中考数学自主招生考试试卷(2)(含解析)

2015年湖南省长沙市南雅中学自主招生考试数学试卷（2）
一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）
1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）
A．a B．a2C．a3D．a4
2．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）
A．B．C．D．
3．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）
A．9 B．±3 C．3 D．5
4．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）
A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①
5．如果，，那么等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若关于x的方程无解，则a的值为（）
A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣1
7．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
8．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF 面积的最大值是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
9．计算： = ．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为．
11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即
ctanα=，根据上述角的余切概念，则ctan30°=．
12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是．
13．已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式
的值是．
14．若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为．15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动
点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为．
16．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM= ．
三、解答题（本大题共4道题，共48分）
17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；
（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．
18．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．
（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是
（2）求函数在区间上的最小值．
（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．
19．如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的面积．
20．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E 与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）
1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）
A．a B．a2C．a3D．a4
【考点】整式的除法．
【分析】根据幂的乘方首先进行化简，再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答案．【解答】解：（a2）3÷（a2）2
=a6÷a4
=a2．
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
2．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）
A．B．C．D．
【考点】几何概率．
【分析】求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答．
【解答】解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是=，
所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．
故选C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概
率．
3．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）
A．9 B．±3 C．3 D．5
【考点】根与系数的关系；二次根式的化简求值．
【专题】整体思想．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形
得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，
∴m+n=﹣2，mn=1，
∴====3．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，
x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．
4．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）
A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①
【考点】函数的图象．
【分析】根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；
【解答】解：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，
发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③
又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，
∴只有③符合情境a；
∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，
∴只有①符合，
故选D
【点评】此题考查函数图象问题，主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．
5．如果，，那么等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】分式的化简求值．
【分析】所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．
【解答】解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，
两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，
展开，得1﹣﹣a+=1
去分母，得ac+2=2a
两边同除以a，得c+=2．
故选B．
【点评】本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运用这种变形方法．
6．若关于x的方程无解，则a的值为（）
A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣1
【考点】分式方程的解．
【分析】先去分母得到关于x的整式方程，然后根据分式方程无解得到关于a的方程，从而求得a
【解答】解：去分母得：x﹣2+a（x﹣1）=2a+2．
整理得：（a+1）x=3a+4．
当a+1=0时，解得：a=﹣1，此时分式方程无解；
当a+1≠0时，x=．
当x=1时， =1．解得：a=﹣，此时分式方程无解；
当x=2时， =2，解得：a=﹣2，此时分式方程无解．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是分式方程的解，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．
7．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【考点】实数大小比较．
【分析】利用作差法比较a和b、b和c、a和c的大小，再比较a、b、c三者的大小．
【解答】解：∵a﹣b=﹣1﹣（2﹣）
=﹣（1+）
≈2.449﹣2.414＞0，
∴a＞b；
∵a﹣c=﹣1﹣（﹣2）=+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，
∴a＜c；
于是b＜a＜c，
故选B．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
实数大小比较法则：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小．
8．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，
Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF 面积的最大值是（）
A．B．C．D．
【考点】面积及等积变换．
【分析】设PD=x，S△PEF=y．根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明△PEF ≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的面积比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．
【解答】解：设PD=x，S△PEF=y，S△AQD=z，梯形ABCD的高为h，
∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，
∴，
解得：，
∵PE∥DQ，
∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，
又∵PF∥AQ，
∴∠PFD=∠EQF，
∴∠EPF=∠EQF，
∵EF=FE，
∴△PEF≌△QFE（AAS），
∵PE∥DQ，
∴△AEP∽△AQD，
同理，△DPF∽△DAQ，
∴=（）2， =（）2，
∵S△AQD=3，
∴S△DPF=x2，S△APE=（3﹣x）2，
∴S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，
∴y=[3﹣x2﹣（3﹣x）2]×=﹣x2+x，
∵y最大值==，即y最大值=．
∴△PEF面积最大值是，
故选：D．
【点评】本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
9．计算： = 2﹣2 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先利用二次根式的除法法则和分母有理化计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式=2﹣2（+1）
=4﹣2﹣2
=2﹣2．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为 3 ．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先据算出的大小，然后求得7﹣的范围，从而可求得的值．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3．
∴﹣3＞﹣4．
∴4＞7﹣＞3．
故的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是无算无理数的大小，估算出的范围是解题的关键．
11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即
ctanα=，根据上述角的余切概念，则ctan30°=．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】新定义．
【分析】根据在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，可得答案．
【解答】解：ctan30°=，
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切．
12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是x＜0或1＜x＜4 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．
【解答】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．
故答案为：x＜0或1＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．
13．已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式
