 的范

围 。

3）确定分离点的超调量Mp 及开环增益 K.

4）用时域相应曲线验证系统稳定的根轨迹增益 K 的范围

5）分析根轨迹的一般规律。

2、已知系统的开环传递函数为：

求：1）绘制系统的根轨迹，

2）选择系统当阻尼比 ξ =0.7 时系统闭环极点的坐标值及增益 K 值。

3）分析系统性能。

3、已知开环系统传递函数 )

2)(1(++=S S S K S G ）（ 求：1）根轨迹及其闭环单位阶跃响应曲线；

2）比较增加一个开环极点S=-3后，观察根轨迹及其闭环单位阶跃响

应的变化。

4、已知开环系统传递函数 )

1(+=S S K S G ）（ 求：1)根轨迹及其闭环单位阶跃响应曲线；

2）比较增加一个开环零点s=-2后，观察根轨迹及其闭环单位阶

跃响应的变化。

四、实验报告

1.1 根轨迹

图1

1.2 根轨迹虚轴交点

图2

由根轨迹图知，与虚轴交点 i=4.47，增益 K=12，故 0

当 K=12时，系统等幅振荡。

1.3 分离点超调量及超调增益

由图可知，分离点处 x=-0.945，Mp=0%，K=0.455，故 0

有超调，K=0.455为临界阻尼。

1.4 时域响应曲线验证

图3 K等于12时系统等幅震荡

1.5 根轨迹的一般规律

1）根轨迹3条，分别从起点（0,0）、（-2,0）和（-10,0）出发，随着k值从0→∞变化，趋向无穷远处。

2）位于负实轴上的根轨迹（-∞，-10）和（-2, 0）区段，其对应的阻尼ξ>1，超调量为0，系统处于过阻尼状态而且在远离虚轴的方向，增益k 增大，振荡频率ωn 随之提高，系统动态衰减速率相应加大。

3）在根轨迹分离点（-0.943，0）处，对应于阻尼ξ= 1，超调量为0，开环增益K = 0.455，系统处于临界阻尼状态。

4）根轨迹经过分离点后离开实轴，朝s右半平面运动。当根轨迹在分离点与虚轴这个区间时，闭环极点由实数点变为共轭复数极点，对应阻尼0 < ξ< 1，超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减振荡，而且越靠近虚轴，增益K 越大，阻尼越小，振荡频率ωn 越高，振幅衰减越大。5）当根轨迹与虚轴相交时，闭环根位于虚轴上，闭环极点是一对纯虚根（±j4.47），阻尼ξ= 0，超调量最大，系统处于无阻尼状态，其动态响应将出现等幅振荡。此时对应的增益K = 12，称为临界稳定增益。

2.1 根轨迹

图4

2.2 当阻尼比ξ=0.7 时系统闭环极点的坐标值及增益K 值

图5

当ξ =0.7 时，由上图可知K=0.281，坐标为（-0.164，±j0.167）此时的超调量约为

4.6%。

2.3 系统性能

1）在分离点 x =-0.13，阻尼比=1，M p 为0，此时K=0.0769，所以0

2）由根轨迹可知，无论K 的取值怎样变化，系统恒稳定。

3.1根轨迹及其闭环单位阶跃响应曲线

3.2比较增加一个开环极点S=-3后，观察根轨迹及其闭环单位阶跃响应的变化

将两次不同条件下的根轨迹与闭环单位阶跃响应的曲线画在一起，得到下图所示：

图6

图7

增加极点后，系统的超调量减小，变为过阻尼情况；根轨迹中多了一个开环极点使根轨迹多了一个起始点

4.1根轨迹及其闭环单位阶跃响应曲线

图8

图9

4.2比较增加一个开环零点s=-2后，观察根轨迹及其闭环单位阶跃响应的变化

图10

图11

增加开环零点后系统的超调量变小，阻尼比变大；使负实轴上少了一段根轨迹啊，多了一个汇聚点。