量子力学物理课程论文(对称性与守恒量的探究及其应用)

对称性与守恒量的探究及其应用

XX（61010XXX）

（东南大学吴健雄学院，南京 211189）

摘要：本文详细论述了量子力学中的守恒量和对称性的定义及相互之间的关系，并且与经典力学作了对比，以课本知识为基础，对其做了深入的探讨，清晰地展示了守恒量与对称性的推导，并且对二者的应用做了详细的介绍。

关键词：守恒量；对称性

The discussion and applications of the

conservation quantity and the symmetry

transformation

XX

(Chien-Shiung Wu College, Southeast University, Nanjing, 211189)

Abstract: The relationship between conservation quantity and symmetry transformation and the definitions of them was discussed, and they were also compared with ones in classical mechanics. Based on the content of textbook, the derivation of them was shown. Besides, the applications of them were also talked in the essay.

key words: The conservation quantity; The symmetry transformation

经典力学中守恒量与对称性之间存在的联系早在19世纪中叶就已被人们认识到，而守恒量与对称,性的密切联系及广泛应用是在量子力学建立以后才深入到物理学的日常语言中来的，找出了一个体系的守恒量，往往可以使问题的处理大为简化。因此，对守恒量和对称性的研究探讨是很有意义的。

1.守恒量

作者简介：XX

在经典力学中，守恒定律与体系对称性之间有密切联系。在一个体系中有的力学量是不随时间改变的，这种力学量称为守恒量。

对于用Lagrange函数描述的体系，如果在空间坐标平移具有不变性，则体系的动量守恒，若具有空间旋转不变性，则角动量守恒。Lagrange函数时间平移的不变性，将导致体系的能量守恒。

在量子力学发展以后，守恒定律与对称性的关系更为显著应用，这与态叠加原理有着密切的联系。与经典力学相比，量子力学关于对称性的研究，

大大丰富了对体系的认识。处理实际问题时，也能因找到某些守恒量，使问题求解简化。

1.1

守恒量的定义及判定

量子力学体系的一个不显含时间t 的物理量F ，

若与体系的哈密顿量H 对易，即[,]0F H =，则称F 是体系的一个守恒量。

守恒量在任意状态下（指在定态或者非定态下）的平均值都不随时间变化，即

0d F

dt

= （1） 所以守恒量的判定条件为：

ˆˆˆ[,]0F i H F t ∂+=∂

（2） 但一般来说，力学量算符一般都不显含t ，即等式的第一项为零，所以在量子力学中，看力学量是否与哈密顿量对易，即是否满足[,]0F H =即可，满足这个条件的即为守恒量。

1.2守恒量的特点及其与经典力学的比较

守恒量作为体系中一种特殊的力学量，有别于其他量的特点是：

(1)在体系的任何状态下（定态或非定态），它的各种可能测值（本征值）的几率都不随时间变化。只有在非定态且力学量为非守恒量时，力学量的几率分布及平均值分布才随时间变化。

(2)若在初始时刻体系出于守恒量F 的某一个本征态，则将继续保持该本征态。由于守恒量的这一特点，它的量子数称为好量子数。

(3)若在初始时刻体系并不处于守恒量F 的本征态，则以后也不处于F 的本征态，但测量F 的取值几率分布都不随时间变化。

与经典力学的比较：

(1)与经典力学不同，量子力学的守恒量并不意味着在任何状态ψ下都有确定的值。这是因为一个任意状态一般不是力学量F 的本征态，在状态ψ

中，F 没有确定的值。F 守恒是指在状态中，它的平均值不变，及取值的几率不变。如在中心立场中的无自旋粒子，其轨道角动量守恒，但它的波函数并不一定是角动量的本征态。

(2)量子力学中各守恒量并不一定都可以同时取确定的值。例如在中心立场中的无自旋粒子，轨道角动量守恒，所以L 的三个分量,,x y z L L L 都守恒，但,,x y z L L L 之间相互不对易，所以它们一般不能同时取确定的值。

之所以在量子力学中有所不同，实质上是因为测不准原理。

测不准原理是W.Heisenberg 在1927年提出的，后来根据波恩对波函数的统计诠释严格证明，并使其表述和含义更准确。 海森堡测不准关系式：

2

x p ∆⋅∆≥

（3） 该关系式反映了波粒二象性，划分了经典粒子及力学量的概念对微观粒子的适用度。在普朗克常数0h →的情况下，量子效应可以忽略，就可以看成经典力学中的现象。利用德布罗意关系式，可以把波动性和粒子性联系起来。

2.对称性

2.1对称性的定义

对称性概念总是和某种变换下的不变性相联系。所谓的对称性,一般是指体系的Lagrange 量或哈密顿量在某种变换下具有不变性。这些对称性变换,包括连续变换(如时间平移等)、分力变换(如空间反演等)和对内禀参量的变换(如电荷共轭变换等)，而每一种变换下的不变性，都对应着一种守恒率，也一定意味着存在着某种不可观测量或不可分辨性，例如：时间平移不变性对应着能量守恒，意味着时间原点不可观测；空间平移不变性对应着动量守恒, 意味着空间的绝对位置不可观测；空间转换不变性对应着角动量守恒，意味着空间的绝对方向不可观测。

2.2量子力学中对称性变换的条件

一个量子体系的态ψ随时间的演化，遵守薛定谔方程：