的值是．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题；分式．
【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解确定出m与n的值，原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值．
【解答】解：不等式整理得：，即n≤x＜m，
由不等式组的整数解仅有1，2，3，得到m=4，n=1，
则原式=1﹣•=1﹣==，
当m=4，n=1时，原式=．
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为y=2x+7或y=﹣2x+3 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【分析】根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为﹣3≤x≤1，值域为1≤y≤9，进行分类讨论k大于0还是小于0，列出二元一次方程组求出k和b的值．
【解答】解：（Ⅰ）当k＞0时，，
解得：，
此时y=2x+7，
（Ⅱ）当k＜0时，，
解得：，
此时y=﹣2x+3，
综上，所求的函数解析式为：y=2x+7或y=﹣2x+3．
【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：在定义域上是单调函数，本题难度不大．
15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．
【考点】利用轴对称设计图案．
【专题】压轴题．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标，注意考虑全面．【解答】解：如图所示：
A1（﹣1，1），A2（﹣2，﹣2），A3（0，2），A4（﹣2，﹣3），（﹣3，2）（此时不是四边形，舍去），
故答案为：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据3个定点所在位置，找出A的位置．
16．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM= ．
【考点】解直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出∠ABM的正切．
【解答】解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT=90°，
∠OTB+∠MBT=90°，
∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，
∴=，即=，即MB2=2AM•BT ①
令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，
代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），
解方程得：K1=0（舍去），K2=．
∴AM=2﹣=．
tan∠ABM===．
故答案是：．
【点评】本题考查的是解直角三角形，运用正方形的性质，根据题目中角的关系，判断两个三角形相似，然后用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值．
三、解答题（本大题共4道题，共48分）
17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；
（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可；
（2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进而求出即可．【解答】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据题意得出：
，
解得：，
答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元；
（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，
购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，
则W与x的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；
根据题意得出：
，
由50x+70（98﹣x）≤6000，
解得：x≥43，
由2x+3（98﹣x）≥248，
解得：x≤46，
故不等式组的解集为：43≤x≤46，
故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张，
当购买两人桌44张时，购买三人桌54张，
当购买两人桌45张时，购买三人桌53张，
当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
18．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．
（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7
（2）求函数在区间上的最小值．
（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．
【考点】二次函数的最值．
【专题】新定义．
【分析】（1）先求得抛物线的对称轴、顶点坐标，然后画出抛物线的大致图象，根据函数图象可知当x=﹣5时，函数值最小；
（2）先画出函数的大致图象，然后根据函数图象可知当x=0时，函数值最小；
（3）先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称轴在区间[t﹣2，t﹣1]的左侧、区间内、区间
右侧分类讨论即可．
【解答】解：（1）y=﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x=2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．函数图大致象如图1所示：
当x=5时，函数有最小值，最小值为﹣7．
故答案为：﹣7．
（2），其对称轴为直线，顶点坐标，且图象开口向上．
其顶点横坐标不在区间内，
如图2所示．
当x=0时，函数y有最小值．
（3）将二次函数配方得：y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8
其对称轴为直线：x=2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．
当x=t﹣2时，函数取得最小值：
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．
当x=2时，函数取得最小值：y min=﹣8
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．
当x=t﹣1时，函数取得最小值：
综上讨论，得．
【点评】本题主要考查的是二次函数的最值，根据函数解析式画出函数的图象，然后根据对称轴是否在区间内进行分类讨论是解题的关键．
19．（10分）（2015•长沙校级自主招生）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣提公因式法；解一元二次方程﹣公式法；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】由已知求出PA、PB、PC的长度，设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，∠PAC=60°﹣Q，根据锐角三角函数（余弦定理）求出cosQ和cos（60°﹣Q）的值，即可求出a的长度，过A作AD⊥BC于D，求出AD的长度，根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，
∴分解因式得：（n﹣5）（m﹣3）2≤0，
∵n为大于5的实数，
∴m﹣3=0，∵即：PA=m=3，
∵PA2+PB2=PC2，PA、PB、PC的长为正整数，
∴PB=4，PC=5，
设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，
则∠PAC=60°﹣Q，
由余弦定理得：cosQ==，（1）
cos（60°﹣Q）==，（2）
而cos（60°﹣Q）=cos60°cosQ﹣sin60°sinQ，
=﹣=，（3）
将（1）代入（3）得：﹣=，
解得：sinQ=，
∵（sinQ）2+（cosQ）2=1，
∴+=1，
令a2=t，
∴+=1，
解得：t1=25+12，t2=25﹣12，
由（1）知a＞0，cosQ＞0，
即＞0，a2＞7，
∴t2=25﹣12＜7，不合题意舍去，
∴t=25+12，
即a2=25﹣12，
过A作AD⊥BC于D，
∵等边△ABC，
∴BD=CD=a，
由勾股定理得：AD=，
∴S△ABC=•a•==9+．
答：△ABC的面积是9+．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，用公式法解一元二次方程，用提取公因式法分解因式，余弦定理等知识点，运用余弦定理求等边三角形的边长是解此题的关键．题型较好但难度较大．
20．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E 与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；
（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；
（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．
【解答】解：（1）如图①，
设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x，
∵AB=3，BC=6，
∴AG=AB﹣BG=3﹣x，
∵GF∥BE，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
即，
解得：x=2，
即BE=2；
（2）存在满足条件的t，
理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
∵EF∥AB，
∴△MEC∽△ABC，
∴，即，
∴ME=2﹣t，
在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，
过点M作MN⊥DH于N，
则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，
∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，
在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），
解得：t=，
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，
即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），
解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），
∴t=﹣3+；
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，
即： t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），
此方程无解，
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，
∴CE=，
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，
∵ME=2﹣t，
∴FM=t，
当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，
②如图④，当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，
∴FK=2﹣EK=t﹣1，
∵NL=AD=，
∴FL=t﹣，
∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，
解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，
∴t=，
∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，
∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，
∴当2＜t ≤
时，S=S 梯形GNMF ﹣S △FKL =×2×（t ﹣1+t ）﹣（t ﹣）（t ﹣1）=﹣t 2
+2t ﹣，
④如图⑥，当＜t ≤4时，
∵B′L=B′C=（6﹣t ），EK=EC=（4﹣t ），B′N=B′C=（6﹣t ），EM=EC=（4﹣t ），
S=S 梯形MNLK =S 梯形B′EKL ﹣S 梯形B′EMN =﹣t+．
综上所述：
当0≤t ≤时，S=t 2，
当＜t ≤2时，S=﹣t 2+t ﹣；
当2＜t ≤
时，S=﹣t 2+2t ﹣，
当＜t ≤4时，S=﹣t+．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知
识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．。